31.01.11

Problem d. Königin Dido (ohne Mitschrift)
andere Anw. d. Int.rechnung (bekannt aus Schule):
Volumen v. Rotationskörpern
Idee: Aufteilung d. Körpers in kleine Streifen der Fläche ≈ f i 2  x i
b
Integralform: V =∫ f  x 2 dx
a
Bsp.
Kugel
f  x = r 2−x 2 , 0≤ x≤r
r
2
2
4
V halbe Kugel=∫   r 2 −x 2  dx =...=  r 3 ⇒ V Kugel =  r 3
3
3
0
I =∫
1
dx , x0
1 x 2
y= x 2 substituieren?
dy
dy
=2x , dx= , x=  y
dx
2x
einsetzen
I =∫
=∫
1
dy
1 y 2  y
1
dy kompliziert!
2 y
partiell integrieren?
nicht einfacher!
Zeigen: ∫


1
=arc tan x  ist inv. Fkt. zu tan x bzgl. −  x 
2
2
2
1 x
2
p.D.
tan x ' =1tan x  ¿ 0
− 
⇒ in 
ist tan mon. wachsend , denn nach MWsatz gilt
2, 2
− 
tan x ' −tan x= tan'  x ' −x  , Abl. >0, ∈ x ' , x , x , x ' ∈
⇒ tan x ' tan x , wenn x ' x
2, 2
⇒ tan ist stetig und mon.(streng)⇒ innere Fkt. exist., heißt arc tan
y=arctan x ⇒ x=tan y , y ∈[
− 
] , x ∈ℝ
2, 2
Sei h(x)=arc tan x. Dann ist tan(h(x))=x(=f(x)), f '  x =1=
tanh  x  ' h '  x 
≠0
⇒ h '  x =
1
1
=
2
1tan
h x  1x 2

=x
also arc tan x '=
1
1
⇒∫
dx =arc tan xC
2
1 x
1x 2
analog arc sin , arc cos , arc cot
arc tan x=Inv. zu tan x!, aber cot x= tan x −1≠arc tan x
hyperbolische Fkt.
1
cosh x= e x e− x  , der Graf d. Fkt. wird auch Kettenlinie genannt (erhält man z.B. wenn man
2
eine Kette an 2 Pkten aufhängt
1
sinh x=  e x −e− x 
2
tanh x=
sinh x
cosh x
cosh x≠0 ∀ x  , coth x=
∀ x : sinh x≠0
cosh x
sinh x
cosh x2−sinh x 2=1
Abl.
sinh ' =cosh
cosh '=sinh !!!!ohne Minus
inv. Fkt.
area sinh =
 ar sinh
ar cosh
...
ralignl Kummers Anwendungsgebiet:Optimierung
Man habe ein Problem , das v. reellen Zahlen abhängt
2
z.B. min rx x
x∈ℝ
Extremwert sei r 
Abl.=0
−1
2rx1=0 ⇔ x=
r
2
Ann: Problem sei für r 0 zu lösen
Wir lösen d. Prblm für r nahe r 0
Fritzchen hofft: ∣r −r 0∣ hinr. klein, wenn ∣r −r 0∣ klein genug
ist stetg in r 0 
Bsp
min r 2 x 2 −2r 1−r  x
Bed. x≥0
r 0=0 ⇒ f  x , r =0 ⇒ 0=0
Ansonsten sei r0r ≤0 uninteressant  , wenn r≥1 so ist, ist −2r 1−r ≥0
f hat Form a x 2bx mit a , b≥0 ⇒=0
Bleibt 0<r<1
Betr. Abl. d. Zielfkt. 2r 2−2r 1−r 
Abl=0⇒ x=
2r 1−r  1−r
=
0
r
2r 2
Wert v. f in diesem x
r =r 2 
1−r 2
1−r
 −2r 1−r 
=−1−r 2
r
r