diffusionsbasierte partitionierung

Prof. Dr. Henning Meyerhenke | Fakultät für Informatik
Vorlesung 10
DIFFUSIONSBASIERTE
PARTITIONIERUNG
315
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Wiederholung
  Grundbegriffe: Beschleunigung, Effizienz, Amdahls Gesetz
  Lastbalancierung sehr wichtig für parallele Effizienz
  Diffusionsverfahren erster Ordnung:
 
 
 
 
Lokaler Lastaustausch
Spezieller Random Walk
Schranke für Anzahl der Iterationen (vollst. Beweis im Skript)
Berechneter Fluss minimal in der l2-Norm (Übung)
  Nicht im Detail: Genauere Kenntnisse über die Eigenwerte
des Graphen erlauben schnellere Konvergenz
316
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
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Einführung und Motivation
  Graphpartitionierung: Aufteilung der Knotenmenge in fast
gleich große Teilmengen
  Typische Anwendungen:
  Teile-und-herrsche-Algorithmen
  Lastbalancierung für verteilt parallele Graphenalgorithmen
  Beispiele für verteilt paralleles Szenario:
  Analyse riesiger Netzwerke
  Numerische Simulationen
317
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Numerische Simulationen
Numerische Simulationen
Beispiel
Abbildung: http://www.civilaviation.eu/images/Airbus/A319_F- WWDB.jpg
318
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
10
Henning Meyerhenke,
Institut für Theoretische Informatik
Big Data aus Sicht der Algorithmentechnik:
Kombinatorisches wissenschaftliches Rechnen
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Numerische
Simulationen
Numerische
Simulationen
Bezug zu kombinatorischen Algorithmen durch Diskretisierung
Abbildung: http://geuz.org/gmsh/gallery/a319_4.png
319
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Diskrete Bezüge: Gitternetz-Erzeugung (Meshing), Lastbalancierung
10
Henning Meyerhenke,
Institut für Theoretische Informatik
Big Data aus Sicht der Algorithmentechnik:
Kombinatorisches wissenschaftliches Rechnen
Lastbalancierung abhängiger Lasten
Repartitionierung in adaptiven Simulationen
  Aufgabe: Abbildung des Gitternetzes auf
die Prozessoren eines Parallelrechners
  Ziel: Effiziente parallele Lösung linearer
Gleichungssysteme (diskretisierte PDG)
  Wichtig: Kanten drücken
Abhängigkeiten zwischen Lasten aus!
Ariane 5
  Partitioniere Gitternetz derart, dass
  die Last balanciert wird und
  die Kommunikation minimiert wird
10-Partitionierung (Flügelumströmung)
320
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
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Graphpartitionierung und
Graph(re)partitionierung
-repartitionierung
Statisch: Graphpartitionierungs-Problem
Sei G = (V , E ) ein Graph.
Partitioniere V in V = p1 [˙ . . . [˙ pk durch eine
Abbildung P : V ! {1, . . . , k } derart, dass
P balanciert ist (|p1 | ⇡ · · · ⇡ |pk |) und
der Kantenschnitt minimiert wird.
Kantenschnitt
Dynamisch: Repartitionierungs-Problem
Löse das obige Problem mit zusätzlichem Ziel:
Minimiere Migrationskosten
N P -schwer ! In der Praxis: Heuristiken
12
321
Henning Meyerhenke,
Institut für Theoretische Informatik
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Big Data aus Sicht der Algorithmentechnik:
Kombinatorisches wissenschaftliches Rechnen
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Etablierte Verfahren (1)
Schnelle lokale Verfahren + Multilevel
Kernighan-Lin: Mehrstufige lokale
Suche
  Initial: „Beliebige“ 2-Partitionierung
  Tausche iterativ Knotenpaar, das
Kantenschnitt am meisten verbessert
  Superquadratische Laufzeit
Fiduccia-Mattheyses:
  Anpassung von KL für bessere
Laufzeit
  Alternierende Verschiebung
einzelner Knoten
  Lineare Laufzeit durch BucketDatenstruktur
  Gute Startlösung nötig => Multilevel
322
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
  Hilfreiche Mengen:
  Entstammt einem
theoretischen Beweis
über Bisektionsweite
  Verschiebt mehrere
Knoten auf einmal
  Etwas langsamer als
FM in der Praxis
  Qualität mindestens
vergleichbar
  Nachteile von allen:
  Einseitige Fokussierung
auf Kantenschnitt
  Schwierige
Parallelisierung
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
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Visueller Vergleich
kMetis (FM)
323
Jostle (FM u.a.)
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
DibaP (FO mit Diffusion)
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Etablierte Verfahren (2)
  Max-Flow-min-cut-Theorem:
  Netzwerkfluss liefert minimalen Schnitt (unbalanciert!)
  Wichtig: Schnitt balancieren, ohne ihn stark zu verschlechtern
Metaheuristiken:
 
