A v - Bildungsportal Sachsen
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Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 190 2etv21 2 2.1 2.1.1 Ausgewählte Kapitel elektromagnetischer Felder Kapazitätsberechnung von Elektrodenanordnungen Maxwellsche Gleichungen des Ladungsfeldes ∂ = 0 und J = 0 elektrostatisches Feld ∂t keine zeitlichen Änderungen der Größen keine Ströme Maxwellsche Gleichungen: G G E ∫ ⋅ ds = 0 das elektrische Feld ist ein Potenzialfeld G G D ∫ ⋅ dA = Q eine Ladung erzeugt im Raum ein Verschiebungsdichtefeld. Diese Feld hat die Fähigkeit, Ladungen zu verschieben, Ladungen in metallischen Leitern zu trennen G K D = ε ⋅E Materialgleichung, das Verschiebungsdichtefeld ist außer von der Feldkonfiguration nur von der Größe der Ladung abhängig, das elektrische Feld zusätzlich von der Permittivität des den Raum erfüllenden Stoffes. G G Ψ = Q = v∫ D ⋅ dA Verschiebungsfluss, von der felderzeugenden Ladung ausgehende "Strömungsgröße", ist gleich der in einem in das Ladungsfeld gebrachten metallischen Leiter verschobenen (getrennten) Ladungsmenge, ist Ladung gleichmäßig auf der felderzeigenden Elektrode verteilt ist σ=D= Ψ Q = . A A σ ist Ladungsdichte, ist auf einer in den Raum gelegten Fläche die TangentialKomponente des Verschiebungsdichtevektors in der Fläche gleich Null, liegt eine Äquipotenzialfläche vor, ist gleichzeitig die Normalkomponente des Verschiebungsdichtevektors über der Fläche konstant, gilt für diese Fläche D= Ψ A Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 191 2etv21 ∂ ≠ 0 mit der Einschränkung: ∂t T tL smax c smax c quasistationäres elektrisches Feld T tL = Periodendauer der Feld-Wechselgröße Laufzeit der elektrischen Erscheinung maximale Längenausdehnung der elektrischen Anlage, Gerät, Bauelement Lichtgeschwindigkeit G ∂D G Verschiebungsstromdichte = Jv ∂t G G G G ∂ ∫ D ⋅ dA ∂Ψ ∂Q Verschiebungsstrom Iv = ∫ Jv ⋅ dA = = = ∂t ∂t ∂t Verschiebungsstrom ist Strom, der an die zeitliche Änderung des elektrischen und des Verschiebungsdichtefeldes gebunden ist. Getroffene zeitliche Einschränkung lässt den Aufbau eines zeitlich veränderlichen Magnetfeldes durch diesen Strom unbedeutend werden, keine Wellenausbreitung Kontinuität des Stromes im Stromkreis, Ik Konvektionsstrom im Leiter, dQ dt bewegte Ladung durch Leiterquerschnitt Φ Iq IK = Iv Verschiebungsstrom im Nichtleiter Φ Φ Ik ∂Q ∂t Ladungsänderung auf Elektroden Iv = Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 192 2etv21 2.1.2 a) Elektrisches Feld mehrerer Punktladungen Feld der Punktladung Punktladung Q ist Ladung auf einer Elektrode mit dem Radius rE → 0 . Feld der Punktladung ist kugelsymmetrisches Feld. Gegenelektrode wird als Hohlkugel mit dem Radius ra → ∞ angesetzt. D (r ) = ra → ∞ E (r ) = Q G E Ψ Q = A ( r ) 4π ⋅ r 2 D (r ) ε0 = Q ε0 ⋅ 4π ⋅ r 2 Fernkugel b) Feld zweier (mehrerer) Punktladungen Sind im Raum mehrere Punktladungen vorhanden, stellt sich das elektrische Feld aus der Gesamtwirkung (Überlagerung) der Ladungen ein. Die Feldstärke in einem Raumpunkt kann folgendermaßen bestimmt werden: Berechnung des Feldstärkeanteils jeder Ladung im betrachteten Raumpunkt a Vektorielle Addition, Zerlegung jedes Vektors in die 3 Raumkomponenten