Vorlesung Mathematik

Prof. Dr. Friedel Bolle
LS für Volkswirtschaftslehre insb. Wirtschaftstheorie (Mikroökonomie)
Vorlesung Mathematik – WS 2010/2011 –
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Vorbemerkung
1.
Weshalb Mathematik für Ökonomen?
Das werden Sie selbst im Studium erfahren! Viele Probleme wer-
den in der Sprache der Mathematik formuliert und diskutiert.
Vorlesung Mathematik
- Mikroökonomie:
(i) Welche Kombination von Gütern sollte ein Haushalt konsumieren,
WS 10/11
damit er den größtmöglichen Nutzen erreicht.
(ii) Welche Preise sollte ein Unternehmen fordern, damit es seinen Gewinn maximiert?
Friedel Bolle
.
.
.
- Makroökonomie
(i) Wie kann es zu regelmäßigen Konjunkturzyklen kommen?
(ii) Welcher theoretische Zusammenhang besteht zwischen Wechselkursen und Exportüberschüssen?
.
.
.
- BWL:
(i) Ist eine bestimmte Investition profitabel?
(ii) Sollte ich meine Vorprodukte (z.B. Weizen) mit langfristigen Verträgen, über „forward“-Kontrakte oder über den Spotmarkt plus Optionen
beziehen?
.
.
.
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- Statistik:
Studenten haben meistens mehr Probleme mit 2. als mit 3. . ., da hilft nur
(i) Ist die Entlohnung nach Leistung gemessen an den Kriterien Menge
Übung!
und Qualität der Produktion besser als die Entlohnung nach festem Ge3. Übungen
halt?
(ii) Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Ölpreisen und der Welt-
Ohne Übungen können Sie nichts lernen! Sie können die Vorlesung er-
konjunktur?
setzen, indem Sie ein Buch lesen, aber nicht die Übungen. Nur durch
(ii) Wie stark wirken sich die Werbeausgaben eines Unternehmens auf
selbständiges Lösen von Übungsaufgaben finden Sie heraus, ob Sie den
die Nachfrage nach seinen Gütern aus?
Stoff verstanden haben.
.
Bilden Sie Arbeitsgruppen, diskutieren Sie dort die Vorlesung und die
.
Übungsaufgaben – aber versuchen Sie auch, die Aufgaben allein zu lö-
.
sen!
Die einzelnen Vorlesungen basieren in unterschiedlichem Ausmaß auf
Mathematik, aber keine kann ganz auf Mathematik verzichten.
4.
Was setze ich voraus?
- Grundbegriffe der Mengenlehre
- Die Mengen IR = reelle Zahlen und IRn = reelle n-dimensionale
2. Wie wird Mathematik verwendet?
Vektoren
Normalerweise haben wir ein bestimmtes Problem zu lösen, z.B. den
- Bruchrechnung (nichts zu lachen!)
Gewinn eines Unternehmens zu maximieren.
1. Stufe: Präzise Formulierung aller Informationen und des Ziels
- algebraische Umformungen
2. Stufe: Übertragung des Problems in die Sprache der Mathematik
- Lösung von linearen und quadratischen Gleichungen
3. Stufe: Anwendung eines Algorithmus (eines mathematischen Ver-
- Beispiele von Funktionen: Polynom, Exponentialfunktion,
Logarithmusfunktion, ....
fahrens)
Aber:
1. Ist oft nicht präzise formuliert!
2. Es gibt oft verschiedenen Möglichkeiten, das Problem als mathematisches Problem zu formulieren!
3. Es gibt manchmal mehrere Algorithmen, und manchmal gibt es gar
keinen!
1./2. wird in den einzelnen Fachvorlesungen gemacht.
Vor allem 3. ist Thema dieser Vorlesung. (Aber auch 2.)
5.
Was wird schnell wiederholt?
- Funktionen
- Folgen
- Stetigkeit
- Differentialrechnung mit einer Variablen
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6.
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Was wird ausführlich behandelt?
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1.
6
Wiederholung von Grundbegriffen
Der Rest der in der Gliederung aufgeführten Themen.
(a) Mengenlehre
Gliederung Mathematik
• Norm, Abstand, Umgebung
1.
Wiederholung von Grundbegriffen
• offen, abgeschlossen, beschränkt
2.
Differentialrechnung reeller Funktionen IR1 → IR1
• Konvexität von Mengen
3.
Kurvendiskussion
4.
Differentialrechnung reeller Funktionen IR
5.
Maximierung: Notwendige Bedingungen
6.
Zinsrechnung
7.
Integralrechnung
8.
Lineare Algebra
9.
Spieltheorie
• IR1, IRn
(Karmann,
n→
S. 6 – 33)
(b) Funktionen
IR
1
• Umkehrfunktion
• Verkettung von Funktionen
• reelle Funktionen: monoton, konvex, homogen
Beispiele
Beispiel 1: konvexe Menge M∈IRn
•
x1
•
x2
In den Abschnitten 1 - 8 enge Anlehnung an
Karmann, A.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 6. Auflage,
Oldenbourg, 2008.
Bedingung für Konvexität: Mit x1, x2 ∈M liegt auch die Verbindungsstrecke in M.
{x = x1 + λ (x2 – x1), 0 ≤ λ ≤ 1} beschreibt die Verbindungsline.
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(c) Folgen und Stetigkeit (Karmann, S. 142 – 146)
•
Definition. Die Abbildung
•
x1
f : IN → IR
x2
k a xk
heißt Folge (sequence) reeller Zahlen.
D.H. jedem k ∈ IN ist ein x k ∈ IR zugeordnet.
Nicht konvexe Menge.
Schreibweisen:
(xk)kε IN, (x1 , x 2 , x 3 ,K) oder (x k ) ;
Fragen:
allgemeiner:
1.Welches sind die konvexen Mengen in IR?
(x k )k ≥ k 0
2. Beschreiben eine Kugel, eine Pyramide, ein Fahrradschlauch konvexe
(
Mengen?
Beispiele:
Beispiel 2:
(1)
IN → IR
k→
konvexe Funktion
konkave Funktion
f(x2)
IN → IR
k→
f(x)
x1
x2
(x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) liegt zwischen x1und x2 unterhalb (oberhalb) der
Kurve f(x).
Bitte wiederholen Sie die Definitionen aus (a) und (b) selbständig!
1−k
k
1 2 3 4


