4.¨Ubungsblatt zur ” Mathematik I für Inf-BSc, WInf“

Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. K.-H. Neeb
PD Dr. Helge Glöckner
Dipl. Math. Stefan Bundfuss
WS06/07
15. November 2006
4. Übungsblatt zur
Mathematik I für Inf-BSc, WInf“
”
Wichtiger Hinweis:
Grundsätzlich müssen alle Antworten begründet und alle Rechnungen angegeben werden.
Gruppenübung
Aufgabe G10 (Monotonie)
Untersuche die Funktionen
fn : R → R : x 7→ xn
und
g : R+ → R : x 7→
√
x
mit n ∈ N und R+ := {x ∈ R | x > 0} auf Monotonie.
Lösung: Es soll gezeigt werden, dass fn eine streng monoton wachsende Funktion ist, falls n
ungerade ist, und dass fn auf dem Intervall (−∞, 0] streng monton fallend und auf dem Intervall
[0, ∞) streng monoton wachsend ist, falls n gerade ist.
Sei 0 ≤ x < y. Mittels vollständiger Induktion soll gezeigt werden, dass dann xn < y n für alle
n ∈ N gilt.
Induktionsanfang: Für n = 1 lautet die Behauptung x < y, was nach Vorraussetzung wahr ist.
Induktionsschluß: Für ein beliebiges aber festes n gelte xn < y n (Induktionsvoraussetzung). Multiplikation der gültigen Ungleichung x < y mit xn und der Induktionsvoraussetzung mit y ergibt
xn+1 ≤ xn y
und
xn y < y n+1 ,
da xn ≥ 0 und y > 0. Daraus folgt
xn+1 < y n+1 .
Sei x < y ≤ 0. Mittels vollständiger Induktion soll gezeigt werden, dass dann xn < y n für alle
ungeraden n ∈ N gilt und xn > y n für alle geraden n ∈ N.
Induktionsanfang: Für n = 1 lautet die Behauptung x < y, was nach Vorraussetzung wahr ist.
Induktionsschluß: Für ein beliebiges aber festes n gelte xn < y n , falls n ungerade, und xn > y n ,
falls n ungerade ist (Induktionsvorraussetzung).
Wir unterscheiden zwei Fälle:
1. Fall: n ist ungerade. Multiplikation der gültigen Ungleichung x < y mit xn und der Induktionsvoraussetzung xn < y n mit y ergibt
xn+1 ≥ xn y
und
xn y > y n+1 ,
4. Übung
Mathematik I für Inf-BSc, WInf
da xn ≤ 0 und y < 0. Daraus folgt
xn+1 > y n+1 .
2. Fall: n ist gerade. Multiplikation der gültigen Ungleichung x < y mit xn und der Induktionsvoraussetzung xn > y n mit y ergibt
xn+1 ≤ xn y
xn y < y n+1 ,
und
da xn ≥ 0 und y < 0. Daraus folgt
xn+1 < y n+1 .
Damit sind die behaupteten Monotonieeigenschaften von fn bewiesen.
Weiter soll gezeigt werden, dass g eine streng monoton wachsende Funktion ist. Dazu nehmen wir
zunächst das Gegenteil an und führen dies auf einen Widerspruch.
√
√
Angenommen es gibt x, y ∈ R+ mit der Eigenschaft x > y und x ≤ y. Da f2 auf dem Intervall
[0, ∞) monoton wachsend ist, gilt
√
√
x≤ y
√ 2
√ 2
⇒
x ≤
x
⇒
x ≤ y.
Dies steht aber im Widerspruch zur Annahme x > y. Folglich ist die Annahme falsch und damit
gezeigt, daß g streng monoton wachsend ist.
Aufgabe G11 (Faktorisierung von Polynomen)
Gegeben seien die Polynome
p(x) = x4 − 3x3 − 5x2 + 9x − 2
und q(x) = x11 − x7 .
(a) Bestimme die reellen Nullstellen von p mit Hilfe des Hornerschemas. Tipp: Das Polynom
besitzt zwei rationale Nullstellen.
(b) Bestimme die reellen Nullstellen von q nach einem Verfahren deiner Wahl.
(c) Gib zu p und q jeweils die reelle Faktorisierung in Faktoren ohne Nullstellen an.
Lösung:
(a) Durch einfaches Raten erhält man als eine Nullstelle 1. Dann ergibt sich mit dem Hornerschema:
1 −3 −5
9 −2
+
1 −2 −7
2
1 −2 −7
2
0
Daher ist p(x) = (x − 1)(x3 − 2x2 − 7x + 2). Weiteres Raten ergibt, daß −2 eine Nullstelle
von x3 − 2x2 − 7x + 2 ist. Mit Hilfe des Hornerschemas erhält man
+
1 −2 −7
2
−2
8 −2
1 −4
1
0
Daher ist p(x) = (x − 1)(x + 2)(x2 − 4x + 1). Die Nullstellen von x2 − 4x + 1 sind nach der
pq-Formel
r
√
−4
(−4)2
−
±
− 1 = 2 ± 3.
