Scheinklausur zur HM3 (vertieft) für LRT und MaWi

Prof. M. Eisermann
Höhere Mathematik 3 (vertieft)
16. Januar 2016
Scheinklausur zur HM3 (vertieft) für LRT und MaWi
Aufgabe 1. Bitte füllen Sie folgendes aus! (1 Punkt)
Name:
Matrikelnummer:
Vorname:
Name des Tutors:
Es gelten die üblichen Klausurbedingungen. Bitte beachten Sie folgende Hinweise:
• Bearbeitungszeit: 120 Minuten
• Erlaubte Hilfsmittel: 6 Seiten DIN A4 eigenhandgeschrieben
• Mobiltelefone und ähnliche Geräte müssen während der gesamten Klausur komplett
ausgeschaltet bleiben und so verstaut sein, dass sie nicht sichtbar sind.
• Bearbeitungen mit Bleistift oder Rotstift sind nicht zulässig.
• Nutzen Sie die Kästen für Ihre Lösungen. Bei karierten Kästen sind Ergebnis und Rechenweg gefragt. Nebenrechnungen machen Sie auf Schmierpapier, das Sie nicht abgeben.
• Die Aufgaben sind untereinander unabhängig. Tipp: Sammeln Sie zunächst die für Sie
leichten Punkte, und verbeißen Sie sich nicht zu lange in eine für Sie schwierige Frage.
• Die Klausur enthält zu viele Punkte für 120 Minuten. Die Notenskala berücksichtigt dies.
Ihr Vorteil: Sammeln Sie Punkte; wählen Sie zunächst Fragen, die Ihnen leicht fallen.
Viel Erfolg!
Den unteren Teil dieses Deckblattes bitte für Korrekturvermerke freilassen.
Aufgabe
Punkte
1
2
/1
3
/12
4
5
/12
/12
1
6
/14
7
/13
Gesamt
/10
/74
Prof. M. Eisermann
Höhere Mathematik 3 (vertieft)
16. Januar 2016
Nützliche Werte
Tabelle der Exponentialfunktion ex =
P∞
k=0
xk /k! für ausgewählte Werte von x:
x
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
ex
1.11 1.22 1.35 1.49 1.65 1.82 2.01 2.23 2.46 2.72 3.00 3.32 3.67 4.06 4.48 4.95 5.47 6.05 6.69 7.39
e−x
.905 .819 .741 .670 .607 .549 .497 .449 .407 .368 .333 .301 .273 .247 .223 .202 .183 .165 .150 .135
Tabelle für das Integral
x = 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
x+0.00
0.00000
0.03983
0.07926
0.11791
0.15542
0.19146
0.22575
0.25804
0.28814
0.31594
0.34134
0.36433
0.38493
0.40320
0.41924
0.43319
0.44520
0.45543
0.46407
0.47128
0.47725
0.48214
0.48610
0.48928
0.49180
0.49379
0.49534
0.49653
0.49744
0.49813
0.49865
´x
x+0.01
0.00399
0.04380
0.08317
0.12172
0.15910
0.19497
0.22907
0.26115
0.29103
0.31859
0.34375
0.36650
0.38686
0.40490
0.42073
0.43448
0.44630
0.45637
0.46485
0.47193
0.47778
0.48257
0.48645
0.48956
0.49202
0.49396
0.49547
0.49664
0.49752
0.49819
0.49869
0
ϕ(t) dt über die Normalverteilung ϕ(t) =
x+0.02
0.00798
0.04776
0.08706
0.12552
0.16276
0.19847
0.23237
0.26424
0.29389
0.32121
0.34614
0.36864
0.38877
0.40658
0.42220
0.43574
0.44738
0.45728
0.46562
0.47257
0.47831
0.48300
0.48679
0.48983