 0 ,− ,− ,− ,− ,K
2 3 4 5


x
Bedingung für Konkavität (Konvexität): Die Verbindungslinie der Punkte
1
k
 1 1 1 1

1, , , , ,K
 2 3 4 5

(2)
f(x)
f(x1)
(3)
)
oder x k 0 , x k 0 +1 , x k 0 + 2 .K , wobei k 0 = ganze Zahl.
IN → IR
k → 2k
(2, 4, 6, 8,...)
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(2 k )k =1,2 ,K
Definition. Sei (xk)k∈ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konver-
(3)
gent gegen a ∈ IR, falls gilt:
gegen ein endliches a konvergieren, dann gibt es k 0 mit 2 k 0 > a .
zu jedem ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl K (ε ) ∈IN, so dass
x k − a < ε für alle k ≥ K (ε ) .
divergiert, denn angenommen die Folge würde
Aber: Für alle k > k 0 ist 2 k − a > 2 k 0 − a , d.h. die Folge kann nicht gegen a konvergieren.
a heißt auch der Grenzwert oder Limes der Folge (xk)k∈N
Definition. Eine Folge (x k ) reeller Zahlen heißt
D.h. die Glieder der Folge ( x k ) ∈ IR müssen dem Zahlenwert a ∈ IR be-
monoton wachsend (bzw. fallend), wenn für alle Folgenglieder x k gilt:
liebig nahe kommen.
x k ≤ x k +1 (bzw. x k ≥ x k +1 );
streng monoton wachsend (bzw. fallend), wenn für alle Folgenglieder x k
Schreibweisen:
lim x k = a, lim x k = a
k →∞
oder
gilt:
xk → a .
x k < x k +1 (bzw. x k > x k +1 );
Ist a = 0, so wird (x k ) auch Nullfolge genannt.
beschränkt, wenn N und M ∈ IR existieren mit:
Definition: Eine Folge (x k ) reeller Zahlen heißt divergent, wenn sie
N ≤ x k ≤ M für alle k ∈ IN.
gegen keine reelle Zahl konvergiert.
Beispiele von oben:
(1)
Beispiele von oben:
(1)
Die Folge konvergiert gegen 0, denn für k >
1
ε
ist eine streng monoton fallende Folge
und ist beschränkt: 0 ≤ x k ≤ 1
gilt
(2)
ist eine monoton fallende Folge
1
1
−0 =
k
k
und ist beschränkt: − 1 ≤ x k ≤ 0
(3)
ist eine monoton wachsende Folge
1
<
1
und ist nicht beschränkt
ε
=ε
Definition. Sei f : X → IR mit X ⊆ IR eine Funktion und a ∈ X . Die
Funktion f heißt stetig (continuous) im Punkt a, falls für jede Folge
(2)
Zeigen Sie selber, dass

