3 Logik - Uni Siegen

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Logik
3.1 Boolesche Algebren
Binäre Variable kann zwei Werte annehmen: 0 oder 1.
Bemerkung. a) Schalter kann offen (entspricht 0)
oder geschlossen (entspricht 1) sein.
b) Aussage kann wahr (entspricht 1) oder falsch (entspricht 0) sein. M
Im Folgenden betrachte Verknüpfungen und einstellige
Operatoren auf binären Variablen.
Beispiel. Und-Verknüpfung, kurz a ^ b . Verknüpfungstafel:
a
b
a^b
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0^0
0^1
1^0
1^1
D
D
D
D
0
0
0
1
M
Beispiel. Negation, kurz :a. Verknüpfungstafel:
a
:a
0
1
1
0
:0
:1
D 1
D 0
M
Beispiel. Oder-Verknüpfung, kurz a _ b . Verknüpfungstafel:
a
b
a_b
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0_0
0_1
1_0
1_1
D
D
D
D
0
1
1
1
M
Beispiel. Exklusives oder, kurz a _ b . Verknüpfungstafel:
a
b
a_b
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Theorem 3.1.10 (Rechenregeln logische Operatoren).
Kommutativgesetze : a _ b D b _ a, a ^ b D b ^ a,
Assoziativgesetze : a _ .b _ c/ D .a _ b/ _ c ,
a ^ .b ^ c/ D .a ^ b/ ^ c ,
Distributivgesetze : a _ .b ^ c/ D .a _ b/ ^ .a _ c/,
a ^ .b _ c/ D .a ^ b/ _ .a ^ c/,
Neutralitätsgesetze : a _ 0 D a, a ^ 1 D a,
Komplementaritätsgesetze :
a _ :a D 1, a ^ :a D 0,
Gesetze von
de Morgan :
:.a _ b/ D :a ^ :b ,
:.a ^ b/ D :a _ :b .
Beweis. Über Verknüpfungstafeln, hier nur für zweites
Assoziativgesetz:
a
b
c
b^c
a ^ .b ^ c/
a^b
.a ^ b/ ^ c
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Bemerkung (Boolesche Algebren). Eine
mathematische Struktur mit 0, 1 und drei Operatoren ^; _ und
:, die die Kommutativ-, Distributiv-, Neutralitäts- und
Komplementaritätsgesetze erfüllt, heißt boolesche
Algebra.
Beispiel 3.1.16 (Implikation und Äquivalenz).
Implikation ( =)) und Äquivalenz (”) sind folgendermaßen definiert:
a b a =)b
a b a”b
0 0
1
0 0
1
0 1
1
0 1
0
0
0
1 0
1 0
1 1
1
1 1
1
Aus der unwahren Aussage kann man alles folgern.
0
0
1
1
_0
_1
_0
_1
D
D
D
D
0
1
1
0
3.2 Aussagen, Logik
M
Merkmal einer Aussage: sie ist entweder wahr oder
falsch.