Statistik, Datenanalyse und Simulation

Statistik, Datenanalyse und Simulation
Dr. Michael O. Distler
[email protected]
Mainz, 19. April 2011
Statistik, Datenanalyse und Simulation
1. Statistik
1.1 Wahrscheinlichkeit (Wiederholung)
Pragmatisch: p(E) = n(E)
N für N sehr groß
Kombination von Wahrscheinlichkeiten
p(A oder B) = p(A) + p(B) − p(A und B)
Falls sich die Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen, gilt
p(A und B) = 0
Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B zusammen auftreten, ist:
p(A und B) = p(A) · p(B)
falls die Ereignisse A und B unabhängig sind.
Erwartungswerte und Momente
Mittelwert:
n
X
Ei · p(Ei )
Ē = hEi =
i=1
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Wahrscheinlichkeitsdichte
f (x) =
dp
dx
Eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist nichtnegativ und muss auf 1
normiert sein.
Z ∞
f (x) ≥ 0
f (x)dx = 1
−∞
Erwartungswert der Funktion h(x) für kontinuierliche
Zufallsgrößen:
Z ∞
E[h(x)] =
h(x) · f (x)dx
−∞
Mittelwert: ist der Erwartungswert von x (wichtiger Spezialfall):
Z ∞
E[x] = x̄ =
x · f (x)dx
−∞
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Definitionen
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
f(x)
f(n)
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
eines Messwertes (=Zufallsvariable)
0
5
10
15
20
25
30
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
5
10
15
n
20
25
30
x
f (n) diskret
Normierung:
X
f (n) ≥ 0
f (n) = 1
f (x) kontinuierlich
Z
∞
f (x) ≥ 0
f (x) dx = 1
−∞
n
Wahrscheinlichkeit:
p(n1 ≤ n ≤ n2 ) =
n2
X
n1
Z
f (n)
x2
p(x1 ≤ x ≤ x2 ) =
f (x) dx
x1
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Varianz σ 2 : (σ = Standardabweichung)
Z ∞
2
σ =
(x − x̄)2 · f (x)dx = x 2 − x̄ 2
−∞
Für diskrete Verteilungen:
1
σ =
N
2
X
2
x −
(
x)2
N
P
1
N
1
wird oft durch N−1
ersetzt, um Fehler nicht zu unterschätzen.
(Freiheitsgrade!)
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Momente
Momente: Die Erwartungswerte von x n und von (x − hxi)n
werden n-te algebraische Momente µn und n-te zentrale
Momente µ0n genannt.
Die Schiefe v (x) einer Zufallsvariablen x ist das auf die dritte
Potenz der Standardabweichung bezogene zentrale Moment 3.
Ordnung µ03 (x):
v=
µ03
E[(x − E[x])3 ]
=
σ3
σ3
Das 4te zentrale Moment bezogen auf die vierte Potenz der
Standardabweichung bezeichnet man als Wölbung (Kurtosis).
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1.2 Spezielle diskrete Verteilungen (Wiederholung)
Kombinatorik: Für r verschiedene Objekte gibt es r !
verschiedene Möglichkeiten, die Objekte in einer Reihe
anzuordnen. Die Zahl von Möglichkeiten, r Objekte aus n
verschiedenen Objekten auszuwählen, wobei es auf die
Reihenfolge der Auswahl ankommt, ist
Pnr = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) =
n!
(n − r )!
Falls es auf die Reihenfolge der Auswahl nicht ankommt, muss
die obenstehende Zahl durch r ! dividiert werden, und man
erhält
Pr
n
n!
Cnr = n =
=
n!
r
r !(n − r )!
Statistik, Datenanalyse und Simulation
press any key
Statistik, Datenanalyse und Simulation
1.2 Spezielle diskrete Verteilungen (Fortsetzung)
Binomialverteilung Häufige Fragestellung: Sei p die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses bei einem
Versuch - wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
Ereignis bei n Versuchen r-mal eintritt?
n r
P(r ) =
p · (1 − p)n−r
r
P(r ) ist korrekt auf 1 normiert. Binomialtheorem mit q = 1 − p.