 
 
 
 
Genetische/evolutionäre Algorithmen
Fusion and fission (angelehnt an atomare Kernfusion und –spaltung)
Ameisenalgorithmen
Hohe Qualität,
aber oft extrem
GRASP
hohe Laufzeit
...
  Diffusion:
  Ähnlich wie bei Random Walks werden dichte Gebiete identifiziert
  Führt auch zu guten Partitionsformen
324
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
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Formoptimierende
Graphpartitionierung
Formoptimierende
Graphpartitionierung
Erste Ansätze: [Diekmann et al., J. ParCo’00]
Idee: Berechne gute Partitionsformen
mit kleiner Oberfläche!
Experimente: Partitionierungen mit
guten Formen haben gewünschte
Eigenschaften:
Kleine Partitionsdurchmesser
Kleine Partitionsränder
Oft zusammenhängend
Geringe Migrationskosten bei
Repartitionierung
14
325
Henning Meyerhenke,
Institut für Theoretische Informatik
M E T I S (KL)
D IBA P
Big Data aus Sicht der Algorithmentechnik:
Kombinatorisches wissenschaftliches Rechnen
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
k-means und Lloyds Algorithmus
Eingabe: Punktmenge im Raum
  Zielfunktion (geometrisch):
Summe über quadratischen
Abstand zu Zentren
  Initial: Z.B. k zufällige Zentren
(bessere Methoden existieren)
  Zuweisung: Jeder Knoten wird
an das nächstgelegene Zentrum
zugewiesen
  Neue Zentren: Schwerpunkt
jedes Clusters wird Zentrum
326
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
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Lloyds Algorithmus auf Graphen
  Brauchen geeignetes Ähnlichkeitsmaß
  Soll ausdrücken, wie gut verbunden zwei Knoten/Regionen sind
  Effiziente Berechnung (subquadratisch, besser linear)
Bubble Framework
  Diffusion:
  Bestreben eines Stoffes, sich gleichmäßig auszubreiten
  Breitet sich schneller in dichten Graphregionen aus
  Gestörte Diffusion: Vermeidung des balancierten Zustandes
327
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Gestörte Diffusion FOS/C
  Abflusskonzept:
  Jeder Knoten verliert in jeder Iteration
etwas Last
  Gesamtabfluss wird auf Menge von
Quellknoten gleichmäßig aufgeschlagen
  Diffusion ohne Abfluss: w(t) = Mw(t-1)
  Diffusion mit Abfluss: w(t) = Mw(t-1)+d
  Abflussvektor d:
  di = -delta, falls i nicht in S
  di = n*delta/|S| - delta, falls i in S
328
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Wichtig: Durch
Abfluss geht keine
Last verloren!
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Convergence Theorem
Accelerating Shape
Optimizing Load
Balancing for Parallel
FEM Simulations
by Algebraic
Multigrid
