Klassische Mechanik (SS 2017) – Blatt 2

UNIVERSITÄT STUTTGART – II. INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. U. Seifert
Klassische Mechanik (SS 2017) – Blatt 2
Aufgabe 4: Zentralpotential: Virialsatz und Skaleninvarianz
Betrachtet werde ein Teilchen, welches sich im Zentralpotential
V (r) = A rα
(1)
mit i) A > 0, α > 0 oder ii) A < 0, α < 0 auf einer gebundenen Bahn bewegt.
a) Beweisen Sie den Virialsatz
α
hT i = hV i ,
2
wobei das Zeitmittel einer Größe A[r(t)] durch
Z
1 t 0
hA[r(t)]i = lim
dt A[r(t0 )]
t→∞ t 0
(2)
(3)
gegeben ist. Betrachten Sie hierzu die zeitliche Ableitung des Virials (r · p) und
nützen Sie die Bewegungsgleichung aus.
(2 Punkte)
2
dr
b) Nun sei r(t) Lösung der Bewegungsgleichung m 2 = −∇V (r). Wählen Sie β so,
dt
dass
r0 (t0 ) = λ r(λβ t) ;
t0 = λβ t
(4)
Lösung der Bewegungsgleichung
d2 r0
= −∇0 V (r0 )
02
dt
wird. Folgern Sie hieraus das dritte Kepler’sche Gesetz.
(5)
m
(3 Punkte)
Aufgabe 5: Differentialoperatoren und Koordinatentransformationen
a) Berechnen Sie explizit den Operator für den Gradienten jeweils in Zylinder- und
Kugelkoordinaten.
(2 Punkte)
b) Berechnen Sie die Rotation des Vektors u sowohl in Zylinder- als auch Kugelkoordinaten.
(2 Punkte)
c) Berechnen Sie den Laplace-Operator in Zylinder- und in Kugelkoordinaten. (2 Punkte)
b. w.
1
Aufgabe 6: Nicht-konservative Kraft
Auf ein Teilchen wirke die Kraft
a
F(r) = eφ ,
r
(6)
mit dem Einheitsvektor eφ in φ-Richtung in Zylinderkoordinaten.
a) Berechnen Sie die Arbeit an einem Teilchen, das eine geschlossene Kreisbahn mit
Radius R um den Ursprung des Systems vollbringt.
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie die Rotation ∇ × F der Kraft. Überlegen Sie sich, warum dieses
Ergebnis in scheinbarem Widerspruch zu a) ist, und wie dieser aufgehoben werden
kann.
(1 Punkt)
Aufgabe 7: Meteorbahn und Erhaltungssätze
m
v∞
q 6
d
r0
S v
R
0
w 0
M S
?
Ein Meteor der Masse m nähert sich der Erde (Masse M , Radius R0 ) aus dem Unendlichen kommend mit der Geschwindigkeit v∞ und würde bei fehlender Erdanziehungskraft im Abstand d R0 an der Erde vorbeifliegen. Aufgrund der Gravitationskraft
ist seine Bahn jedoch zur Erde hin gekrümmt. Das Gravitationspotential ist gegeben
als
V (r) = −G
mM
,
r
(7)
wobei G die Gravitationskonstante und r der Abstand zwischen den Massen m und
M ist. Berechnen Sie nur unter Verwendung von Energie- und Drehimpulserhaltung
den minimalen Abstand r0 des Meteors von der Erde und seine Geschwindigkeit v0 in
diesem Punkt. Für welche Parameter d und v∞ trifft der Meteor die Erde? (3 Punkte)
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