Der Mittelwert von r ist:
hr i = E[r ] =
n
X
rP(r ) = np
r =0
Die Varianz σ 2 ist
V [r ] = E[(r − hr i)2 ] =
n
X
(r − hr i)2 P(r ) = np(1 − p)
r =0
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Beweis: Man geht aus von der Binomialentwicklung
n X
n r r n−r
f (t) = (pt + q) =
pt q
r
n
r =0
und differenziert nach dem Parameter t
n X
n
df
n−1
= np(pt + q)
=
rpr t r −1 q n−r
dt
r
r =0
Für t = 1 und mit p + q = 1 erhält man
np =
n X
n
r =0
r
r
n−r
rp (1 − p)
=
n
X
rP(r ) = hr i
r =0
Die Varianz erhält man in ähnlicher Weise und betrachtet
d 2f
dt 2
.
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Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit n = 6 Würfen eines
Würfels genau null mal die 6, genau zweimal die 6, und
mindestens einmal die 6 zu erhalten? Für einen korrekten
Würfel ist p = 1/6 und
0 6 5
6
1
·
= 33,5%
P(0) =
6
6
0
2 4 1
5
6
P(2) =
·
= 20,1%
6
6
2
P(≥ 1) = (1 − P(0)) = 66,5%
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Numerische Berechnung von Stichprobenmittel und -varianz
Bekannt sind die Formeln:
n
n
1 X
1X
2
xi
s =
(xi − x̄)2 ,
x̄ =
n
n−1
i=1
i=1
Die Berechnung erfordert zwei Schleifen über die Datenmenge.
Sind große Datenmengen zu behandeln, kann dies auch in
einer Schleife erledigt werden:

!2 
n
n
n
X
X
X
1
1
1

s2 =
xi2 −
(xi − x̄)2 =
xi  ,
n−1
n−1
n
i=1
i=1
Man bildet also die Summen:
n
X
Sx =
xi
i=1
Sxx =
n
X
i=1
xi2
i=1
und berechnet Mittelwert und Varianz gemäß:
1
1
1
x̄ = Sx
s2 =
Sxx − Sx2 ,
n
n−1
n
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Hierbei können Differenzen von großen Zahlen vorkommen.
Dies kann wegen der endlichen Auflösung der Rechner zu
numerischen Problemen führen. In diesem Fall ist es besser,
eine erste grobe Näherung xe (etwa den ersten Messwert) zu
benutzen:
Tx =
n
X
(xi − xe )
Txx =
i=1
n
X
(xi − xe )2
i=1
und erhält
1
x̄ = xe + Tx
n
1
s =
n−1
2
Txx
1 2
− Tx ,
n
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Beispiel für eine Stichprobe
li /cm
18,9
19,1
19,2
19,3
19,4
19,5
19,6
19,7
19,8
19,9
20,0
20,1
20,2
20,3
20,4
20,5
20,6
20,7
20,8
20,9
21,0
21,2
P
ni
1
1
2
1
4
3
9
8
11
9
5
7
8
9
6
3
2
2
2
2
4
1
100
ni li /cm
18,9
19,1
38,4
19,3
77,6
58,5
176,4
157,6
217,8
179,1
100,0
140,7
161,6
182,7
122,4
61,5
41,2
41,4
41,6
41,8
84,0
21,2
2002,8
ni li2 /cm2
357,21
364,81
737,28
372,49
1505,44
1140,75
3457,44
3104,72
4312,44
3564,09
2000,00
2828,07
3264,32
3708,81
2496,96
1260,75
848,72
856,98
865,28
873,62
1764,00
449,44
40133,62
Stichprobe von 100 Längenmessungen:
X
N =
ni = 100
Mittelwert? Varianz?