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Theorem
FOS/C konvergiert
H. Meyerhenke,
B. Monien, and
S. Schamberger
FOS/C converges for any initial load vector w (0) .
  Theorem:
Proof.
FOS/C konvergiert für jeden initialen Lastvektor w(0).
Introduction
Bubble Framework
and Disturbed
Di↵usion
  Beweis:
w (1)
= Mw (0) + d
w (2)
= Mw (1) + d = M(Mw (0) + d) + d
Acceleration by AMG
and Multilevel
Experiments
Conclusions
w (i)
w (1)
= M2 w (0) + (M + I)d
..
.
= Mi w (0) + (Mi 1 + · · · + M + I)d
= M1 w (0) + (I
= w + (↵L) 1 d
M)
1
d
  Achtung: Mit L-1 ist hier die Pseudoinverse gemeint!
329
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Lösung mit LGS statt mit Iteration
  Folgerung: Der stationäre Zustand w(*) kann durch das Lösen
des LGS Lw=d mit w = alpha * w(*) bestimmt werden.
  Dafür muss gelten:
Summe der Einträge in d ist 0 (passt, selbst nachrechnen!),
Summe der Einträge in w für alle Systeme gleich
  Erklärung: Siehe Tafel!
  Lineare Löser wie CG oder Multigrid konvergieren meist
deutlich schneller
  Noch offen: Wie bringt man Bubble und FOS/C zusammen?
330
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
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AssignParts
  Zuweisung jedes Knotens an das
nächste Zentrum:
  Lösung von k FOS/C-Problemen
  Quellmenge in System i:
{Zentrum von Block i}
  Knoten v gehört zu Zentrum i, dessen
System die meiste Last sendet
  Algebraisch:
  Löse Lwi = di
pi[v] := argmaxi wi(v)
  Um Balancierung kümmern wir uns später!
331
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
ComputeCenters
  Berechnung neuer Zentren aus
bisheriger Partitionierung:
  Lösung von k FOS/C-Problemen
  Quellmenge in System i:
{Block i}
  Neues Zentrum von Block i ist Knoten mit
höchster Last in System i
  Algebraisch:
  Löse Lwi = di (nun andere Abflussvektoren!)
  C[i] := argmaxv wi(v)
332
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
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Consolidation (optional)
  Zwischending aus AssignPartition und
ComputeCenters
  Berechnet aus alter eine neue
Partitionierung:
  Lösung von k FOS/C-Problemen
  Quellmenge in System i:
{Block i}
  Knoten v gehört zu Zentrum i, dessen
System die meiste Last sendet
  Zweck:
  Balancierung
  Bessere Qualität
333
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Balancierung
  Zwei Varianten implementiert
ScaleBalance:
  Nimm Last aus Systemen mit zu großen Blöcken
  Addiere Last zu Systemen mit zu kleinen Blöcken
  Suche passende Skalierungsfaktoren betai
FlowBalance:
 
