§1 Analytische Geometrie und Grundlagen

Mathematische Probleme, SS 2017
Montag 10.4
$Id: vektor.tex,v 1.2 2017/04/10 14:42:37 hk Exp $
§1
Analytische Geometrie und Grundlagen
In dieser Vorlesung wollen wir uns mit Fragen der sogenannten Elementargeometrie
in der Ebene und im Raum beschäftigen. Wie der Name der Vorlesung andeutet geht
es uns dabei nicht um eine Theorie der Elementargeometrie, wir wollen also nicht mit
einem Axiomensystem starten und von diesem ausgehend die geometrischen Grundtatsachen und Sätze herleiten. Wir starten indem wir die Zeichenebene“ von vorn”
herein als die cartesische Ebene R2 = R × R auffassen und entsprechend den Raum“
”
als den R3 interpretieren. In diesem Rahmen werden dann geometrische Objekte und
Fragen über diese untersucht die zwar größtenteils nicht zum Schulstoff gehören sich
aber bereits mit in der Schule vermittelten Kenntnissen und Methoden behandeln lassen. Viele der behandelten Probleme sollten auch Schülern und Schülerinnen sinnvoll
erscheinen, zumindest sofern überhaupt ein Grundinteresse an geometrischen Fragen
besteht. Allerdings wird es in der Vorlesung nicht darum gehen wie man den Stoff in
einer Schulstunde vermitteln könnte, dies wird eine ganz normale“ Mathematikvorle”
sung mit Definitionen, Sätzen und Beweisen sein und wir werden uns auch nicht auf
Schulmethoden beschränken.
Weiter wollen wir auch untersuchen wie sich die Schulgeometrie in die Inhalte des
Grundstudiums eingliedert. Im Mathematikunterricht der Schule werden begriffliche
Fragen nicht ernsthaft behandelt, es werden beispielsweise Winkel, Flächen, Volumina
und all diese Dinge berechnet ohne zuvor zu klären was überhaupt ein Winkel oder die
Fläche von etwas ist. In der Schule ist es auch durchaus angemessen sich hierfür auf
eher vage und intuitive Vorstellungen zu verlassen ohne diese explizit zu thematisieren.
Dies geschieht dann in den Grundvorlesungen zur linearen Algebra und zur Analysis,
allerdings ist in diesen genug anderes zu tun so, dass der Zusammenhang des dort
behandelten Stoffs mit den Begriffen der Schulgeometrie im Hintergrund verbleibt und
nicht explizit gemacht wird.
Daher wollen wir diese Vorlesung damit beginnen einige geometrische Grundlagenfragen zu klären. Wir beschränken uns dabei auf einige ausgewählte Themen, eine
vollständige Behandlung dieser Fragen nimmt andernfalls zu viel Zeit in Anspruch.
Wir verwenden einen analytischen Zugang und formulieren alles in Termen der Vektorraumstruktur des Rd .
1.1
Affine Geometrie im Rd
In diesem Abschnitt behandeln wir inzidenzgeometrische Aspekte, untersuchen also
Begriffe wie Geraden und Ebenen und damit zusammenhängende Fragen. Wie schon
1-1
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erwähnt ist unsere Punktmenge der Rd wobei d ∈ N die betrachtete Dimension ist.
Wir werden hauptsächlich an den beiden kleinen Fällen d = 2 für die Ebene und d = 3
für den Raum interessiert sein, in diesem Abschnitt spielt dies aber noch keine Rolle.
Die Elemente des Rd nennen wir Punkte, insbesondere wollen wir keinen Unterschied
zwischen Punkten und Vektoren machen. Geraden, Ebenen und all diese Dinge sind
Mengen von Punkten und man kann sie alle gemeinsam behandeln indem der Begriff
eines affinen Teilraums des Rd verwendet wird. Dieser wurde zwar wahrscheinlich schon
in der linearen Algebra eingeführt, wir wollen die Definition hier aber noch einmal
wiederholen.
Definition 1.1 (Affine Teilräume des Rd )
Sei d ∈ N. Eine Teilmenge A ⊆ Rd heißt ein affiner Teilraum des Rd wenn entweder
A = ∅ ist oder es einen Punkt a ∈ Rd und einen Untervektorraum U ≤ Rd des Rd mit
A = a + U = {a + u|u ∈ U }
gibt.