1 − k 
1
=  −1
gegen –1 konvergiert.


 k =1,2 ,K
 k  k =1,2 ,K  k
x k → a gilt
lim f (x k ) = f (a ) .
k →∞
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Man schreibt dann auch
ist stetig.
Satz 1.1. (Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen und Funktionen).
lim f (x ) = f (a ) .
x →a
Die beiden Funktionen f und g seien in einer Umgebung der Stelle x 0
definiert. Für gegen a konvergente Folgen (x k ) besitzen beide Funktio-
Wenn man die Funktion zeichnet, so zeigt der Graph der Funktion keine
nen einen Grenzwert, und es gelte:
lim f := lim f ( x ) = c1 , lim g := lim g (x ) = c 2
„Sprünge“.
x→a
x→a
mit c1 , c 2 ∈ IR.
Dann gelten folgende Rechenregeln:
Definition: f heißt stetig in X, falls f in jedem Punkt von X stetig ist.
Beispiele für stetige Funktionen sind konstante Funktionen, der
Absolutbetrag, Polynome, die Quadratwurzel, die Exponentialfunktion,
die Logarithmusfunktion, die Sinusfunktion, etc. Die Treppenfunktion jedoch besitzt in den Unterteilungspunkten Unstetigkeits- bzw. Sprungstellen.
[G1] lim d = d
d = const . ∈ IR
[G2] lim(λ1f ± λ2 g ) = λ1 lim f ± λ2 lim g = λ1c1 ± λ2 c2
λ1 , λ2 ∈ IR
[G3] lim(f ⋅ g ) = lim f ⋅ lim g = c1 ⋅ c2
[G4]
lim
c2 ≠ 0
f lim f c1
=
=
g lim g c 2
[G5] lim(g o f ) = lim(g (f )) = g (lim(f )) = g (c1 )
falls: siehe *
Spezielle Beispiele:
(1)
f (x ) = x ist eine stetige Funktion, denn wenn x → a gilt,
dann gilt natürlich auch f (x ) → f (a ) .
(2)
f (x ) = c (Konstante c) ist eine stetige Funktion.
(3)
+ 1 falls x > 0