 
 
 
Bestimme balancierenden Fluss mit Diffusion (s. letztes Mal)
Wissen dann, wie viele Knoten von A nach B müssen
Zunächst unklar: Welche werden konkret verschoben?
Dazu: Ausnutzung der Lasten aus AssignPartition
  Knoten mit höchster Affinität zum Zielblock werden verschoben
334
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Algorithm Bubble-FOS/C
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Improvements to a
Shape Optimizing
Graph Partitioning
Heuristic
Bubble-FOS/C
H. Meyerhenke
Introduction
1
Bubble Framework
and Disturbed
Di↵usion
Bubble-FOS/C
Converges
2
5
for ⌧ = 1 until convergence
C = ComputeCenters(G , ⇧, P)
⇧ = AssignPartition(G , C , P)
6
return ⇧
3
Acceleration by AMG,
Multilevel, and Matrix
Conditioning
Graph Clustering and
FOS/C Analysis
Algorithm Bubble-FOS/C(G , P)
C = DetermineInitialCenters(G , P)
⇧ = AssignPartition(G , C , P)
4
Conclusions
  Passend integrierbar:
Goal: Proof for termination of the loop.
Consolidation
  Balancierung
335
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Visueller Vergleich unter Dynamik
ParMetis
336
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
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Visueller Vergleich unter Dynamik
Parallel Jostle
337
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
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Visueller Vergleich unter Dynamik
Diffusionsbasierte Partitionierung
338
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Informatik, Fakultät für Informatik
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Bubble-FOS/C konvergiert
  Theorem:
Sei G ein zusammenhängender, ungerichteter, schlichter
endlicher Graph.
Dann konvergiert Bubble-FOS/C(G, k) (ohne Consolidation und
ohne Balancierung) und produziert eine k-Partitionierung.
  Beweis: Nächstes Mal
  Idee:
  Potentialfunktion F der Lastsummen (endliche obere Schranke)
AssignPartition maximiert F bei gegebenen Zentren
ComputeCenters maximiert F bei gegebener Partitionierung
  Jede der beiden Operationen erhält k Systeme, keins verschwindet
Optimization
FindingCriterion
Optimal Solutions
339
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Minimum Balanced Cut
Beyond Good
Shapes:
Di↵usion-based
Graph Partitioning
is Relaxed Cut
Optimization
H. Meyerhenke
Introduction
Previous Work on
Bubble-FOS/C
Bubble Framework
Disturbed Di↵usion
FOS/C
AssignPartition
Optimization
Criterion
Minimum Balanced Cut
AssignPartition is
Relaxed Cut Optimizer
Beyond Good
Shapes:
Di↵usion-based
Graph Partitioning
is Relaxed Cut
Optimization
Corollary
Assumption
k=
2
Let ⇧ =for
{⇡1the
, . . .talk:
, ⇡k } be
a balanced
partition
with minimum
cut.
H. Meyerhenke
Bisection
(k = 2)
(paper: k 2)
Optimierungskriterium
If the set of center nodes Z = {z1 ,von
. . . , zkBubble-FOS/C
} is chosen for the BQP
Introduction
Binarysuch
quadratic
optimization
problem
that zp 2
⇡p (1  p  k),
then the BQP computes ⇧ or
another
balanced
partition
with
minimum cut.
(BQP)
for
min
balanced
cut:
  Kantenschnittminimierung:
Previous Work on
Bubble-FOS/C
Bubble Framework
Disturbed Di↵usion
FOS/C
x2{0,1}nN P-hard
Minimum Balanced Cut
Conclusions
Selected References
! Relaxation: x1 , x2 2 Rn instead of binary
Spectral
  Spektrale
löst relaxiertes Problem
!partitioning:
y := Partitionierung
x1 x2 2Relax
Rn integrality
constraint
and
solve
eigenvector
Connectedness
  Auch für Bubble-FOS/C kann man Relaxierung formulieren:
Results
problem
T
T (A)
AssignPartition is
Relaxed Cut Optimizer
Extensions
min y Ly subject to y d
Conclusions
Extensions
Connectedness
Results
(1)
min x T Lx optimization
s. t. x T 1 =
n/2
problem
AssignPartition
Optimization
Criterion
Selected References
To show:
y 2Rn
Bubble-FOS/C solves
similar relaxation.
Rel. Kantenschnitt
ISAAC 2010
13 / 24
=n (
1
+
2 ).
(1)
(2)
Balancierung
  Theorem: Sei G = (V,E) ein Graph mit n Knoten (n/k
N)
und k Zentrumsknoten zi
πi.
Dann berechnet die Kombination von AssignPartition und
ScaleBalance das globale Minimum von Gl. (2).
ISAAC 2010
10 / 24
340
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Prof. Dr. Henning Meyerhenke | Fakultät für Informatik
Zwischenfazit
  Bubble-FOS/C bietet Formoptimierung mit guten Ergebnissen
bzgl. verschiedener Metriken
  Aber: Recht langsam, da viele LGS gelöst werden
  Laufzeit pro Ebene: O(k * LGS(n))
  CG: LGS(n) in O(n3/2) bzw. O(n4/3) (je nach Dimension)
Multigrid: O(n) bei guter Implementierung, hohe Konstanten
 