0.49224
0.49413
0.49560
0.49674
0.49760
0.49825
0.49874
Ablesebeispiele: Für x = 1.23 gilt
x+0.03
0.01197
0.05172
0.09095
0.12930
0.16640
0.20194
0.23565
0.26730
0.29673
0.32381
0.34849
0.37076
0.39065
0.40824
0.42364
0.43699
0.44845
0.45818
0.46638
0.47320
0.47882
0.48341
0.48713
0.49010
0.49245
0.49430
0.49573
0.49683
0.49767
0.49831
0.49878
´x
0
x+0.04
0.01595
0.05567
0.09483
0.13307
0.17003
0.20540
0.23891
0.27035
0.29955
0.32639
0.35083
0.37286
0.39251
0.40988
0.42507
0.43822
0.44950
0.45907
0.46712
0.47381
0.47932
0.48382
0.48745
0.49036
0.49266
0.49446
0.49585
0.49693
0.49774
0.49836
0.49882
x+0.05
0.01994
0.05962
0.09871
0.13683
0.17364
0.20884
0.24215
0.27337
0.30234
0.32894
0.35314
0.37493
0.39435
0.41149
0.42647
0.43943
0.45053
0.45994
0.46784
0.47441
0.47982
0.48422
0.48778
0.49061
0.49286
0.49461
0.49598
0.49702
0.49781
0.49841
0.49886
x+0.06
0.02392
0.06356
0.10257
0.14058
0.17724
0.21226
0.24537
0.27637
0.30511
0.33147
0.35543
0.37698
0.39617
0.41308
0.42785
0.44062
0.45154
0.46080
0.46856
0.47500
0.48030
0.48461
0.48809
0.49086
0.49305
0.49477
0.49609
0.49711
0.49788
0.49846
0.49889
√1
2π
x+0.07
0.02790
0.06749
0.10642
0.14431
0.18082
0.21566
0.24857
0.27935
0.30785
0.33398
0.35769
0.37900
0.39796
0.41466
0.42922
0.44179
0.45254
0.46164
0.46926
0.47558
0.48077
0.48500
0.48840
0.49111
0.49324
0.49492
0.49621
0.49720
0.49795
0.49851
0.49893
ϕ(t) dt ≈ 0.39065. Für x = 2.58 gilt
2
2 /2
e−t
´x
0
:
x+0.08
0.03188
0.07142
0.11026
0.14803
0.18439
0.21904
0.25175
0.28230
0.31057
0.33646
0.35993
0.38100
0.39973
0.41621
0.43056
0.44295
0.45352
0.46246
0.46995
0.47615
0.48124
0.48537
0.48870
0.49134
0.49343
0.49506
0.49632
0.49728
0.49801
0.49856
0.49896
x+0.09
0.03586
0.07535
0.11409
0.15173
0.18793
0.22240
0.25490
0.28524
0.31327
0.33891
0.36214
0.38298
0.40147
0.41774
0.43189
0.44408
0.45449
0.46327
0.47062
0.47670
0.48169
0.48574
0.48899
0.49158
0.49361
0.49520
0.49643
0.49736
0.49807
0.49861
0.49900
ϕ(t) dt ≈ 0.49506.
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Aufgabe 2. Verständnisfragen (2+2+2+2+2+2 = 12 Punkte)
Beantworten Sie folgende Fragen und geben Sie eine kurze aber überzeugende Begründung
(durch Nennung eines Ergebnisses der Vorlesung oder eines geeigneten Gegenbeispiels).
2A. Gilt für Zufallsvariablen X, Y : (Ω, A , P) → R stets E(X − Y ) = E(X) − E(Y )?
Begründete Antwort:
2
2B. Gilt für Zufallsvariablen X, Y : (Ω, A , P) → R stets V(X + Y ) = V(X) + V(Y )?
Begründete Antwort:
2
2C. Wenn die Matrix A ∈ C2×2 einen doppelten Eigenwert λ ∈ C hat, dann existiert eine
A−λ
A−λ
Hauptvektorkette 0 ←−−[ u ←−−[ v der Länge 2. Stimmt das immer?