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Beispiel für eine Stichprobe
li /cm
18,9
19,1
19,2
19,3
19,4
19,5
19,6
19,7
19,8
19,9
20,0
20,1
20,2
20,3
20,4
20,5
20,6
20,7
20,8
20,9
21,0
21,2
P
ni
1
1
2
1
4
3
9
8
11
9
5
7
8
9
6
3
2
2
2
2
4
1
100
ni li /cm
18,9
19,1
38,4
19,3
77,6
58,5
176,4
157,6
217,8
179,1
100,0
140,7
161,6
182,7
122,4
61,5
41,2
41,4
41,6
41,8
84,0
21,2
2002,8
ni li2 /cm2
357,21
364,81
737,28
372,49
1505,44
1140,75
3457,44
3104,72
4312,44
3564,09
2000,00
2828,07
3264,32
3708,81
2496,96
1260,75
848,72
856,98
865,28
873,62
1764,00
449,44
40133,62
Stichprobe von 100 Längenmessungen:
X
N =
ni = 100
hli =
s2 =
1X
ni li = 20,028 cm
N
X
1
1 X 2
2
ni li −
ni li
N −1
N
= 0,2176 cm2
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Beispiel für eine Stichprobe
li /cm
18,9
19,1
19,2
19,3
19,4
19,5
19,6
19,7
19,8
19,9
20,0
20,1
20,2
20,3
20,4
20,5
20,6
20,7
20,8
20,9
21,0
21,2
P
ni
1
1
2
1
4
3
9
8
11
9
5
7
8
9
6
3
2
2
2
2
4
1
100
ni li /cm
18,9
19,1
38,4
19,3
77,6
58,5
176,4
157,6
217,8
179,1
100,0
140,7
161,6
182,7
122,4
61,5
41,2
41,4
41,6
41,8
84,0
21,2
2002,8
ni li2 /cm2
357,21
364,81
737,28
372,49
1505,44
1140,75
3457,44
3104,72
4312,44
3564,09
2000,00
2828,07
3264,32
3708,81
2496,96
1260,75
848,72
856,98
865,28
873,62
1764,00
449,44
40133,62
Stichprobe von 100 Längenmessungen:
X
N =
ni = 100
hli =
s2 =
1X
ni li = 20,028 cm
N
X
1
1 X 2
2
ni li −
ni li
N −1
N
= 0,2176 cm2
s
l̄ = hli ± √
N
= (20,028 ± 0,047) cm
s
s = s± p
2(N − 1)
= (0,466 ± 0,033) cm
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Beispiel für eine Stichprobe
12
"length.dat"
Gauß(µ=20.028,σ=0.466)
Gauß(µ=20.0,σ=0.5)
10
Häufigkeit
8
6
4
2
0
18.5
19
19.5
20
Länge / cm
20.5
21
Statistik, Datenanalyse und Simulation
21.5
Beispiel für eine Stichprobe
Wie wahrscheinlich ist es, dass die Daten einer
Gauß-Verteilung mit den ermittelten Parametern
(µ = 20,028 cm und σ = 0,466 cm) entstammen?
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Beispiel für eine Stichprobe
Wie wahrscheinlich ist es, dass die Daten einer
Gauß-Verteilung mit den ermittelten Parametern
(µ = 20,028 cm und σ = 0,466 cm) entstammen?
−→ Übungen
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, genau r
Ereignisse zu erhalten, wenn die Zahl n der Versuche sehr
groß und die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines
Ereignisses p in einem einzigen Versuch sehr klein ist, mit
einem endlichen Mittelwert hr i = µ = np. Die
Poisson-Verteilung kann als Grenzwert der Binomialverteilung
abgeleitet werden und hat nur einen Parameter, nämlich den
Mittelwert µ. Die Poisson-Verteilung ist gegeben durch:
P(r ) =
µr e−µ
r!
Ausgehend von P(0) = e−µ können weitere Werte mit der
Rekursionsformel
P(r + 1) = P(r ) · µ/(r + 1)
berechnet werden.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Es ist leicht zu sehen, dass die Poisson-Verteilung korrekt auf 1
normiert ist.
Der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist hr i = µ.