2
4
√
√
Folglich besitzt p die Nullstellen 1, −2, 2 + 3 und 2 − 3.
2
4. Übung
Mathematik I für Inf-BSc, WInf
(b) Es gilt q(x) = x11 − x7 = x7 (x4 − 1) = x7 (x2 − 1)(x2 + 1). Daher hat q die siebenfache
Nullstelle 0 sowie die Nullstellen 1 und −1.
(c) Die Faktorisierungen ergeben sich sofort aus den obigen Rechnungen:
√
√
p(x) = (x − 1)(x + 2)(x − (2 − 3))(x − (2 + 3))
q(x) = x7 (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
Aufgabe G12 (Rationale Funktionen)
Gegeben sei die rationale Funktion
f (x) =
x4 − 2x3 − x2 + 2x
x3 − 3x2 + 4
r(x)
(a) Bringe f in die Form p(x) + q(x)
, wobei p, r und q Polynome sind und grad(r) < grad(q) gilt.
(b) Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von r und q.
Lösung:
(a) Eine Polynomdivision ergibt
(x4 − 2x3 − x2 + 2x) : (x3 − 3x2 + 4) = x + 1 +
−
x4 − 3x3 + 4x
x3 − x2 − 2x
−
x3 − 3x2 + 4
2x2 − 2x − 4
2x2 −2x−4
x3 −3x2 +4
(b) Mit dem Euklidischen Algorithmus ergibt sich
(x3 − 3x2 + 4) : (2x2 − 2x − 4) = 21 x − 1
−
x3 − x2 − 2x
−2x2 + 2x + 4
− −2x2 + 2x + 4
0
Folglich ist der größte gemeinsame Teiler von r und q
x2 − x − 2.
Aufgabe G13 (Komposition von Funktionen)
Seien f : R → R und g : R → R monoton wachsende Funktionen und h : R → R eine monoton
fallende Funktion.
Untersuche das Monotonieverhalten von f ◦ g, g ◦ h und f ◦ g ◦ h
Lösung: Sei x > y. Dann gilt g(x) ≥ g(y), da g monoton wachsend ist. Weil f monoton wachsend
ist, folgt f (g(x)) ≥ f (g(y)). Das heißt f ◦ g ist monoton wachsend.
Sei x > y. Dann gilt h(x) ≤ h(y), da h monoton fallend ist. Weil g monoton wachsend ist, folgt
g(h(x)) ≤ g(h(y)). Das heißt g ◦ h ist monoton fallend.
Da f eine monoton wachsende Funktion ist und -wie schon gezeigt- g ◦ h eine monoton fallende
Funktion ist, ist auch f ◦ g ◦ h monoton fallend.
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4. Übung
Mathematik I für Inf-BSc, WInf
Hausübung
Aufgabe H11 (Summen von Funktionen)
(10 Punkte)
(a) Seien f : R → R und g : R → R monoton wachsende Funktionen. Zeige, dass dann auch
f + g eine monoton wachsende Funktion ist.
(b) Gib Beispiele von monoton wachsenden Funktionen f1 , f2 und g1 , g2 an, sodass f1 − g1 monoton wachsend und f2 − g2 nicht monoton wachsend ist.
Lösung:
(a) Sei x, y ∈ mit x < y. Dann gilt aufgrund der Monotonie f (x) ≤ f (y) und g(x) ≤ g(y).
Die Addition dieser beiden Ungleichungen ergibt f (x) + g(x) ≤ f (y) + g(y). Daraus folgt
(f + g)(x) ≤ (f + g)(y), womit f + g monoton wachsend ist.
(b) Sei
f1 : R → R : x 7→ x,
f2 := f1 ,
x
,
2
g2 : R → R : x 7→ 2x.
g1 : R → R : x 7→
Offensichtlich sind alle diese Funktionen monoton wachsend. Da (f1 − g1 )(x) = x2 , ist f1 − g1
eine monoton wachsende Funktion. Da (f2 −g2 )(x) = −x, ist f2 −g2 nicht monoton wachsend.
Aufgabe H12 (Produkte von Funktionen)
(10 Punkte)
Definiere R+ := {x ∈ R | x > 0} und R− := {x ∈ R | x < 0}. Seien f1 : R → R+ und
g1 : R → R+ monoton wachsende Funktionen und f2 : R → R− und g2 : R → R− monoton
fallende.
(a) Zeige, dass f1 g1 eine monoton wachsende Funktion ist.
(b) Zeige, dass f2 g2 eine monoton wachsende Funktion ist.
