Beschränkte Mengen, wird korrigi

M ATHEMATISCHES I NSTITUT
P ROF. D R . F LORIAN J ARRE
D R . L I L UO
03. D EZEMBER 2015
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I – 5. Übungsblatt mit Kurzlösung
Aufgabe 15:
(Beschränkte Mengen, wird korrigiert)
In Ergänzung zur Vorlesung heißt das Supremum einer Menge A ⊂ R auch Maximum, falls sup(A) ∈
A gilt. Andernfalls hat A kein Maximum (sondern nur ein Supremum). Analog heißt inf(A) auch
Minimum von A falls inf(A) ∈ A gilt. Man schreibt dann max(A) für das Maximum bzw. min(A)
für das Minimum. Bsp: Falls A = (−1, 1] so ist sup(A) = 1 und 1 ∈ A sodass max(A) = 1, während
inf(A) = −1 und −1 6∈ A, so dass A kein Minimum hat.
Bestimmen Sie das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der folgenden Mengen, sofern diese
als reelle Zahlen existieren. Andernfalls, geben Sie an, dass das Supremum, Infimum, Maximum bzw.
Minimum nicht existiert.
(a) A = {3,
1+4 9·2
1−5 , 6/5 ,
√
3, log2 (9)},
(b) B = {|x|3 | x ∈ (−3, 2]},
(c) C = {x ∈ R | (x2 − 1)x ≤ 0}.
Lösung 15:
(a) Es gilt
1+4
1−5
<0<
√
3<
Also inf A = min A =
√
1+4
1−5
3·
√
3 = 3 = log2 (8) < log2 (9) < log2 (16) = 4 < 9 <
= − 45 und sup A = max A =
9·2
6/5
9·2
6/5
.
= 15.
(1 Pkt.)
(1 Pkt.)
(b) Es gilt
B=
n
|x|3 | x ∈ (−3, 0)
o
∪
n
|x|3 | x ∈ [0, 2]
o
= (0, 27) ∪ [0, 8] = [0, 27).
Also inf B = min B = 0, sup B = 27, und max B existiert nicht (da sup B ∈
/ B).
(c)
(1 Pkt.)
(1 Pkt.)
(i) Im Falle x < 0 gilt x ∈ C genau dann, wenn x2 − 1 ≥ 0, also x2 ≥ 1, also x ≤ −1.
(ii) Im Falle x = 0 gilt x ∈ C.
(iii) Im Falle x > 0 gilt x ∈ C genau dann, wenn x2 − 1 ≤ 0, also x2 ≤ 1, also x ∈ (0, 1].
Somit ist C = (−∞, −1) ∪ [0, 1].
(1 Pkt.)
Also existiert inf B nicht als reelle Zahl (bzw. inf B = −∞), min B existiert nicht und es gilt
sup B = max B = 1.
(1 Pkt.)
1
Aufgabe 16:
(Mittelwerte, wird korrigiert)
Bestimmen Sie die folgenden Mittelwerte ohne Taschenrechner. Geben Sie den Rechenweg nachvollziehbar an!
(a) Arithmetische Mittelwert von 1, 2, 4, 8, 16
(b) Geometrische Mittelwert von 1, 2, 4, 8, 16
(c) Harmonische Mittelwert von 1, 2, 4, 8, 16
(d) Quadratische Mittelwert von 1, 3, 4, 5, 7
Lösung 16:
(a)
1
31
(1 + 2 + 4 + 8 + 16) = .
5
5
(b)
√
5
1 · 2 · 4 · 8 · 16 =
√
5
20+1+2+3+4 =
√
5
(1 Pkt.)
210 = 4.
(1 Pkt.)
(c)
5
1 1 1 1
1
+ + + +
1 2 4 8 16
−1
=
5 · 16
5
80
=
· 16 = .
16 + 8 + 4 + 2 + 1
31
31
(2 Pkt.)
√
100
= 2 5.
5
(2 Pkt.)
(d)
r
1 2
(1 + 32 + 42 + 52 + 72 ) =
5
r
1
(1 + 9 + 16 + 25 + 49) =
5
2
r
Aufgabe 17:
(Modellierung, wird korrigiert)
Zur Analyse der Teuerungssrate vergleichen Sie einen festgegebenen Preisindex über n Jahre. Der
Index am Anfang der Aufzeichnung sei P0 > 0. Der Index nach k Jahren sei Pk > 0 für 1 ≤ k ≤ n.
Die Teuerungssrate zum Vorjahr rk ist dann gegeben durch
rk =
Pk − Pk−1
.
Pk−1
Die durchschnittliche jährliche Teuerungssrate r̄ ist gegeben durch die Gleichung
(1 + r̄)n P0 = Pn .
(a) Drücken Sie r̄ mit Hilfe von r1 , . . . , rn aus.
(b) Welcher Mittelwert aus der Vorlesung ist r̄ am ähnlichsten?
Lösung 17:
(a) Für jedes 1 ≤ k ≤ n gilt
rk =
Pk − Pk−1
Pk
=
− 1.
Pk−1
Pk−1
(1 Pkt.)
Also gilt
(1 + r̄)n =
und somit
Pn
Pn Pn−1
P1
=
···
= (1 + rn )(1 + rn−1 ) · · · (1 + r1 )
P0
Pn−1 Pn−2
P0
v
u n
uY
n
(1 + rk ) − 1.
r̄ = t
(2 Pkt.)
(1 Pkt.)
k=1
(b) Der Durchschnitt r̄ ist der geometrische Mittelwert von 1 + r1 , . . . , 1 + rn Minus 1.
(2 Pkt.)
Bemerkung: Sei r̂ der arithmetische Mittelwert von r1 , . . . , rn . Dann gilt aufgrund der Ungleichung
vom arithmetischen und geometrischen Mittel
v
!
u n
n
n
X
X
uY
1
1
n
r̂ =
rk =
(1 + rk ) − 1 ≥ t
(1 + rk ) − 1 = r̄.
n
n
k=1
k=1
k=1
Also ist der arithmetische Mittelwert r̂ im Allgemeinen zu groß. Es kann zu gegebenen fixierten P0
und r̂ verschiedenen Pn nach n Jahre geben.
3