Lineare Unabhängigkeit, lineare Abhängigkeit, Basis, Dimension

Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Minimale Erzeugendensysteme
Lineare Unabhängigkeit, lineare
Abhängigkeit, Basis, Dimension
Sei V ein Vektorraum.
1. {v1 , . . . , vn} ⊂ V “erzeugt” V , wenn gilt:
span(v1 , . . . , vn) = V .
M.Gruber
Wir suchen “minimale” Erzeugendensysteme.
28. November 2006
Wie kann man die Minimalität charakterisieren?
2. Ein Erzeugendensystem {v1 , . . . , vn}, das einen “überflüssigen” Vektor
X
vi =
c j vj .
(1)
1≤j≤n
j6=i
enthält, ist nicht minimal:
X
dj vj =
Literatur
1≤j≤n
[1] Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 3rd Edition,
Wellesley Cambridge Press, 2003 (englisch).
=
X
X
dj vj + di
X
(dj + dicj )vj ,
1≤j≤n
j6=i
c j vj
1≤j≤n
j6=i
1≤j≤n
j6=i
[2] Gilbert Strang, Lineare Algebra, Springer, 2003, ISBN-10: 3540-43949-8, ISBN-13: 978-3-540-43949-3 (deutsch).
d.h. es gilt dann
span(v1 , . . . , vn ) = span(v1 , . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn) .
3. Wir können ein Erzeugendensytem schrittweise reduzieren, bis
es keinen überflüssigen Vektor im Sinne von (1) mehr gilt.
– Typeset by FoilTEX –
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Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Lineare Unabhängigkeit
Lineare Abhängigkeit
P
Wenn (1) nicht gilt, ist 1≤j≤n cj vj nur dann gleich 0,
wenn alle cj gleich 0 sind. Denn andernfalls könnte man
mindestens nach einem vi auflösen und hätte wieder (1).
Definition. {v1, . . . , vn} ist linear unabhängig, wenn
0 · v1 + . . . + 0 · vn die einzige Linearkombination der
v1, . . . , vn ist, die den Wert 0 ergibt.
Beispiel 1. 1, x, x2, x3 ist eine linear unabhängige
Teilmenge des Vektorraums C(R).
Beispiel 2. {sin, cos} ist eine linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums C(R).
Satz. Für A ∈ Rm,n sind äquivalent:
Definition. {v1, . . . , vn} ist linear abhängig, wenn
{v1, . . . , vn} nicht linear unabhängig ist.
Beispiel 3. {0} ist linear abhängig.
Satz. {v1, . . . , vn} ist genau dann linear abhängig,
wenn es mindestens einen Vektor vi ∈ {v1, . . . , vn}
gibt, der als Linearkombination der Vektoren {v1, . . . , vn}\
{vi} dargestellt werden kann.
Satz. Für A ∈ Rm,n sind äquivalent:
1. Die Spalten von A ∈ Rm,n sind linear abhängig.
2. Es gibt ein x 6= 0, das die Gleichung Ax = 0 löst.
1. Die Spalten von A sind linear unabhängig.
2. x = 0 ist einzige Lösung der Gleichung Ax = 0.
3. N (A) hat unendlich viele Elemente.
3. Ax 6= 0 für alle x 6= 0.
4. A enthält freie Spalten.
Beispiel 4. Ist {v1, . . . , vn} ⊂ Rm und n > m, dann
ist {v1, . . . , vn} linear abhängig.
Beispiel 5. 1, x, x2, (1 + x)2 ist eine linear abhängige Teilmenge des Vektorraums C(R).
4. N (A) = {0}.
5. Jede Spalte von A ist eine Pivotspalte.
6. r = n (r ist der Rang von A).
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Beispiel 6. {0, v2, . . . , vn} ist linear abhängig.
2
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Lineare Algebra
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Lineare Algebra
Basis
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Dimension
Definition. {v1, . . . , vn} ist Basis von V , wenn gilt:
Satz. Sind {v1, . . . , vm} und {w1, . . . , wn} Basen
von V , dann ist m = n.
1. {v1, . . . , vn} ist linear unabhängig,
Beweis Angenommen, n > m. Definiere A ∈ Rm,n durch
X
wj =
aij vi .
2. V = span(v1, . . . , vn).
Beispiel 7.
1≤i≤m
1.
nh
i h i h io
4
0
0
−2 , 5 , 4
ist Basis des R3.
2.
nh
5
−2
−1
4
0
Die Koeffizienten von A existieren sind eindeutig bestimmt, denn
{v1 , . . . , vm} ist eine Basis.
5
Dann hat A freie Spalten und es gibt 0 6= x ∈ Rn mit Ax = 0.
P
Mit solch einem x bilden wir die Linearkombination 1≤j≤n xj wj
und stellen fest:
X
X
X
xj w j =
xj
aij vi
i h 1 i h 0 io
, −3 , −1
ist Basis des R3.