Da ein Untervektorraum immer den Nullvektor enthält ist dann a = a+0 ∈ a+U = A
ein Element von A, man nennt a in diesem Zusammenhang auch einen Aufpunkt von
A. Während der Aufpunkt ein völlig willkürlicher Punkt des affinen Teilraums ist, ist
der zugehörige Untervektorraum eindeutig festgelegt.
Lemma 1.1 (Richtung und Aufpunkte affiner Teilräume)
Sei d ∈ N.
(a) Sind U, U 0 ≤ Rd zwei Untervektorräume und a, a0 ∈ Rd so ist genau dann a + U =
a0 + U 0 wenn U = U 0 und a − a0 ∈ U gelten.
(b) Sind U ≤ Rd ein Untervektorraum, a ∈ Rd und b ∈ A := a + U so ist auch
A = b + U.
Beweis: (a) ”⇐=” Es gilt a0 + U 0 = a0 + U = a0 + a − a0 + U = a + U .
”=⇒” Wegen a = a + 0 ∈ a + U = a0 + U 0 ist a − a0 ∈ U 0 und die bereits bewiesene
Implikation ergibt a + U = a0 + U 0 = a + U 0 . Es folgen U = U 0 und a − a0 ∈ U 0 = U .
(b) Wegen b ∈ a + U ist b − a ∈ U und nach (a) haben wir auch b + U = a + U = A.
Da der zu einem nicht leeren affinen Teilraum gehörende Untervektorraum nach dem
Lemma eindeutig festgelegt ist können wir diesem nun auch einen Namen geben.
Definition 1.2 (Richtungen und Dimension affiner Teilräume)
Sei d ∈ N. Ist ∅ 6= A ⊆ Rd ein affiner Teilraum so wählen wir a ∈ Rd und einen
Untervektorraum U ≤ Rd mit A = a + U und nennen R(A) := U die Richtung von A,
nach Lemma 1.(a) ist dies wohldefiniert. Für einen affinen Teilraum A ⊆ Rd definieren
wir die Dimension von A als
(
dim R(A), A 6= ∅,
dim A :=
−1,
A = ∅.
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Sind also A ⊆ Rd ein affiner Teilraum des Rd und a ∈ A, so können wir Lemma
1.(b) auch in der Form A = a + R(A) aussprechen, und so werden wir dieses Lemma
zumeist verwenden. Ist U ⊆ Rd ein Untervektorraum so ist U = 0 + U also ist U ein
affiner Teilraum des Rd mit R(U ) = U und somit stimmen die Dimension von U als
Untervektorraum und als affiner Teilraum überein. Da ein Untervektorraum U des Rd
eine Dimension 0 ≤ dim U ≤ d hat, gilt auch für jeden affinen Teilraum A des Rd stets
−1 ≤ dim A ≤ d. Dabei ist genau dann dim A = −1 wenn A = ∅ ist und genau dann
dim A = d wenn R(A) = Rd also A = Rd ist. Ein nulldimensionaler affiner Teilraum
des Rd hat die Form a + {0} = {a} für ein a ∈ Rd , die nulldimensionalen affinen
Teilräume des Rd entsprechen also den Punkten des Rd . Analog zur Dimension von
Untervektorräumen erfüllt auch der affine Dimensionsbegriff eine gewisse Monotonieeigenschaft.
Lemma 1.2 (Monotonie der affinen Dimension)
Sei d ∈ N und seien A, B ⊆ Rd zwei affine Teilräume des Rd mit A ⊆ B. Dann gilt
dim A ≤ dim B und genau dann ist dim A = dim B wenn A = B ist.
Beweis: Dies ist klar wenn A = ∅ ist, wir können also A 6= ∅ annehmen. Wählen wir
nun ein a ∈ A ⊆ B so sind nach Lemma 1.(b) auch a + R(A) = A ⊆ B = a + R(B)
also R(A) ⊆ R(B) und somit gilt dim A = dim R(A) ≤ dim R(B) = dim B. Dabei ist
genau dann dim A = dim B wenn R(A) = R(B) beziehungsweise A = a + R(A) =
a + R(B) = B gilt.