Ex; Ey; Ez 1. Möglichkeit: G Ea G Ea2 G Ea2 z G Ea1 y G G G G Eax = Ea1x + Ea2x + Ea3x + .... G G G G Eay = Ea1y + Ea2y + Ea3y + .... G G G G Eaz = Ea1z + Ea2z + Ea3z + .... x a G r1 G G G G Ea1 = Ea1x + Ea1y + Ea1z G G G G Ea2 = Ea2x + Ea2y + Ea2z E a = E 2xa + E 2ya + E 2za G r2 Q1 Q2 G G G G E a = E a1 + E a 2 + E a3 + .... aufwendig, nur rechentechnisch anwendbar Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 193 2etv21 2. Möglichkeit: Elektrostatisches Feld ist Potenzialfeld, das durch Angabe des Potenzials in jedem Raumpunkt eindeutig beschrieben ist. Da Potenzial skalare Größe, ergibt sich das Potenzial in einem Punkt a bei mehreren Ladungen aus der algebraischen Addition der Einzelpotenziale der Ladungen ϕa = ϕa1 + ϕa2 + ϕa3 + ... wobei für Punktladungen das Einzelpotenzial nach der Beziehung berechnet wird: 0 G G ∞ Qν Q ϕaν = ∫ Eν ⋅ ds = ∫ ⋅ dr = 2 4π ⋅ ε0 ⋅ r 4π ⋅ ε0 ⋅ raν a ra Liegen keine Punktladungen vor, muss das Potential allgemein bestimmt werden nach 0 G G ϕ a ν = ∫ E ν ⋅ ds a 2 Punktladungen Q1; Q2 Beispiel: Q1 4π ⋅ ε 0 ⋅ r1 Q2 ϕ2 = 4π ⋅ ε 0 ⋅ r2 ϕ1 = Pa r1 Q1 ϕ = ϕ1 + ϕ2 = r2 Q2 Q1 Q 2 + r r 2 1 Haben die Punktladungen gleichen Betrag aber entgegengesetztes Vorzeichens: Q1 = +Q; Q2 = -Q ϕ= +Q 1 4π ⋅ ε 0 −Q Q 4πε 0 1 1 − r1 r2 Gleichung wird von unendlich vielen Wertepaaren r1; r2 erfüllt. Q ⋅ r1 r2 = Q − 4π ⋅ ε 0 ⋅ ϕ ⋅ r1 Feldlinien können nicht mit der Methode der quadratähnlichen Figuren eingezeichnet werden, da kein parallelebenes Feld vorliegt! Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 194 2etv21 2.1.3 Definition der Kapazität Experiment Q µAs 15 t=0 C1 A = 2.2µF Iq Ri C = 1.0µF C2 I V U 10 R Mi = ∞ C3 = 0.47µF 5 5 10 Gegeben ist eine Anordnung zweier beliebig geformter Metallelektroden, die durch einen Nichtleiter gegeneinander isoliert sind (einfache Anordnung kann aus zwei planparallelen Metallelektroden in Luft bestehen). Die technische Realisierung einer solchen Anordnung ist ein Kondensator. Wird der Schalter zur Zeit t = 0 geschlossen, erhöht sich die Ladung auf dem Metallelektroden. Bei I = k ⋅ Iq gilt: Q = Q(0) + I ⋅ t bei Q(0) = 0 Q = I⋅ t Experimentell nachweisbar, dass die Spannung zwischen den Elektroden der Ladung direkt proportional ist U ∼ Q Einführung des Proportionalitätsfaktors Kapazität C Q=CU Q C= U Maßeinheit [C] = [Q] = As = F [U] V (Farad) Da an jede beliebige Anordnung zweier durch einen Isolierstoff getrennter Leiter (Elektroden) eine Spannung angelegt werden kann, muss für diese Anordnung auch stets eine Kapazität C angegeben werden können. Kapazität C ist von der Permittivität des Isolierstoffes (Dielektrikum) zwischen den metallischen Elektroden und dessen geometrischen Abmessungen abhängig. Kapazität steigt bei: - Vergrößerung der Elektrodenfläche - Verringerung des Elektrodenabstandes 15 U/ V Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 195 2etv21 Technische Geräte zur Realisierung einer bestimmten Kapazität sind Kondensatoren. Fertigungsbereich: 10-12F<C<10-2F. 1pF<C<10mF Beim idealen Bauelement Kondensatoren ist die Leitfähigkeit des Isolierstoffes κ = 0 , ideale Kondensatoren haben nur Kapazität C. Im Gegensatz zum idealen Kondensator ist im Isolierstoff (Dielektrikum) technischer Kondensatoren κ ≠ 0, eine Restleitfähigkeit vorhanden. Es existiert ein Leckwiderstand, über dem Leckverluste entstehen. Ersatzschaltbild des technischen Kondensators: C Bei Betrieb mit Wechselstrom der Frequenz f werden die Leckverluste durch den Verlustfaktor: tanδ beschrieben. R Im 1 ωC YC = jωC ZC = − j ZR = R YR = 1 R δ Y YC = jωC tan δ = 1 1 = ω ⋅ C ⋅ R 2πf ⋅ C ⋅ R YR = 1 R Re Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 196 2etv21 b) Kapazitätsberechnung von Kondensatoren Gegebene Feldanordnung mit metallischen Elektroden in einem nichtleitendem Medium G Gmit der Permittivität ε, mit isotropem (richtungsunabhängigem) Verhalten von D und E , wobei die Ladung auf den Elektroden bzw. die Spannung zwischen den Elektroden bekannt ist. 0 G G ϕ A = ∫ E ⋅ ds A Q E D Ψ Q D= = A A D E= ε 0 G G ϕB = ∫ E ⋅ ds B Plattenkondensator: A ϕA 0 ε0 d d ϕB = 0 x D= Q A d E= ϕA = ∫ E ⋅ dx = 0 Q Q⋅d d ⋅x0 = A ⋅ ε0 A ⋅ ε0 UAB = ϕA − ϕB = C= D Q = ε0 A ⋅ ε0 Q⋅d A ⋅ ε0 Q ⋅ A ⋅ ε0 A ⋅ ε0 Q = = UAB Q⋅d d ϕA ϕB CAB UAB UAB = ϕA − ϕB C AB = Ψ Q = U AB U AB Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 197 2etv21 Kugelkondensator Ψ ϕi Q D= Q Ψ = A 4π ⋅ r 2 E= Q 4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2 ε0 ri ra ϕa = 0 r ra r r a a 1 1 Q dr Q 1 Q ϕi = ∫ E ⋅ dr = ⋅∫ 2 = ⋅− = ⋅ − 4π ⋅ ε0 ri r 4π ⋅ ε0 r ri 4π ⋅ ε0 ri ra ri 1 1 Q ⋅ − 4π ⋅ ε0 ri ra 4π ⋅ ε0 Q Q = = C= Uia Q 1 1 1 1 ⋅ − − 4π ⋅ ε0 ri ra ri ra Uia = ϕi − ϕa = Koaxialkondensator Ψ Q = A 2π ⋅ s ⋅ r Q E= 2π ⋅ ε ⋅ s ⋅ r D= Ψ ε0 ϕL ri Q ϕ=0 ra r ra r a r Q dr Q Q r U = ∫ E ⋅ dr = ⋅∫ = ⋅ lnr ra = ⋅ ln a i 2π ⋅ ε ⋅ s ri r 2π ⋅ ε ⋅ s 2π ⋅ ε ⋅ s ri ri C= 2π ⋅ ε ⋅ s r ln 2 r1 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 198 2etv21 2.1.4 a) Kapazität von Leitungen Doppelleitung Doppelleitung besteht aus zwei parallelen zylindrischen Leitern mit den Radien rL , der Länge s und dem Abstand a im Isolierstoff der Permittivität ε . Dabei soll gelten: s a a rL a 2rL 2rL Beide Leiter werden als Innenleiter in einem gemeinsamen Außenzylinder mit ra a betrachtet. Für jeden der beiden Leiter entsteht eine koaxiale Anordnung. Mit der Spannung U zwischen den beiden Leitern ergibt sich die Kapazität C= Q U Potenzial eines Leiters im Feldraum zwischen dem Leiter und dem Außenleiter ra ra Q rP ϕP = P ϕP r a Q dr ϕP = ∫ E ⋅ dr = ⋅∫ 2π ⋅ ε ⋅ s rP r rP r Q ⋅ ln a 2π ⋅ ε ⋅ s rP UPa UPa = ϕP − ϕa = r Q ⋅ ln a 2π ⋅ ε ⋅ s rP ϕa = 0 Überlagerung der Potenziale der beiden Leiter der Doppelleitung. Überlagerung nur möglich, wenn die Ladung gleichmäßig auf der Leiteroberfläche verteilt ist, nur dann gilt die Berechnung der koaxialen Leitung. Bedingung: a rL sonst beeinflussen sich die Ladungen beider Leiter durch Coulombsche Kräfte. Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 199 2etv21 wenn ra a , kann mit der koaxialen Beziehung für beide Leiter gerechnet werden Q1 = +Q Q2 = −Q a r1 r2 2rL 2rL P r r Q1 Q2 ⋅ ln a + ⋅ ln a 2π ⋅ ε ⋅ s r1 2π ⋅ ε ⋅ s r2 Q 2 = −Q ϕP = ϕ1 + ϕ2 = Q1 = +Q ϕP = ϕ1 + ϕ2 = r r Q Q r ⋅ ln a − ln a = ⋅ ln 2 2π ⋅ ε ⋅ s r1 r2 2π ⋅ ε ⋅ s r1 Gleichung liefert in der Bildfläche das Potenzialfeld, es liegt ein parallelebenes Feld vor ( s a ) , Feldlinien können in das Potenzialfeld mit der Kästchenmethode eingezeichnet werden U = ϕL − ϕR Q a ⋅ ln 2π ⋅ ε ⋅ s rL Q r ϕR = ⋅ ln L 2π ⋅ ε ⋅ s a ϕL = ϕL Potenzial des linken Leiters ϕR Potenzial des rechten Leiters r1 = rL r2 = a − rL ≈ a r2 = rL r1 = a − rL ≈ a a a Q r Q U = ϕL − ϕR = ⋅ ln − ln L = ⋅ ln 2π ⋅ ε ⋅ s rL a 2π ⋅ ε ⋅ s rL U= Q a Q a ⋅ 2ln = ⋅ ln 2π ⋅ ε ⋅ s rL π ⋅ ε ⋅ s rL CD = Q π⋅ε⋅s = a U ln rL 2 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 200 2etv21 b) Kapazität der Einfachleitung Feldbild der Doppelleitung − + mittlere Potenzialfläche kann durch ebene Metallfolie ersetzt werden, dadurch entstehen zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren mit der Gesamtkapazität der Doppelleitung − + CE CE h 1 1 1 2 = + = CD CE CE CE CE = 2 ⋅ CD = 2π ⋅ ε ⋅ s a ln rL Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 201 2etv21 2.1.5 a) Elektrisches Feld von Leitungen Einfachleitung Die unmittelbare Berechnung der Anordnung Einfachleitung über der Erdoberfläche (Leiter-Platte) ist nur mit sehr viel Rechenaufwand möglich. Für die Berechnung der Feldstärke einer Einfachleitung wird das Feld der Doppelleitung benutzt. Das Feld der Einfachleitung zwischen Erdoberfläche und Leitung entsteht damit aus der Wirkung Leitung selbst und einer Spiegelleitung gleicher Abmessung und entgegengesetzter Ladung. Spiegelladung Q2 = -Q1 im Abstand a0 = 2 ⋅ h 2rL Q1 = Q Leiterseil hat gegenüber Erde die Spannung u. Benutzung der Leiter-Erde-Kapazität zur Berechnung der Ladung r1 P G E1 G E2 CE r2 h 2π ⋅ ε ⋅ s a ln 0 rL Q = CE ⋅ u CE = a0 CE 2rL Q= 2π ⋅ ε ⋅ s ⋅u a0 ln rL Q2 = −Q Feldstärke im Punkt P: G G G E = E1 + E2 Q1 E1 = 2π ⋅ ε ⋅ s ⋅ r1 E2 = Q2 2π ⋅ ε ⋅ s ⋅ r2 Richtung des Feldstärkevektors durch Ladungsvorzeichen bestimmt, Feldstärkevektor ist von positiver zu negativer Ladung gerichtet. Für flächenhafte Feldanordnungen lassen sich die Feldstärken zweckmäßig mit der komplexen Rechnung bestimmen. G G E1 = E1 ϕ1 E 2 = E 2 ϕ2 G G E1 = E x1 + jE y1 E2 = E x2 + jE y2 G E = E x1 + E x2 + j (E y1 + E y2 ) Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 202 2etv21 b) Feldstärkeberechnung im Feld von Mehrfachleitungen L3 Leiter-Leiter-Spannung ULL Leiter-Neutralleiter-Spannung ULN = L1 L2 uL1N = 2 ⋅ ULN ⋅ cos ( ωt + 0 ) uL2N = 2 ⋅ ULN ⋅ cos ( ωt − 32 π ) a uL3N = 2 ⋅ ULN ⋅ cos ( ωt + 32 π ) h y x a01 = a02 = 2h L3 2 a03 r31 L1 L2 r11 P r11 = h − y r21 = h + y r21 h r21 = a2 + ( h − y ) a03 a01 = a02 y h L1' a L3 ' 2 r22 = a2 + ( h + y ) 2 2 3 a r31 = + h − y + a 2 2 r22 r12 r32 a = 2h + 2 a − = 2h + a 3 2 2 2 2 3 a r32 = + h + y + a 2 2 L2' 2 ULL 3 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 203 2etv21 u11 a r11 ⋅ ln 01 rL u21 E21 = a r21 ⋅ ln 02 rL u31 E31 = a r31 ⋅ ln 03 rL E11 = α11 = arctan α 21 = arctan α31 = arctan E12 = u12 r12 ⋅ ln a01 rL u22 a r22 ⋅ ln 02 rL u32 = a r32 ⋅ ln 03 rL E22 = E32 − (h − y ) 0 h−y a = −90o α12 = arctan α 22 = 180o − arctan h−y+ a 2 3 a 2 − (h + y ) 0 = −90o h+ y a α32 = 180o − arctan h+y+ a 2 3 a 2 Addition der Feldstärkevektoren wird in der komplexen Ebene durchgeführt G E11 = E11 α11 G E12 = E12 α12 G E21 = E21 α 21 G E22 = E22 α 22 G E31 = E31 α 31 G E32 = E32 α 32 G G G G G G G E = E11 + E12 + E21 + E22 + E31 + E32