Physik hinter modernen Technologien Musterlösung 1

Physik hinter modernen
Technologien
Musterlösung 1
Aufgabe 1.1
FS 2011
Prof. M. Sigrist
Diffusion und Drift im random hopping Modell
a) Die Auswahl der Hüpfrichtung bei der eindimensionalen Zufallsbewegung ist vergleichbar
mit dem Wurf einer Münze bei jedem Schritt, wobei Kopf nach rechts und Zahl nach links
bedeutet. Die Position xn hat die Bedeutung einer Zufallsvariable, deren Veränderung
rn = xn+1 − xn den Wert ±1 annehmen kann, mit jeweiliger Wahrscheinlichkeit p± =
p[rn = ±1], die zu Beginn gleich Γ = 0.5 sein soll. Abb.1 zeigt typische random walks mit
x0 = 0. Der Erwartungswert nach n Schritten ist:
hxn i = n(+1 · p+ + (−1) · p− ) = 0.
(1)
In Übereinstimmung finden wir in unserer Simulation, dass der nach n Schritten im Mittel
zurückgelegte Weg hxn − x0 i = 0, d.h. ein Teilchen bewegt sich im Mittel nicht von seiner
Ausgangsposition weg. Beachte, dass in der Simulation über verschiedene runs gemittelt
wird. Die Verteilungsfunktion für die Position ist eine Normalverteilung, Abb.1 zeigt die
entsprechenden Histogramme für die verschiedenen runs.
Abbildung 1: Random walks und die entsprechenden Positions-Histogramme.
b) Die Distanz nach m Schritten hat den Erwartungswert:
hrn (m)i ≡ hxn+m − xn i = hrn+m−1 + rn+m−2 + · · · + rn i
= hrm+n−1 i + hrn+m−2 i + · · · + hrn i = 0,
(2)
(3)
wobei verwendet wurde, dass es sich bei den einzelnen Schritten um unabhängige Zufallsereignisse handelt. Verteilungsfunktion Pm (x) ≡ P [r(m) = x]: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann z.B. durch ein Galton’sches Brett dargestellt werden. Man findet die
Rekursionsrelation
1
Pm (x) = [Pm−1 (x − 1) + Pm−1 (x + 1)] ,
(4)
2
woraus als diskrete Verteilungsfunktion die Binomialverteilung
1
m
Pm (x) = m
(5)
x+m
2
2
deren Kontinuumslimes die Gauss’sche Normalverteilung
x2
1
Pσ (x) = √
e− 2σ2
2πσ
(6)
als Kontinuumslimes (Satz von DeMoivre-Laplace, Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes) mit σ 2 = m
4 ergibt.
Der mittlere Abstand zur mittleren Position, d.h. die mittlere Abweichung vom Erwartungswert der Position entspricht der statistischen Standardabweichung
p
δr(m) = (hxn+m − xn − hrn (m)i)2 i.
(7)
Für den von uns betrachteten Fall finden wir:

(δr(m))2 = h(xn+m − xn )2 i = h
m−1
X
2
rn+j  i
(8)
j=0
m−1
X m−1
X
=h
rn+i rn+j i =
i=0 j=0
⇒ δr(m) =
m−1
X
i,j=0
√
hrn+i rn+j i = m
| {z }
(9)
=δij
m.
(10)
√
c) Die Breite σ der Normalverteilung in Gl. (6) ist proportional zu σ ∝ m, demnach zu
δr(m). Mit zunehmender Anzahl Schritte verbreitert sich also die Verteilungsfunktion.
Setzt man die Zahl der Schritte mit dem Verlauf einer entsprechenden Anzahl von Zeitintervallen gleich, so erhält man eine Verbreiterung linear in der Zeit, mit σ 2 = 2Dt, wobei
D ein Mass für die Verbreiterung ist und deshalb als Diffusionskonstante bezeichnet wird.