f (x ) = sign(x ) =  0 falls x = 0
- 1 falls x < 0

ist nicht stetig in x = 0 .
1 
z.B. (x k ) =   hat Grenzwert 0
k 
(f (x k )) = (+ 1) hat Grenzwert 1
aber f (0 ) = 0 .
(4)
 x für x ≤ 1
g( x ) = 
1 für x > 1
* falls g in der Nähe von c1 definiert ist und lim g(x) = g(c1). Mit andex →c1
ren Worten: Der Grenzwert einer Folge von Funktionswerten ist in den
obigen Beispielen gleich dem Funktionswert des Grenzwertes der Folge.
Anwendungsbeispiele:
h( x) = lim x = a,
Wenn h( x) = x, lim
x →a
x →a
f ( x ) = h ( x ) ⋅ h ( x ) = x ⋅ x,
g ( x) = 1 − x , dann
lim f (x ) = lim x 2 = a 2 wegen G3,
x →a
x →a
lim g (x ) = lim (1 − x ) = 1 − a wegen G2
x →a
x →a
lim g ( x ) / f ( x ) = (1 − a ) / a 2 (falls a ≠ 0 ) wegen G4
x →a
Insbesondere gilt (auch für f(x)=x):
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[G6] lim f
Satz 1.2.
k
= (lim f ) = c1k
k ∈ IN
k
k ∈ IN; f , c1 ≥ 0
[G7] lim k f = k lim f = k c
1
gende Funktionen stetig:
1. f ± g ,
[G8] lim e f = e lim f = e c1
2. f ⋅ g ,
[G9] lim(ln f ) = ln(lim f ) = ln c1
f , c1 > 0
3.
Nennen wir f(xk) = yk und g(xk) = zk
-
(yk) konvergiert gegen c1, heißt:
f
g
- dass alle Polynome y = P (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n stetige
Funktionen sind.
zu jedem ε1 gibt es K1 (ε1) so dass y k − c1 < ε1 für alle k > K1 (ε1).
- dass alle rationalen Funktionen
(zk) konvergiert gegen c2, heißt:
y=
zu jedem ε2 gibt es K2(ε2), ...
- zu zeigen: (yk zk) konvergiert gegen c1 c2, d. h. zu jedem ε gibt es K(ε),
P (x )
mit P (x ), Q (x ) Polynome stetig sind, außer (unter UmstänQ(x )
den) an den Stellen x mit Q(x ) = 0 .
so dass y k zk − c1c 2 < ε für alle k > K (ε)
Satz 1.3.
- Umformen:
y k z k − c1c 2 = y k z k − c1c 2 − ( y k c 2 − c1c 2 ) − ( z k c1 − c1c 2 ) + ( y k c 2 − c1c 2 ) + ( z k c1 − c1c 2 )
= ( y k − c1 )( z k − c2 ) + c2 ( y k − c1 ) + c1 ( z k − c2 )
Seien f : X → IR und g : Y → IR Funktionen mit X, Y ⊆ IR
und f ( X ) ⊆ Y . f sei in X und g in Y stetig. Dann ist die verkettete Funktion
g o f : X → IR stetig in X.
≤ y k − c1 ⋅ z k − c2 + c2 ⋅ y k − c1 + c1 ⋅ z k − c1
Beispiel:
< ε1 ε2 + c2ε1 + c1ε2
f : IR → IR
falls k > K(ε1), K (ε2)
x → x3
<ε
falls so gewählt dass ε1 , ε 2 <
(für g (x ) ≠ 0 , x ∈ X )
Aus diesen Sätzen folgt,
Beweisskizze für G 3:
-
Sind Funktionen f und g in X ⊆ IR stetig, dann sind auch fol-
ε
3
, ε1 <
ε
3 c2
,ε2 <
c1 , c 2 ≠ 0 , (falls = 0, sowieso kein Problem)
ε
3 c1
g : IR + → IR
y → ln y
Satz anwendbar auf g o f ? Nein! f(IR) ⊄ IR +!
Also nicht ohne weiteres ln x 3 betrachten! (f auf IR + beschränken!)
Satz aber anwendbar auf f o g , weil g(IR +) ⊆ IR.
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Satz 1.4.
Beispiel 2:
Sei f : X → IR mit X ⊆ IR streng monoton und stetig in X,
dann existiert die Umkehrfunktion f −1 : f ( X ) → X und ist ebenfalls streng
X = ]− 1, 1[
monoton und stetig.
 x 2 für x ≤ 1
2
f(x) = 
1
sonst

4
Beispiele:
(a) Ist der Satz anwendbar?
(1)
y = f (x ) = 2 x + 3 ist eine monoton steigende auf IR definierte
(b) Gelten die Aussagen des Satzes?
Funktion.
(2)
y −3

