Algebraische Topologie (WS 14) - math.uni

Algebraische Topologie (WS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
15.12.2014
Bernhard Hanke
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Satz
Es sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit.
Dann ist für alle i ≥ 0 die Homologie Hi (M; Z) eine endlich erzeugte
abelsche Gruppe.
(Und Hi (M; Z) = 0, falls i > dim M).
Insbesondere können wir die Eulercharakteristik
χ(M) :=
dim
XM
rk Hi (M; Z)
(=
i=0
dim
XM
bi )
i=0
definieren.
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Mannigfaltigkeiten und Orientierung
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Definition
Ein topologischer Raum X heißt lokal zusammenziehbar, falls für jeden
Punkt x ∈ X folgendes gilt:
Ist U eine Umgebung von x, so existiert eine weitere Umgebung V ⊂ U
von x so dass V ,→ U homotop zu einer konstanten Abbildung ist.
Topologische Mannigfaltigkeiten sind lokal zusammenziehbar.
Satz
Es sei K ⊂ Rn eine lokal zusammenziehbar und abgeschlossen.
Dann gibt es eine Umgebung U ⊂ Rn von K , so dass die Inklusion K ,→ U
ein Retrakt ist.
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Mannigfaltigkeiten und Orientierung
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Wir nennen X einen Euklidischen Umgebungsretrakt, falls folgendes gilt:
Es existiert eine topologische Einbettung X ,→ Rn in einen Rn
und für jede solche Einbettung ist das Bild Retrakt einer Umgebung in Rn .
Folgerung
Kompakte topologische Mannigfaltigkeiten sind Euklidische
Umgebungsretrakte.
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Mannigfaltigkeiten und Orientierung
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Proposition
Es sei X ein CW-Komplex, Y ein topologischer Raum
und f : X n−1 → Y eine stetige Abbildung.
Dann sind äquivalent:
I
f lässt sich zu einer stetigen Abbildung X n → Y fortsetzen.
I
Es sei
X n = X n−1 ∪(φα )α∈I
[
˙
α∈I
Dαn
Dann sind alle Kompositionen f ◦ φα : ∂D n → Y homotop zu
konstanten Abbildungen.
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