Beipiel 4: Iteratives Lösen von Gleichungen Kepler

Beipiel 4: Iteratives Lösen von Gleichungen
Kepler-Gleichung:
bis
für
Finde Lösung
inklusive!
Physikalische Anwendung im Kepler-Problem: Gl. (1) bestimmt den Zusammenhang
zwischen Laufzeit t und der "exzentrischen Anomalie" E.
Laufzeit:
Umlaufzeit:
const =
"mittlere Anomalie":
"wahre Anomalie":
(= Winkel bzgl. Fokus)
"exzentrische Anomalie":
Fokus
"Exzentrizität der Ellipse":
Kreisbahnen
werden gleichmäßig durchlaufen:
Elliptische Bahnen
wird periodisch moduliert, wegen
Flächensatz: "Radiusvektor überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten":
Lösungsansatz:
sind zu bestimmende Funktionen v. M:
Lösung bis zur 2. Ordnung inklusive:
(1) eingesetzt in (21.1):
Vorfaktor
, also reicht 1. Ordnung!
Taylorentwicklung von
mit
Vergleiche Koeffizienten von Potenzen von
:
Gesuchte Lösung:
7.3 Satz v. Taylor für Funktion von n Variablen
Sei
ein offener Quader mit
und
ein Vektor, so dass
eine K+1 mal stetig
Weiter sei
um
differenzierbare Funktion. Dann lautet d. Taylor-Entw. v.
mit Restglied:
wobei
Speziell in
kommt von
Beispiel 1: Coulomb-Potential
Kettenregel
für
Beispiel 2: Potential eines Dipols
"Dipol" = Ladung +Q und -Q im Abstand h voneinander:
"Dipolmoment":
Was ist das Potential eines Dipols im Limes
"Punktdipol"
Elektrisches Feld eines Dipols für
Potential eines Punktdipols
Äquipotentiallinien
:
Elektrisches Feld Punktdipols
Feldlinien (
zu Äquipotentiallinien)
7.4 Extrema unter Nebenbedingungen
Problemstellung: Betrachte Funktionen
Suche Extrema von
unter der Nebenbedingung
Beispiel 1:
Nebenbedingung:
[besagt: (x,y) liegt auf Einheitskreis]
Lösungstrategie A:
Auflösung der Nebenbedingung
und einsetzen in f:
Suche nun Extrema von
Lösungen:
Lösungstrategie A ist oft unpraktisch: Auflösen der Nebenbedingung von Hand ist
häufig nicht möglich; oder, falls mehrere Lösungen existieren, wird es aufwendig...
Lösungstrategie B:
Lagrange-Multiplikator
Geometrische Betrachtung:
Nebenbedingung:
Wie findet man Extremum von f(x,y) falls
es keine Nebenbedingung gibt? Laufe in
Richtung der maximalen Steigung, d.h. von
,
Wie findet man Extremum von f(x,y) falls
eine Nebenbedingung vorhanden ist?
Wie oben, aber mit der Einschränkung,
dass nur "entlang der (g=0)-Linie" gelaufen
werden darf, d.h. in Richtung
, wobei
die Zerlegung von
in Komponenten
und
(g=konstant)-Linien
zu
ist.
Ein Extremum v. f, unter der Nebenbedingung g=0, ist erreicht wenn
An diesem Punkt gilt somit
Formale Formulierung:
"Lagrange-Multiplikator"
Betrachte die Funktion
Notwendige Bedingungen für Extremum v. f mit g=0:
[äquivalent zu (28.6)]
[äquivalent zu
]
Beispiel 1 nochmal, mit Lösungstrategie B:
Eliminiere
: (5) - (6):
(8) in (7):
Beachte: es ist nicht nötig
zu bestimmen!
Allgemeine Formulierung:
, explizit
Finde Extrema von
mit Nebenbedingungen
Lösungstrategie:
Führe
Lagrange-Multiplikatoren ein,
und betrachte
Kandidaten für Extrema
müssen folgende Gl. erfüllen:
Beispiel 2: Was ist maximales Volumen eines Zylinders gegebener Oberfläche?
Volumen:
Oberfläche:
Decke + Boden
Mantel
Betrachte
Maximales Volumen:
Check: Konventionell, eliminiere
Anwendung aus d. Statistischen Physik: Entropiemaximierung
Ein Quantensystem mit N möglichen Zustanden,
befinde sich mit Wahrscheinlichkeit
in Zustand
,wobei
Die "Entropie" des
Systems ist:
Aufgabe 1: bestimme die Wahrscheinlichkeiten
, für die
maximal
Nebenbedingung
Lösung: Betrachte
alle p's sind gleich:
Fazit: Entropie ist maximal falls alle Wahrscheinlichkeiten
gleich sind.
Aufgabe 2: Weitere Nebenbedingung: vorgegebene Energie
Sei
die Energie des Quantensystems im Zustand
Der Mittelwert der Energie ist dann:
Für gegebenes E, bestimme die Wahrscheinlichkeiten,
Lösung: Betrachte
für die
Nebenbedingung 1
maximal ist!
Nebenbedingung 2
(33.3) liefert:
"BoltzmannFaktor"
Definiere:
T = "Temperatur",
= "Boltzmann-Konstante"
(33.4) liefert:
"Zustandsumme":
(33.5) liefert:
Gl. (5) legt die Variable T so fest, dass mittlere Energie den gewünschten Wert E hat.
Die Zustandsumme Z in Gl. (4) ist dann ein Normierungsfaktor, so dass
Die Form
heisst Boltzmann-Verteilung.