Die Varianz ergibt sich aus V [r ] = np(1 − p) für die
Binomialverteilung. Mit p → 0 wird daraus V [r ] = σ 2 = np = µ.
Die Poisson-Verteilung tritt in vielen Fällen auf, in denen man
Dinge oder Ereignisse zählt, wie zum Beispiel die Zahl von
Kernreaktionen oder von Teilchenzerfällen oder die Zahl der
gefangenen Fische in einem Angelwettbewerb.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
mu:
0:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
0.5
0.607
0.303
0.076
0.013
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1
0.368
0.368
0.184
0.061
0.015
0.003
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
2
0.135
0.271
0.271
0.180
0.090
0.036
0.012
0.003
0.001
0.000
0.000
4
0.018
0.073
0.147
0.195
0.195
0.156
0.104
0.060
0.030
0.013
0.005
µ = 0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
µ=1
0
0
2
4
6
8
10
0.35
0
2
4
6
8
10
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
µ=2
0.2
0.15
µ=4
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
0
2
4
6
8
10
0
2
Statistik, Datenanalyse und Simulation
4
6
8
10
Tod durch Pferdetritte in der preußischen Armee
Seit 1898 wird in vielen Lehrbüchern die Zahl der in einem
Zeitraum von 20 Jahren jährlich durch Huftritt getöteten
preußischen Kavalleristen angegeben.
Todesfälle r
Corps-Jahre mit
r Todesfällen
Erwartete Zahl
0
1
2
3
4
5
6
109
108,7
65
66,3
22
20,2
3
4,1
1
0,6
0
0,07
0
0,01
Die Gesamtzahl von Todesfällen ist 122, und die mittlere Zahl
von Toten pro Corps und pro Jahr ist µ = 122/200 = 0,61.
Die Übereinstimmung zwischen den erwarteten und den
beobachteten Zahlen ist sehr gut - eigentlich zu gut.
Weitere Beispiele:
Radioaktiver Zerfall
Druckfehler pro Seite in Büchern
Gleichzeitig gemachte wissenschaftliche Entdeckungen
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Σ
200
1.3 Spezielle Wahrscheinlichkeitsdichten
Gleichverteilung: Diese Wahrscheinlichkeitsdichte ist konstant
zwischen den Grenzen x = a und x = b:
1
b−a a ≤ x < b
f (x) =
0
außerhalb
Mittelwert und Varianz sind:
hxi = E[x] =
a+b
2
V [x] = σ 2 =
(b − a)2
12
Die Gleichverteilung wird oft U(a, b) (“uniform”) geschrieben.
Besonders wichtig ist die Verteilung U(0, 1) mit den Grenzen 0
und 1, die eine Varianz 1/12 hat.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Normalverteilung (Gauß-Verteilung): Die wichtigste
Wahrscheinlichkeitsdichte wegen ihrer großen Bedeutung in
der Praxis.
(x−µ)2
1
−
e 2σ2
f (x) = √
2πσ
Die Normalverteilung wird von zwei Parametern bestimmt, dem
Mittelwert µ und der Standardabweichung σ. Die
Wahrscheinlichkeitsdichte mit dem Mittelwert µ = 0 und der
Varianz σ 2 = 1 heißt standardisierte Gauß-Verteilung,
abgekürzt N(0, 1).
Die Gauß-Verteilung kann hergeleitet werden als Grenzfall der
Binomialverteilung für große Werte von n und r , und auf
ähnliche Weise auch als Grenzfall der Poisson-Verteilung für
große Werte von µ.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Z
1
dx N(0, 1) = 0,6827 = (1 − 0,3173)
−1
Z 2
dx N(0, 1) = 0,9545 = (1 − 0,0455)
−2
Z 3
dx N(0, 1) = 0,9973 = (1 − 0,0027)
−3
FWHM: Dieser Begriff ist oft nützlich, um auf einfache Weise
die Standardabweichung einer Gaußkurve zu schätzen.