(m)
d) Die Teilchendichte am Ort i zur Zeit m sei ni . Für die Veränderung in einem Zeitschritt
gilt folgende diskrete Ratengleichung:
(m+1)
(m)
(m)
(m)
(m)
ni
− ni = Γ ni+1 + ni−1 − 2Γni .
(11)
Mit
nm+1
− nm
i
i
(m)
(m)
ni+1 − 2ni
(m)
+ ni−1
→
→
∂n
,
∂t
∂2n
a2 2
∂x
τ
(12)
(13)
folgt die kontinuierliche Diffusionsgleichung
∂n
∂2n
= D 2,
∂t
∂x
D=
a2 Γ
.
τ
(14)
Aus der Kontinuitätsgleichung
∂n
~ · JD
= −∇
∂t
folgt schliesslich das Fick’sche Gesetz für die Diffusionsstromdichte,
~
JD = −D∇n.
(15)
(16)
Die Lösung der Diffusionsgleichung zu einem gegebenen
n(x, 0) = n0 (x)
Anfangsprofil
1
x2
√
kann mittels der Greensfunktion G(x, t) = 4πDt exp − 4Dt gefunden werden als die
Konvolution
Z ∞
n(x, t) =
G(y − x, t)n0 (y)dy.
(17)
−∞
Abbildung 2: Lösung der Diffusionsgleichung für stufenförmiges Anfangsprofil.
Für ein stufenförmiges Anfangsprofil n0 (x) = θ(x) findet man die Lösung
x
n(x, t) = 1 + Erf √
/2.
2 Dt
(18)
Abb.2 zeigt die Lösung zu verschiedenen Zeiten.
e) Aus Gl. (1) folgt direkt, dass
hxn i =
6 0 ⇔ p[rn = +1] 6= p[rn = −1].
Es sei nun p[rn = ±1] =
1±w
2 ,
(19)
mit w ∈ (0, 1). Der Erwartungswert nach n Schritten ist:
1+w 1−w
−
) = nw
2
2
Damit ist der Erwartungswert der Distanz nach m Schritten:
hxn i = n(+1 · p+ + (−1) · p− ) = n(
(20)
hrn (m)i = mw.
(21)
Die Standardabweichung folgt aus
(δr(m))2 = h(xn+m − xn − hrn (m)i)2 i = h(xn+m − xn )2 i − hrn (m)i2
=
m−1
X
m−1
X
i=0
i,j=0;i6=j
2
hrn+i
i+
(22)
hrn+i rn+j i − hrn (m)i2 ;
(23)
2
hrn+i
i = 1,
(24)
"
hrn+i rn+j i = +1
1+w
2
2
+
1−w
2
2 #
+ (−1) · 2
1+w
2
1−w
2
(25)
= w2
(26)
p
p
⇒ δr(m) = m + m(m − 1)w2 − m2 w2 = m(1 − w2 ).
(27)
Ein numerisches Beispiel mit w = 0.01 ist in Abb. 3 dargestellt.
f) Mit Γ± =
1±w
2
wird die diskrete Ratengleichung
(m+1)
ni
(m)
− ni
(m)
(m)
(m)
= Γ− ni+1 + Γ+ ni−1 − (Γ+ + Γ− )ni
Γ+ + Γ− (m)
(m)
(m)
ni+1 + ni−1 − (Γ+ + Γ− )ni
=
2
Γ+ − Γ− (m)
(m)
−
ni+1 − ni−1
2
w
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
= Γ ni+1 − 2ni + ni−1 −
ni+1 − ni−1 .
2
(28)
(29)
(30)
(31)
Abbildung 3: Random walk mit Drift aufgrund unterschiedlicher Hüpfwahrscheinlichkeiten, mit
mittlerer Position sowie Standardabweichung.
Der zweite Term auf der rechten Seite beschreibt den Beitrag des Driftstroms und hat den
Kontinuumslimes
w (m)
∂n
(m)
→ −wa ,
−
ni+1 − ni−1
(32)
2
∂x
was einem Driftstrom Jdrif t = wa
τ n entspricht.