Begründete Antwort:
2
3
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A−λ
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A−λ
2D. Wenn zur Matrix A ∈ C2×2 eine Hauptvektorkette 0 ←−−[ u ←−−[ v der Länge 2 existiert,
dann hat A den doppelten Eigenwert λ ∈ C. Stimmt das immer?
Begründete Antwort:
2
2E. Eindeutigkeit 1: Gegeben sei eine Differentialgleichung y 0 (x) = f (x, y(x)) mit stetiger rechter Seite f : R2 → R. Können sich verschiedene Lösungsfunktionen y 6= ỹ : R → R schneiden?
Begründete Antwort:
2
2F. Eindeutigkeit 2: Die konstante Nullfunktion ỹ(x) = 0 löst die Differentialgleichung
p
y 0 (x) =
|x| sin y(x). Wie viele Nullstellen hat demnach jede andere Lösung y : R → R?
Begründete Antwort:
2
4
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Aufgabe 3. Wahrscheinlichkeit: Kombinatorik (2+2+2+3+3 = 12 Punkte)
3A. Aus einer Schublade mit 3 blauen und 6 schwarzen Socken ziehen Sie zweimal zufällig ohne
Zurücklegen. Welche Wkt hat das Ereignis V = {Sie ziehen zwei verschiedenfarbige Socken}?
P(V ) =
2
3B. Aus den Losen 0, 1, 2, . . . , 9 ziehen Sie viermal zufällig mit Zurücklegen. Berechnen Sie die
Wkt P(A) des Ereignisses A = {Sie ziehen vier verschiedene Zahlen}. (Ergebnis in Prozent)
P(A) =
2
3C. Berechnen Sie die Wkt P(A|B) unter der Bedingung B = {Sie ziehen nur gerade Zahlen}.
Hier sei A wie in 3B. (Ergebnis in Prozent, gerundet auf den nächstgelegenen Prozentpunkt.)
P(A|B) =
2
3D. Aus Losen 1, 2, 3, . . . , 500 ziehen Sie 800mal zufällig mit Zurücklegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit Q ziehen Sie niemals Ihre Glückszahl 202? (Ergebnis in Prozent, ebenso gerundet)
Q=
≈
3
5
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3E. Aus Losen 1, 2, 3, . . . , 500 ziehen Sie 40mal zufällig mit Zurücklegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit P ziehen Sie 40 verschiedene Zahlen? (Ergebnis in Prozent, ebenso gerundet)
P =
≈
3
Aufgabe 4. Wahrscheinlichkeit: Grenzwertsätze (4+2+2+3+1 = 12 Punkte)
Ein Atom Uran 238 zerfällt in der nächsten Stunde mit Wkt p = 2 · 10−14 . Eine Probe von
20mg enthält etwa n = 5 · 1019 Atome. Wir nehmen die Zerfälle als stochastisch unabhängig an,
insbesondere keine Kettenreaktion. Sei X die Gesamtzahl der Zerfälle in der nächsten Stunde.
4A. Nennen Sie die exakte Verteilung (in diesem vereinfachten Modell):
P(X=k) =
Bestimmen Sie hierzu Erwartungswert µ = E(X) und Varianz σ 2 = V(X) und Streuung σ.
Runden Sie das Ergebnis jeweils auf die nächstgelegene ganze Zahl.
µ = E(X) =
σ 2 = V(X) =
σ=
p
V(X) =
4
6
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4B. Wie klein ist der totale Abstand zur Poisson–Verteilung P (µ)? Kleiner als 10−6 ?
PX − P (µ) ≤
2
4C. Wie klein ist der Approximationsfehler zur Normalverteilung N (µ, σ 2 )? Kleiner als 10−3 ?
|δ| ≤
2
4D. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P |X − µ| ≤ 2500 durch eine geeignete Näherung.
Gesucht ist das Ergebnis in Prozent, gerundet auf den nächstgelegenen Prozentpunkt.