Einige spezielle Typen affiner Teilräume erhalten eigene Namen.
Definition 1.3 (Geraden, Ebenen und Hyperebenen)
Seien d ∈ N und A ⊆ Rd ein affiner Teilraum des Rd .
(a) Der Teilraum A heißt eine Gerade wenn dim A = 1 ist.
(b) Der Teilraum A heißt eine Ebene wenn dim A = 2 ist.
(c) Der Teilraum A heißt eine Hyperebene wenn dim A = d − 1 ist.
Ist d = 2 so sind die Hyperebenen die Geraden und ist d = 3 so sind die Hyperebenen
die Ebenen. Ist g ⊆ Rd eine Gerade so hat g die Form g = p + U wobei die Richtung U
von g ein eindimensionaler Untervektorraum des Rd ist und p ∈ g ein Punkt von g ist.
Weiter können wir U = hui = Ru für ein beliebiges u ∈ U \{0} schreiben und erhalten
g = p + Ru.
Diese Darstellung von g nennt man gelegentlich die Aufpunkt–Richtung Form von g,
der Punkt p heißt weiterhin ein Aufpunkt und u ∈ Rd \{0} nennt man einen Richtungsvektor, die Richtung von g ist dann R(g) = Ru. Weder Aufpunkt noch Richtungsvektor
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sind dabei durch g bestimmt, nach Lemma 1.(a) gilt für alle p, p0 ∈ Rd , u, u0 ∈ Rd \{0}
p + Ru = p0 + Ru0 ⇐⇒ ∃(λ, µ ∈ R) : u0 = λu ∧ p − p0 = µu.
Bei Ebenen ist die Situation etwas komplizierter, eine Ebene e ⊆ Rd hat die Form
e = p + U wobei U ein zweidimensionaler Untervektorraum des Rd ist. Dieser hat eine
Basis u, u0 und wir können
e = p + Ru + Ru0
schreiben, der Punkt p ist der Aufpunkt und u, u0 nennt man Richtungsvektoren von
e, die Richtung von e ist dann R(e) = hu, u0 i = Ru + Ru0 .
Es gibt eine zweite Beschreibung affiner Teilräume als die Lösungsmengen linearer
Gleichungssysteme. Ist Ax = b ein linearer Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix
A ∈ Rn×d und rechter Seite b ∈ Rn , wobei n, d ∈ N sind, und hat A den Rang r, so ist
L := {x ∈ Rd |Ax = b} entweder leer oder ein (d−r)-dimensionaler affiner Teilraum des
Rd , die Richtung von L ist die Lösungsmenge R(L) = {x ∈ Rd |Ax = 0} des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems. Ist umgekehrt A 6= ∅ ein n-dimensionaler
affiner Teilraum des Rd so gibt es ein lineares Gleichungssystem aus d − n Gleichungen
in d Unbekannten von vollen Rang n dessen Lösungsmenge genau A ist. Schreibe hierzu
A = p + U mit p ∈ Rd und einem n-dimensionalen Untervektorraum U des Rd . Weiter
wähle eine Basis v1 , . . . , vn von U . Dann berechnen wir eine (d−n)×n Matrix A über R
mit U = {x ∈ Rd |Ax = 0}, hierzu startet man mit der Matrix (v1 | . . . |vn ) mit Spalten
v1 , . . . , vn und wendet auf diese das Gaußsche Eliminationsverfahren mit unbestimmter
rechter Seite an. Die unteren d − n Zeilen der rechten Seite des entstehenden Systems
in Stufenform geben uns die gesuchte Matrix A. Setzen wir dann schließlich b := Ap so
ist
A = p + U = {x ∈ Rd |Ax = b}
wie gewünscht. Als ein Beispiel behandeln wir einmal die Ebene






1
1
−2
 −1 




+R· 2 +R· 3 
e := 
 3 
 −1 
 1 
1
1
4
im R4 . Es sind d = 4, n = 2, also läßt sich e durch d − n = 2 Gleichungen in vier
Unbekannten beschreiben. Wir führen das beschriebene Verfahren durch
1 −2 x
1 −2 x
1 −2
x
2
3y
0
7 y − 2x
0 −1
u+x
−→
−→
−1
1u
0 −1 u + x
0
0 7u + y + 5x
1
4v
0
6 v−x
0
0 v + 6u + 5x
und erhalten

A=
5 1 7 0
5 0 6 1
sowie b =
5 1 7 0
5 0 6 1
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
1
 −1 
25

·
 3  = 24 .
