Mathematik für Physiker 3 - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Dr. Matthias Kotschote
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Abgabe der Lösungen am 21.11.2014, 10:00 Uhr.
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Mathematik für Physiker 3
Serie 4
1. Aufgabe (4 Punkte). Betrachtet wir das folgende System 1. Ordnung
u̇ = −αuv + βw,
v̇ = αuv − (γ + δ)v,
ẇ = δv − βw,
u(0) = u0 , v(0) = v0 , w(0) = w0 ,
wobei α, β, γ, δ > 0 und u0 , v0 , w0 > 0.
(a) Zeigen Sie, dass dieses System genau eine lokale Lösung besitzt.
(b) Zeigen Sie, dass u(t), v(t), w(t) > 0 auf dem max. Existenzintervall Jmax gilt.
(c) Zeigen Sie, dass (u, v, w) sogar global existieren, d.h. Jmax = R.
Hinweis: Benutzen Sie die Lösungsformel (3.3) des Skripts und die Struktur der rechten Seite
der ODE.
2. Aufgabe (4 Punkte). Finden Sie alle Lösungskurven der Differentialgleichungen
(a) xy dy + (1 − y 2 ) dx = 0, M (x, y) = m(x),
(b) xy 2 dx + (x2 y − x) dx = 0, M (x, y) = m(y),
wobei der integrierende Faktor M zu bestimmen ist.
3. Aufgabe (4 Punkte). Das AWP
m r̈(t) = −γ
M ·m
,
r2 (t)
r(0) = R,
ṙ(0) = v0
beschreibt die idealisierte Bewegung einer Rakete der Masse m im Kraftfeld der Erde mit Masse
M , Radius R und Gravitationskonstante γ > 0.
Wie groß muss die Startgeschwindigkeit v0 der Rakete mindestens sein, damit sie das Kraftfeld
der Erde verlassen kann (D.h., die Geschwindigkeit soll im Unendlichen (r = ∞) null sein.)?
Für diesen Fall gebe man die Entfernung r(t) der Rakete zur Zeit t > 0 an.
Bitte wenden.
4. Aufgabe (4 Punkte). Es sei der Vektorraum X = C1 (J; Cn ), J ⊂ R ist nichtleer, versehen mit der Norm kxkX := supt∈J kx(t)kCn + supt∈J kx0 (t)kCn , x ∈ X, und Y bezeichne den
Vektorraum Cn . Ferner definieren wir die Abbildung (Operator)
Tt0 : X → Y,
Tt0 x := x(t0 ),
∀x ∈ X.
Zeigen Sie:
(a) Tt0 : X → Y ist eine lineare beschränkte Abbildung, kurz Tt0 ∈ B(X, Y ). Letztere
Eigenschaft (Beschränktheit) bedeutet:
∃c > 0 :
kTt0 xkY ≤ ckxkX ,
∀x ∈ X.
(b) Sei L := {x ∈ X : x0 (t) = A(t)x(t)} ⊂ X mit gegebener stetiger Matrix A : J → Cn×n .
Dann ist Tt0 : L → Y eine bijektive Abbildung, d.h. betrachtet man Tt0 auf der Teilmenge
L, so ist Tt0 ∈ Isom(L, Y ) und damit dim L = n.
(c) Es existieren genau n linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung x0 = A(t)x.
Weiterhin gilt: {z1 , . . . , zn } ⊂ L bildet eine Basis von L ⇔ {z1 (t0 ), . . . , zn (t0 )} ist eine
Basis des Cn .