P |X − µ| ≤ 2500 ≈
3
4E. Würden Sie diese Rechnung ebenso durchführen bei spaltbarem Material, etwa Uran 235?
(Hier kann eine Kettenreaktion entstehen, genutzt etwa als Kernreaktor oder als Kernwaffe.)
Begründete Antwort:
1
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Aufgabe 5. Differentialgleichungen erster Ordnung (3+3+4+4 = 14 Punkte)
´
5A. Bestimmen Sie die Funktion u : R → R mit u0 (x) = −xu(x) und R u(x) dx = 1.
3
5B. Bestimmen Sie die Funktion y : R → R mit y 0 (x) = x − xy(x) und y(0) = 0.
3
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5C. Lösen Sie für x > 0 die exakte Differentialgleichung y(x) − cos x + xy 0 (x) = 0 mit y(π) = 0.
4
5D. Bestimmen Sie einen integrierenden Faktor λ für x2 cos x + y(x) − xy 0 (x) = 0.
4
9
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Aufgabe 6. Differentialgleichungssysteme (4+4+1+4 = 13 Punkte)
Wir betrachten das Differentialgleichungssystem y 0 (t) = A y(t) mit der Koeffizientenmatrix


 
 
 
−1 0
0
1
3
0


 
 
 
A =  3 −10 15 sowie v1 = 2 , v2 = 1 , v3 = 3 .
2 −6 9
1
0
2
6A. Berechnen Sie die Bildvektoren Av1 , Av2 , Av3 in R3 . Schreiben Sie die lineare Abbildung
R3 → R3 : v 7→ Av als Matrix B = B (A)B bezüglich der Basis B = (v1 , v2 , v3 ).
Av1 =
,
Av2 =
Av3 =
,
B=
4
6B. Bestimmen Sie die Lösungen y1 , y2 , y3 : R → R3 von y 0 (t) = A y(t) mit yk (0) = vk .
y1 (t) =
y2 (t) =
y3 (t) =
Wie lautet demnach die allgemeine Lösung y : R → R3 des DGSystems y 0 (t) = A y(t)?
y(t) =
4
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6C. Welches asymptotische Verhalten hat die allgemeine Lösung y(t) für t → ∞?
1
6D. Lösen Sie das inhomogene DGSystem u0 (t) = A u(t) + e−t v1 mit u(0) = 0
durch den Ansatz u(t) = u1 (t)v1 + u2 (t)v2 + u3 (t)v3 mit u1 , u2 , u3 : R → R.
Einsetzen und Koeffizientenvergleich entkoppeln das DGSystem zu:
u01 (t) =
, u1 (0) = 0
u02 (t) =
, u2 (0) = 0
u03 (t) =
, u3 (0) = 0
Die Lösungen u2 (t) = u3 (t) = 0 sind dann klar. Bestimmen Sie die interessante Lösung u1 :
u1 (t) =
4
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Aufgabe 7. Differentialgleichungen und Laplace–Transformation (4+6 = 10 Punkte)
7A. Lösen Sie die homogene lineare Differentialgleichung y 000 (t) − 3y 00 (t) + 3y 0 (t) − y(t) = 0.
Bestimmen Sie das charakteristische Polynom p und seine Faktorisierung:
p(x) =
2
Folgern sie hieraus die allgemeine Lösung y : R → R unserer Differentialgleichung:
y(t) =
2
7B. Lösen Sie durch Laplace–Transformation die inhomogene lineare Differentialgleichung
y 000 (t) − 3y 00 (t) + 3y 0 (t) − y(t) = 3 − t mit den Anfangswerten y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y 00 (0) = 0.
Die Laplace–Transformation y(t) d
Rechte Seite:
3−t d
t Y (s)
übersetzt diese DG in folgende Hilfsgleichung:
t
1
Linke Seite:
p(∂t ) y(t) d
t
2
Auflösen nach Y ergibt Y (s) =
2
Rücktransformation zu y(t) =
1
12