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Damit ist e die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
5x + y + 7u
= 25
5x
+ 6u + v = 24
Analog zur Situation bei Untervektorräumen können wir aus jeder gegebenen Teilmenge
des Rd einen erzeugten affinen Teilraum bilden.
Lemma 1.3 (Durchschnitte und Erzeugnisse affiner Teilräume)
Sei d ∈ N.
(a) Ist
des T
Rd so ist auch der Durchschnitt
T (Ai )i∈I eine Familie affiner Teilräume
d
i∈I Ai ein affiner Teilraum des R . Ist dabei
i∈I Ai 6= ∅ so haben wir auch
!
R
\
Ai
=
\
R(Ai ).
i∈I
i∈I
(b) Ist M ⊆ Rd eine Teilmenge, so ist
hM i :=
\
{A ⊆ Rd |A ist ein affiner Teilraum des Rd mit M ⊆ A}
der kleinste M umfassende affine Teilraum des Rd , genannt das affine Erzeugnis
oder der affine Aufspann von M .
(c) Sind A, B ⊆ Rd zwei affine Teilräume des Rd so ist AB := hA ∪ Bi der kleinste
A und B umfassende affine Teilraum des Rd . Sind A, B =
6 ∅ und a ∈ A, b ∈ B
so haben wir R(AB) = R(A) + R(B) + R · (b − a) und genau dann ist b − a ∈
R(A) + R(B) wenn A ∩ B 6= ∅ gilt.
T
T
Beweis: (a) Im Fall i∈I Ai = T
∅ ist die Behauptung klar, wir können also i∈I Ai 6= ∅
annehmen und wählen ein p ∈ i∈I Ai . Nach Lemma 1.(b) ist dann Ai = p + R(Ai ) für
jedes i ∈ I und somit gilt auch
\
\
Ai = p + R(Ai ),
i∈I
i∈I
T
T
d.h. i∈I Ai ist ein affiner Teilraum des Rd mit Richtung i∈I R(Ai ).
(b) Dies ist klar nach (a).
(c) Die erste Aussage ist klar nach (b), es sind also nur noch die Aussagen über die
Richtung von AB zu zeigen. Hierfür können wir A, B 6= ∅ annehmen und es seien a ∈ A
und b ∈ B. Nach Lemma 1.(b) haben wir dann A = a + R(A) und B = b + R(B).
Wegen a ∈ A ⊆ AB und b ∈ B ⊆ AB ist auch AB 6= ∅ und ebenfalls nach Lemma
1.(b) gilt AB = a + R(AB) = b + R(AB), nach Lemma 1.(a) ist also b − a ∈ R(AB).
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Weiter impliziert a + R(A) = A ⊆ AB = a + R(AB) dann R(A) ⊆ R(AB) und analog
ist auch R(B) ⊆ R(AB). Insgesamt haben wir damit
U := R(A) + R(B) + R · (b − a) ⊆ R(AB).
Wegen b−a ∈ U ist nach Lemma 1.(a) auch a+U = b+U ein affiner Teilraum des Rd mit
A = a+R(A) ⊆ a+U und B = b+R(B) ⊆ b+U , es gilt also a+R(AB) = AB ⊆ a+U
und damit ist auch R(AB) ⊆ U . Damit haben wir R(AB) = U = R(A) + R(B) + R ·
(b − a) eingesehen.
Weiter ist genau dann b − a ∈ R(A) + R(B) wenn es u ∈ R(A) und v ∈ R(B) mit
b − a = u + v beziehungsweise a + u = b + (−v) gibt, wenn also A ∩ B = (a + R(A)) ∩
(b + R(B)) 6= ∅ ist.
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