−5
−5
nh i h i h io
1
0
0
0 , 1 , 0
ist Basis des R3.
3.
0
0
1
1≤j≤n
1≤j≤n
1≤i≤m
Beispiel 8. {v1, . . . , vn} ist genau dann eine Basis
von Rn, wenn v1, . . . , vn Spalten einer invertierbaren
n × n-Matrix sind.
Satz. {v1, . . . , vn} ist genau dann eine Basis von V ,
wenn jedes v ∈ V nur auf eine Weise als Linearkombination der v1, . . . , vn dargestellt werden kann.
Beispiel 9. Die Pivotspalten von A ∈ Rm,n (aber
nicht die Pivotspalten von R) sind eine Basis von C(A).
Beispiel 10. Die Pivotzeilen von A ∈ Rm,n (und die
Pivotzeilen von R) sind eine Basis von R(A).
Definition. Die Dimension von V ist die Anzahl der
Elemente in jeder Basis. Wir bezeichnen sie mit dim V .
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4
=
X
1≤i≤m
=
0
@
X
1≤j≤n
1
aij xj A vi
0,
ein Widerspruch (denn {w1 , . . . , wn} ist eine Basis)!
Die Annahme n < m lässt sich auf gleiche Weise zum Widerspruch
führen, man muss nur die Rollen der beiden Basen vertauschen. 5
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Beispiele
Lineare Algebra
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Die vier fundamentalen Teilräume
Sei A ∈ Rm,n; die vier fundamentalen Teilräume sind:
1. der Zeilenraum C(At), ein linearer Teilraum von Rn,
Beispiel 11. dim Rm,n = mn.
2. der Spaltenraum C(A), ein linearer Teilraum von
Rm ,
Beispiel 12. dim Rn,n = n2.
Beispiel 13.
3. der Nullraum N (A), ein linearer Teilraum von Rn,
n(n + 1)
.
dim {A | A ∈ Rn,n, aij = 0 für i > j} =
2
4. der linksseitige Nullraum N (At), ein linearer Teilraum von Rm.
Beispiel 14.
Beispiel 17. [Spezialfall A = R] Sei A bereits in
reduzierter Zeilenstufenform, der Rang sei r. Wir interessieren uns für die Dimensionen der vier fundamentalen
Teilräume.
dim {A | A ∈ Rn,n, aij = 0 für i 6= j} = n .
Beispiel 15.
dim C(Rt) = r ,
n(n + 1)
.
dim A | A ∈ Rn,n, At = A =
2
dim C(R) = r ,
dim N (R) = n − r ,
Beispiel 16.
dim N (Rt) = m − r ,
dim {f | f ∈ C ∞(R), f 00 + f = 0} = 2 .
dim C(R) + dim N (R) = n ,
dim C(Rt) + dim N (Rt) = m .
→ Analysis, Taylorreihe.
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Lineare Algebra
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Lineare Algebra
Dimension der vier fundamentalen
Teilräume
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Mathematica-Beispiel
E0 = Ek · · · E1 (Ei Elementarmatrizen), E0A = R, R in
Zeilenstufenform.
1. Die Zeilenräume von A und R sind gleich, also ist
dim C(At) = r .
2. Ax = 0 ⇔ Rx = 0, d.h. die lineare Abhängigkeit
bzw. Unabhängigkeit von Spalten überträgt sich von
A auf R und umgekehrt, also ist
dim C(A) = r .
Mathematica 5.1 for Linux
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-- Motif graphics initialized -In[1]:= A={{6,-2,5,7,-2},{6,-3,-4,7,-6},{-7,-2,4,-5,5},{12,-5,1,14,-8}};
In[2]:= MatrixForm[A]
Out[2]//MatrixForm= 6
-2
5
7
-2
6
-3
-4
7
-6
-7
-2
4
-5
5
12
-5
1
14
-8
In[3]:= Length[NullSpace[A]]
Out[3]= 2
In[4]:= Length[NullSpace[Transpose[A]]]
Out[4]= 1
In[5]:= R=RowReduce[A];
In[6]:= MatrixForm[R]
Out[6]//MatrixForm=
269
167
---(---)
1
0
0
293
293
0
171
-(---)
293
92
--293
120
--293
0
3. N (A) = N (R), also ist
0
1
dim N (A) = n − r .
4. Die Zeilen von R und A spannen den gleichen Raum
auf. Die Anzahl linear unabhängiger Spalten in Rt und
At ist deshalb gleich, nämlich r. Der “ganze” Raum
ist Rm, also ist
In[7]:=
Out[7]=
In[8]:=
Out[8]=
0
0
1
19
--293
0
0
0
0
Length[NullSpace[R]]
2
Length[NullSpace[Transpose[R]]]
1
dim N (At) = m − r .
– Typeset by FoilTEX –
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– Typeset by FoilTEX –
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