Eher globaler Ansatz, ähnlich wie spektrale Methoden (aber besser!)
  Beobachtung: Veränderungen bei Verbesserungsprozess
überwiegend an den Blockgrenzen
  Wie nutzen wir diese Lokalität aus?
341
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Faster Local Approach TruncCons
Truncated Di↵usion Consolidations [IPDPS’08]
Motivation
für DibaP
Disturbed Di↵usive
Processes for Solving
Partitioning
Problems on Graphs
H. Meyerhenke
Introduction
Bubble-FOS/C:
Shape Optimization
with Disturbed
Di↵usion
Bubble Framework
FOS/C
Bubble-FOS/C
DibaP: Faster
Di↵usion-based
Partitioning
TruncCons
Multilevel DibaP
Experiments with DibaP
Conclusions
Consolidation
Consolidation: ⇧ ! ⇧
Same initial load for nodes of current
subdomain, all others 0
Use a small number (e. g. , = 14)
of FOS iterations to distribute load
Exploits: Dense region has many
internal short paths
Inactive nodes: Nodes that have the
same load as all their neighbors
Omit inactive nodes ) Computational
work only in boundary regions
Assignment to subdomains as before,
consolidation is repeated ⇤ times (e. g. , ⇤ = 10)
More iterations (⇤ /
)
Better quality, higher running time
27th June 2008
14
342
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Algorithm TruncCons
TruncCons
A New
Di↵usion-based
Multilevel Algorithm
for Computing Graph
Partitions
of Very High Quality
H. Meyerhenke,
B. Monien,
T. Sauerwald
1
2
3
Introduction
4
Bubble-FOS/C
5
Bubble-FOS/C
Converges
6
TruncCons:
Consolidations with
FOS/T
7
8
Multilevel
Partitioning
Algorithm
Conclusions
IPDPS 2008, April 16th
343
17
if v 2 ⇧p
wp (v ) := |V |/S > 0 /* initial load */
else
wp (v ) := 0
for i = 1 to /* FOS/T: truncated di↵usion */
wp := M(G ) · wp
10
forall v 2 V /* assign */
⇧(v ) := argmaxp wp (v )
11
return balanced and smoothed ⇧
9
Experiments
Algorithm TruncCons (G , k, ⇧, ⇤, )
for o = 1 to ⇤
for p = 1 to k in parallel /* independently for each part */
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Multilevel DibaP
Combining Bubble-FOS/C and TruncCons [IPDPS’08]
Multilevel
DibaP
Disturbed Di↵usive
Processes for Solving
Partitioning
Problems on Graphs
H. Meyerhenke
Introduction
Bubble-FOS/C:
Shape Optimization
with Disturbed
Di↵usion
Bubble Framework
FOS/C
Bubble-FOS/C
DibaP: Faster
Di↵usion-based
Partitioning
TruncCons
New multilevel algorithm DibaP (Di↵usion-based Partitioning):
1) and 2) Recursive coarsening:
DibaP Sketch
Fine levels: Fast matching
algorithm
Coarse levels: Two Algebraic
Multigrid (AMG) coarsening
schemes
3) Initial partitioning:
Bubble-FOS/C
Multilevel DibaP
Experiments with DibaP
Conclusions
4) and 5) (Local) Improvement:
Small hierarchy levels:
Bubble-FOS/C
Larger hierarchy levels: TruncCons
27th June 2008
15
344
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
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Zusammenfassung und Fazit
  Gestörte Diffusion identifiziert dichte Bereiche im Graphen
  Bubble-FOS/C theoretisch analysierbar
DibaP (Multilevel mit Bubble-FOS/C und TruncCons) bietet Qualität
von Bubble-FOS/C bei viel höherer Geschwindigkeit
  Eins der besten Werkzeuge (nach KaHIP) für Gitternetze aus
numerischen Simulationen (bzgl. Qualität)
  Besonders gut hinsichtlich Repartitionierung
  Experimentell gemessene Laufzeit etwa O(k * n)
  Geschwindigkeit weitgehend akzeptabel, aber deutlich
langsamer als KL/FM-Verfahren
  Faktor k in Laufzeit behindert gute parallele Skalierbarkeit
345
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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