√
FWHM = 2σ 2ln2 = 2,355σ
Statistik, Datenanalyse und Simulation
0.18
0.3
0.16
0.25
0.14
0.12
0.2
0.1
0.15
0.08
0.06
0.1
0.04
0.05
0.02
0
0
0
2
4
6
8
10
12
14
0
2
4
6
8
10
12
14
Binomialverteilung mit n = 10 Poisson-Verteilung
mit µ = 6
√
und p = 0,6 im Vergleich mit und σ = 6 im Vergleich mit
der Gauß-Verteilung
mit µ = der Gauß-Verteilung.
p
np = 6 und σ = np(1 − p).
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Beispiel zur Gauß-Verteilung: Vollmond und
Verkehrsunfälle
Passieren mehr Verkehrsunfälle an Tagen mit Vollmond? Um
das zu ergründen wird die Zahl der Unfälle in vielen deutschen
Städten verglichen, und man findet, dass in Hamburg die
mittlere Zahl von Unfällen an Tagen mit Vollmond 10,0 mit einer
Standardabweichung von 1,0 ist, und an den anderen Tagen ist
sie 7,0 mit vernachlässigbar kleinem Fehler.
Ist dieser Effekt signifikant?
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Beispiel zur Gauß-Verteilung: Vollmond und
Verkehrsunfälle
Passieren mehr Verkehrsunfälle an Tagen mit Vollmond? Um
das zu ergründen wird die Zahl der Unfälle in vielen deutschen
Städten verglichen, und man findet, dass in Hamburg die
mittlere Zahl von Unfällen an Tagen mit Vollmond 10,0 mit einer
Standardabweichung von 1,0 ist, und an den anderen Tagen ist
sie 7,0 mit vernachlässigbar kleinem Fehler.
Ist dieser Effekt signifikant?
Aber dies hat in Wirklichkeit nichts zu bedeuten. Falls man in
200 Städten diese Untersuchung durchführt, dann ist die
Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stadt die Unfallrate um mehr
als 3 Standardabweichungen vom Mittelwert nach oben
abweicht:
1 − 0,9987200 = 0,23
Und diese Wahrscheinlichkeit ist nicht klein.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Integrierte Gaußfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird mit Φ(x) bezeichnet,
Z x
(t−µ)2
1
−
e 2σ2 dt.
Φ(x) = √
2πσ −∞
In vielen Formelsammlungen finden sich Tabellen der
integrierten standardisierten Gauß-Verteilung,
Z z
x2
1
e− 2 .
F (x) = √
2π −∞
Die integrierte Verteilungsfunktion kann durch die Gauß’sche
Fehlerfunktion erf(x) ausgedrückt werden,
Z x
2
2
e−t dt.
erf(x) = √
π 0
1
x −µ
Φ(x) =
1 + erf √
.
2
2σ
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Integrierte Gaußfunktion
1
0.5*(1+erf(x))
0.4*exp(-x*x)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
Statistik, Datenanalyse und Simulation
3
Gammaverteilung
Ziel ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte f (t) für
die Zeitdifferenz t zwischen zwei Ereignissen, wobei die
Ereignisse zufällig mit einer mittleren Rate λ auftreten. Als
Beispiel kann der radioaktive Zerfall mit einer mittleren
Zerfallsrate λ dienen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Gammaverteilung ist
gegeben durch
Z ∞
x k −1 e−x
mit Γ(z) =
t z−1 e−t dt; Γ(z +1) = z!
