Technische Universität Berlin 9. ¨Ubung - TU Berlin

Technische Universität Berlin
SS 2006
Fakultät II – Institut für Mathematik
Dr. G. Penn-Karras
Sekr. MA 8-1
9. Übung ”Wahrscheinlichkeitsrechnung (L)”
Abgabe: Montag, den 26.6.2006 vor der Übung
H25) Die 4 Kugeln einer Urne seien mit den Ziffern 1, 2, 2 und 4 beschriftet. Aus der Urne
werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Es sei X die Summe der Ziffern der beiden Kugeln und Y ihr Produkt.
a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y sowie die Randverteilungen als Tabelle.
b) Berechnen Sie die Erwartungswerte von X, Y, Z = X + Y und XY .
c) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X, Y ) von X und Y .
d) Berechnen Sie die Varianzen von X, Y und Z direkt aus den Verteilungen und
verifizieren Sie die Formel
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y ).
4 Punkte
H26) Die stetige zweidimensionale Zufallsvariable habe die Dichtefunktion
(
2(1 + x + y)−3 für x ≥ 0, y ≥ 0
f (x, y) =
0
sonst.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
P (1 ≤ X ≤ 2, 0 ≤ Y ≤ 3) durch ein geeignetes Integral.
b) Berechnen Sie die Randverteilungen f1 (x) und f2 (y). Sind X und Y unabhängig?
3 Punkte
H27) Die Zufallsgrößen X und Y seien beide exponentialverteilt zum Parameter µ > 0.
Weiterhin seien X und Y unabhängig.
a) Geben Sie die gemeinsame Dichte f : R2 → R von X und Y an.
b) Es sei Z die Zufallsgröße Z = X + Y .
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion
G : R → R, G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) von Z.
Bestimmen Sie die Dichte g : R → R von Z.
3 Punkte
Bitte wenden!
Aufgaben für die Übung:
Ü37) Ein Würfel werde zweimal geworfen. Es sei X die Anzahl der geworfenen Einsen und
Y die Anzahl der geworfenen geraden Zahlen.
a) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y sowie die Randverteilungen.
b) Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y .
c) Berechnen Sie die Varianz von Z = X +Y sowohl direkt als auch unter Verwendung
von Satz 12.8.
Ü38) Die zweidimensionale Zufallsgröße (X, Y ) besitze die Dichte
f (x, y) =

 x+y

0
für 0 ≤ x, y ≤ 1 ,
sonst.
a) Begründen Sie, dass f eine Dichte ist, und berechnen Sie die Verteilungsfunktion
F (x, y).
b) Bestimmen Sie die Randverteilungen f1 bzw. f2 der Zufallsgrößen X bzw. Y und
berechnen Sie E(XY ).
Ü39) Die Begebenheiten E1 bzw. E2 treten – von einem gewissen Start-Zeitpunkt aus gemessen – zur Zeit X bzw. Y ein. Dabei seien X und Y unabhängige Zufallsgrößen mit den
Dichten
f1 (x) =
(
9x e−3x
0
für x ≥ 0
sonst
und
f2 (y) =
(
2e−2y
0
für y ≥ 0
sonst
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ereignet sich E2 vor E1 ?
Ü40) Karl benutzt auf dem Weg zur Arbeit nacheinander zwei Buslinien.
Die Wartezeiten X bzw. Y auf den ersten bzw. den zweiten Bus seien unabhängig
voneinander auf dem Intervall [0, 10] bzw. [0, 8] gleichmäßig verteilt (Einheit: Minuten).
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er insgesamt höchstens 6 Minuten Wartezeit?
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte der gesamten Wartezeit
Z =X +Y.
c) Bestimmen Sie für Z den Erwartungswert und die Varianz.
Ü41) Ein Würfel werde wiederholt geworfen. Es sei X die Nummer des Wurfes, bei dem die
erste 1 erscheint und Y die Nummer des Wurfes, bei dem die erste 2 erscheint.
Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y sowie die zugehörigen Randverteilungen. Sind X und Y unabhängig?