PHYSIK III

Prüfungsblock I, 07. 03. 2007
PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
Diese Prüfung besteht aus 5 Aufgaben auf 2 Seiten. Die Aufgaben können in beliebiger
Reihenfolge gelöst werden. Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt und
versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen.
Für jede Teilaufgabe ist in Klammern die maximal erreichbare Punktzahl angegeben. Um
die Bestnote zu erreichen, genügen 24 von maximal 30 möglichen Punkten.
Viel Erfolg!
Aufgabe 1
Ein unendlich langer Vollzylinder mit Radius R habe die homogene Ladungsdichte ρ.
Er rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine Symmetrieachse.
a) (2P) Berechnen Sie die Stromdichte als Funktion des Abstandes von der Symmetrieachse.
~
b) (4P) Berechnen Sie das B-Feld
unter Berücksichtigung der Tatsache, dass es ausserhalb des Zylinders verschwindet.
Aufgabe 2
Ein dünner Draht verlaufe entlang der Symmetrieachse eines Zylinderkondensators (Radius des inneren Zylindermantels: ri , Radius des äusseren Zylindermantels: ra ). Diese Achse sei die z-Achse. Der innere Mantel des Kondensators sei mit der homogenen, positiven
Flächenladungsdichte σ geladen. Eine positive Ladung q bewege sich im Raum zwischen
den Kondensatorflächen mit konstanter Geschwindigkeit ~v = (0, 0, vz ), vz > 0. Für alle Berechnungen sollen Draht und Kondensator als entlang der z-Achse unendlich ausgedehnt
betrachtet werden.
a) (2P) In welche Richtung muss ein Strom durch den Draht fliessen, damit diese Beobachtung überhaupt möglich ist?
b) (4P) Berechnen Sie den Betrag des Stromes als Funktion von vz .
Aufgabe 3
Wir betrachten einen ebenen Schirm S in der x-y-Ebene, auf dem kleine Öffnungen
auf einem rechteckigen Gitter angeordnet seien: Die Öffnungen liegen bei den Koordinaten
(a · l, b · m, 0), wobei a bzw. b die Perioden des Gitters in x- bzw. y- Richtung seien und
l ∈ {−L, . . . , −1, 0, 1, . . . , L} resp. m ∈ {−M, . . . , −1, 0, 1, . . . , M } ganze Zahlen bezeichnen. Eine ebene skalare Lichtwelle der Wellenlänge λ treffe senkrecht auf den Schirm S. Berechnen Sie für grosse Abstände zum Schirm (Fraunhofer Beugung), in der Kirchhoff’schen
Näherung und für L, M → ∞, unter welchen Winkeln θ zur z-Achse Beugungsmaxima
beobachtet werden, wenn die Beobachtungsrichtung
a) (3P) in der x-z-Ebene,
b) (3P) in der y-z-Ebene
gewählt wird.
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Prüfungsblock I, 07. 03. 2007
PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
Aufgabe 4
B
Zwei leitende Schienen liegen im Abstand L
L
zueinander parallel zur Falllinie auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel α. An ihrem obeg
l
S
ren Ende seien die beiden Schienen durch einen
m
quer verlaufenden leitenden Draht fest verbunden. Im Abstand l zum quer verlaufenden Draht
v
z
sei ein beweglicher Draht der Gesamtmasse m
α
y
auf die beiden Schienen gelegt. Dieser beweglix
che Draht gleite reibungsfrei auf den Schienen
und kontaktiere diese elektrisch. Senkrecht zur schiefen Ebene liege ein homogenes Magnet~ = B an. Die durch die zwei Drähte und die zwei Schienen gebildete Leiterschlaufe
feld |B|
S habe den konstanten, von l unabhängigen, Gesamtwiderstand R. Es wirke die Gravitationsbeschleunigung g entlang der negativen z-Richtung.
a) (3P) Nach genügend langer Zeit bewegt sich der bewegliche Draht mit konstanter
Geschwindigkeit nach unten. Berechnen Sie diese Geschwindigkeit.
~?
b) (1P) Wie ändert sich diese Geschwindigkeit als Funktion des Vorzeichens von B
c) (2P) Berechnen Sie die Bahn des Schwerpunktes des beweglichen Drahtes unter der
Annahme, dass zur Zeit t=0 der Abstand zwischen den beiden Querdrähten l sei und
sich der bewegliche Draht in Ruhe befinde.
Aufgabe 5
Gegeben sei eine statische, lokalisierte (d. h. räumlich beschränkte) Magnetisierungs~ (~r ).
verteilung M
~ =
a) (1P) Zeigen Sie, dass das Hilfsfeld H
~ = 0.
hat, d.h. dass ∇ × H
1 ~
~
B− M
µ0
in diesem Fall keinen Rotationsanteil
~ keinen Rotationsanteil hat, können wir H
~ als den Gradienten eines skalaren
Da H
~
magnetischen Potentials Φm schreiben: H = −∇Φm .
b) (2P) Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen eine Differentialgleichung für das Potential Φm her, die das magnetostatische Analogon zur Poissongleichung in der Elektrostatik (∆Φe = −ρ/ε0 ) darstellt.
c) (3P) Benutzen Sie b) und partielle Integration, um folgende Aussage zu beweisen:
ZZ
Z
~ (~r ) ∇ · M
~ (~r 0 )
∇·M
µ0
µ0
0
~ r ) · H(~
~ r ) dV
Etot =
dV dV
=⇒ Etot =
H(~
8π
|~r − ~r 0 |
2
2