f (x; k ) =
Γ(k )
0
und gibt die Verteilung der Wartezeit t = x vom ersten bis zum
k -ten Ereignis in einem Poisson-verteilten Prozess mit
Mittelwert µ = 1 an. Die Verallgemeinerung für andere Werte
von µ ist
x k −1 µk e−µx
f (x; k , µ) =
Γ(k )
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Gammaverteilung
1
1.0*exp(-1.0*x)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
Statistik, Datenanalyse und Simulation
5
χ2 -Verteilung
Falls x1 , x2 , . . . , xn unabhängige Zufallsvariable sind, die alle
einer Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte folgen mit Mittelwert 0
und Varianz 1, so folgt die Summe
2
u=χ =
n
X
xi2
i=1
einer χ2 -Verteilung fn (u) = fn (χ2 ) mit n Freiheitsgraden. Die
Wahrscheinlichkeitsdichte ist:
1 u n/2−1 −u/2
e
2 2
fn (u) =
Γ(n/2)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte fn (u) hat ein Maximum bei
(n − 2). Der Mittelwert ist n und die Varianz 2n.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
χ2 -Verteilung
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Charakteristische Funktion
Ist x eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F (x)
und der Wahrscheinlichkeitsdichte f (x), so bezeichnet man als
ihre charakteristische Funktion den Erwartungswert der Größe
exp(ıtx):
ϕ(t) = E[exp(ıtx)]
also im Fall einer kontinuierlichen Variablen ein Fourier-Integral
mit seinen bekannten Transformationseigenschaften:
Z ∞
ϕ(t) =
exp(ıtx) f (x)dx
−∞
Insbesondere gilt für die zentralen Momente:
Z ∞
n
λn = E[x ] =
x n f (x)dx
−∞
Z ∞
d n ϕ(t)
(n)
=
x n exp(ıtx) f (x)dx
ϕ (t) =
dt n
−∞
ϕ(n) (0) = ın λn
Statistik, Datenanalyse und Simulation
1.4 Theoreme
Das Gesetz der großen Zahl
Angenommen, dass in n statistisch unabhängigen
Experimenten das Ereignis j insgesamt nj mal aufgetreten ist.
Die Zahlen nj folgen einer Binomialverteilung, und das
Verhältnis hj = nj /n ist die entsprechende Zufallsvariable. Der
Erwartungswert E[hj ] ist die Wahrscheinlichkeit pj für das
Ereignis j:
pj = E[hj ] = E[nj /n]
Für die Varianz gilt dann (Binomialverteilung!):
V [hj ] = σ 2 (hj ) = σ 2 (nj /n) =
1
1
· σ 2 (nj ) = 2 · npj (1 − pj )
2
n
n
Da das Produkt pj (1 − pj ) immer ≤
1
4
ist, gilt die Ungleichung
σ 2 (hj ) < 1/n
bekannt als das Gesetz der großen Zahl.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Der Zentrale Grenzwertsatz
Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der
Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der
Gauß-Verteilung.
P
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = ni=1 xi einer
Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen xi mit einer
beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hxi und
Varianz σ 2 geht in der Grenze n → ∞ gegen eine
Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hwi = nhxi und
Varianz V [w] = nσ 2 .
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Der Zentrale Grenzwertsatz
Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der
Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der
Gauß-Verteilung.
P
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = ni=1 xi einer
Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen xi mit einer
beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hxi und
Varianz σ 2 geht in der Grenze n → ∞ gegen eine
Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hwi = nhxi und
Varianz V [w] = nσ 2 .
Mittelwert?
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Der Zentrale Grenzwertsatz
Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der
Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der
Gauß-Verteilung.
P
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = ni=1 xi einer
Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen xi mit einer
beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hxi und
Varianz σ 2 geht in der Grenze n → ∞ gegen eine
Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hwi = nhxi und
Varianz V [w] = nσ 2 .
Mittelwert?
Varianz?
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Der Zentrale Grenzwertsatz
Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der
Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der
Gauß-Verteilung.
P
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = ni=1 xi einer
Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen xi mit einer
beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hxi und
Varianz σ 2 geht in der Grenze n → ∞ gegen eine
Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert hwi = nhxi und
Varianz V [w] = nσ 2 .
Mittelwert?
Varianz?
Gauß-Verteilung?
Statistik, Datenanalyse und Simulation
Illustration: Zentraler Grenzwertsatz
0.5
0.5
N=1
N=2
Gauss
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.5
N=3
N=10
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
Dargestellt ist die Summe uniform verteilter Zufallszahlen im
Vergleich zur Standardnormalverteilung.
Statistik, Datenanalyse und Simulation
3