⇒ Die Umkehrfunktion existiert  x = f −1 (y ) =
.
2 

Die vorangegangenen Betrachtungen sollen nun auf den mehrdimensio-
g: IR → IR, y = g (x ) = x 2 ist monoton fallend für x ≤ 0 und mono-
man sich noch „vorstellen“, z. B. f(x, y) als Funktionswert über der (x, y)-
ton steigend für x ≥ 0 . Die Umkehrfunktion existiert nicht. Aber für
Ebene. Welche Gestalt hat f (x, y) = x + y?
nalen reellen Raum übertragen werden. Funktionen f: IR2 IR kann
~ (x ) = x 2 existiert g
~ −1 .
~ : IR+ → IR+, y = g
g
Grenzwerte und Stetigkeit im n-dimensionalen reellen Raum
Satz 1.5.
Sei X ein abgeschlossenes Intervall in IR und f : X → IR ste-
tig, dann gilt:
(
Definition. Sei x k mit x k = x k1 , x k 2 ,K , x k n
) eine Folge von Punkten
1. f ist beschränkt.
im IRn. (Lies x k i als i-te Komponente von xk .) (x k ) heißt konvergent
2. f nimmt in X ihr Maximum und Minimum an.
gegen den Punkt a = (a1 , a2 ,K , an ) ∈ IRn, wenn zu jeder beliebig kleinen
3. f nimmt in X jeden Zwischenwert zwischen ihrem Maximum und
Umgebung U von a, beispielsweise zu jedem Quader, der a enthält, ein
Minimum (mindestens einmal) an.
K ∈ IN existiert, so dass gilt:
xk ∈ U
für alle k ≥ K .
Beispiel 1: X = [0,1] = abgeschlossenes Intervall zwischen 0 und 1.
f (x ) =
1
1+ x
f ist auf X stetig.
Schreibweise.
lim x k = a .
k →∞
Also ist der Satz anwendbar, also nimmt f auf X ein Maximum
Offensichtlich ist die Konvergenz von Punktfolgen im IRn eine Verallge-
und ein Minimum an.
meinerung der Konvergenz von Folgen reeller Zahlen. Der folgende Satz
stellt den Zusammenhang dar.
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Satz 1.6.
Der folgende Satz ist das Gegenstück zu Satz 1.5. Allerdings kann die
Eine Folge (x k ) von Punkten im IRn konvergiert genau dann
gegen den Punkt a ∈ IR , wenn für jedes i = 1, 2, ..., n gilt:
n
lim x k i = ai .
Aussage über den Zwischenwert im Intervall nicht allgemein übertragen
werden. (Hierzu müsste noch gefordert werden, dass die Menge X zu-
k →∞
sammenhängend ist. Zusammenhängend bedeutet, dass je zwei Punkte
Mit anderen Worten erfolgt die Konvergenz im IRn also komponenten-
der Menge durch eine (nicht notwendig gerade) Linie verbunden werden
können, die ganz in der Menge liegt.)
weise.
Die Stetigkeit einer Funktion ist analog für Funktionen f : IRn → IRm definiert.
Definition: X ⊆ IRn ist abgeschlossen, wenn mit jeder konvergenten
Folge (x k ) von Punkten in X auch der Grenzwert der Folge in X liegt. X
Anpassung der Definition für Stetigkeit für f : IRn → IR1.
Definition. Sei f : X → IR mit X ⊆ IRn eine Funktion und a ∈ X . Die
ist beschränkt wenn es a∈
∈IR gibt mit xj< a für alle x∈
∈X. X ist eine
kompakte Teilmenge des IRn, wenn X beschränkt und abgeschlossen
ist.
Funktion f heißt stetig (continuous) im Punkt a, falls für jede Folge
(
)
x k = x k1 , x k 2 ,K , x k n gilt
lim f (x k ) = f (a ) .
k →∞
Satz 1.8.
Sei X eine kompakte Teilmenge des IRn und f : X → IR ste-
tig, dann gilt:
1. f ist beschränkt.
Man schreibt dann auch
lim f (x ) = f (a ) .
2. f nimmt in X ihr Maximum und Minimum an.
x →a
Satz 1.1 und Satz 1.2 gelten analog für Funktionen f : IRn → IR1, d.h. f+g
Beispiele:
und f⋅g sind stetig, wenn f und g stetig sind. f/g ist stetig für stetige f und
(1)
X = [0,1] × [0,1]
g in Punkten x∈ IR , für die g(x)≠0 gilt.
wobei [0,1] das abgeschlossene Intervall zwischen 0 und 1 be-
Beispiel: g1(x1,x2,x3)= x1, g2(x1,x2,x3)= x2 , g3(x1,x2,x3)= x3 sind stetige
zeichnet.
n
Funktionen. Deshalb ist auch f(x1,x2,x3)= x1+x2+x3 eine stetige Funktion.
f (x , y ) =
x2
1+ y
für (x , y ) ∈ X .
Eine Abbildung f = (f1 , f2 ,K , fm ) : IRn → IRm ist genau dann
Nimmt f ein Maximum auf X an? Ja, denn X ist abgeschlossen und
stetig, wenn alle Komponenten fi : IRn → IR mit i = 1, 2, ..., m stetig sind.
beschränkt, und f ist stetig (Satz 2 und 7). Damit ist Satz 8 an-
Satz 1.7.
wendbar.
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(2)
X = [0 ,1] × ]0 ,1[
wobei ]0 ,1[ das offene Intervall zwischen 0 und 1 bezeichnet.
Nimmt f ein Maximum auf X an?
- Der Satz ist nicht anwendbar, weil X nicht kompakt ist.
- f nimmt kein Maximum auf X an, weil f (x , y ) monoton steigend
in x ist, und monoton fallend in y ist, aber (x , y ) = (1,0 ) ∉ X .
(3)
X = ]0 ,1] × [0 ,1[
Ist der Satz anwendbar? Nimmt f ein Maximum auf X an?