(c) Was läßt sich über das Monotonieverhalten von f1 f2 sagen?
Lösung:
(a) Sei x < y. Aufgrund der Monotonie gilt dann f1 (x) ≤ f1 (y) und g1 (x) ≤ g1 (y). Multiplikation
der ersten Ungleichung mit g1 (x) und der zweiten mit f1 (y) liefert
f1 (x)g1 (x) ≤ f1 (y)g1 (x)
und
f1 (y)g1 (x) ≤ f1 (y)g1 (y),
da g1 (x) und f1 (y) positiv sind. Daraus folgt
(f1 g1 )(x) = f1 (x)g1 (x) ≤ f1 (y)g1 (x) ≤ f1 (y)g1 (y) = (f1 g1 )(y).
(b) Sei x < y. Aufgrund der Monotonie gilt dann f2 (x) ≥ f2 (y) und g2 (x) ≥ g2 (y). Multiplikation
der ersten Ungleichung mit g2 (x) und der zweiten mit f2 (y) liefert
f2 (x)g2 (x) ≤ f2 (y)g2 (x)
und
f2 (y)g2 (x) ≤ f2 (y)g2 (y),
da g2 (x) und f2 (y) negativ sind. Daraus folgt
(f2 g2 )(x) = f2 (x)g2 (x) ≤ f2 (y)g2 (x) ≤ f2 (y)g2 (y) = (f2 g2 )(y).
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4. Übung
Mathematik I für Inf-BSc, WInf
(c) Sei x < y. Aufgrund der Monotonie gilt dann f1 (x) ≤ f1 (y) und f2 (x) ≥ f2 (y). Multiplikation
der ersten Ungleichung mit f2 (x) und der zweiten mit f1 (y) liefert
f1 (x)f2 (x) ≥ f1 (y)f2 (x)
und
f1 (y)f2 (x) ≥ f1 (y)f2 (y),
da f2 (x) negativ und f1 (y) positiv ist. Daraus folgt
(f1 f2 )(x) = f1 (x)f2 (x) ≥ f1 (y)f2 (x) ≥ f1 (y)f2 (y) = (f1 f2 )(y).
Folglich ist f1 f2 monoton fallend.
Aufgabe H13 (Faktorisierung von Polynomen)
Gegeben sei das Polynom
(10 Punkte)
p(x) = x5 − 2x4 − 4x3 + 4x2 − 5x + 6.
(a) Bestimme die reellen Nullstellen von p mit Hilfe des Hornerschemas.
(b) Gib die reelle Faktorisierung von p in Faktoren ohne Nullstellen an.
Lösung:
(a) Durch einfaches Raten erhält man als eine Nullstelle 1. Dann ergibt sich mit dem Hornerschema:
1 −2 −4
4 −5
6
+
1 −1 −5 −1 −6
1 −1 −5 −1 −6
0
Daher ist p(x) = (x − 1)(x4 − x3 − 5x2 − x − 6). Weiteres Raten ergibt, daß −2 eine Nullstelle
von x4 − x3 − 5x2 − x − 6 ist. Mit Hilfe des Hornerschemas erhält man
+
1 −1 −5 −1 −6
−2
6 −2
6
1 −3
1 −3
0
Daher ist p(x) = (x − 1)(x + 2)(x3 − 3x2 + x − 3). Weiteres Raten ergibt, daß 3 eine Nullstelle
von x3 − 3x2 + x − 3 ist. Mit Hilfe des Hornerschemas erhält man
+
1 −3 1 −3
3 0
3
1
0 1
0
Daher ist p(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)(x2 + 1). Die Nullstellen von x2 + 1 sind i und −i.
Folglich besitzt p die Nullstellen 1, −2, 3, i und −i.
(b) Die Faktorisierung ergibt sich sofort aus der obigen Rechnung:
p(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)(x2 + 1)
Aufgabe H14 (Rationale Funktionen)
Gegeben sei die rationale Funktion
f (x) =
(10 Punkte)
x3 + x2 + x − 14
x4 + 3x3 + 6x2 − 3x − 7
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler- und Nennerpolynom.
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4. Übung
Mathematik I für Inf-BSc, WInf
Lösung: Mit dem Euklidischen Algorithmus ergibt sich
(x4 + 3x3 + 6x2 − 3x − 7) : (x3 + x2 + x − 14) = x + 2 +
−
x4 + x3 + x2 − 14x
2x3 + 5x2 + 11x − 7
−
2x3 + 2x2 + 2x − 28
3x2 + 9x + 21
(x3 + x2 + x − 14) : (x2 + 3x + 7) = x − 2
−
x3 + 3x2 + 7x
−2x2 − 6x − 14
−
−2x2 − 6x − 14
0
Folglich ist der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner
x2 + 3x + 7.
6
3(x2 +3x+7)
x3 +x2 +x−14