Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Grundbegriffe – 1.2 Anfangswertprobleme – 1.3 Geometrische Bedeutung der DGL 1. Ordnung 1 §2. Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 Exakte Differentialgleichungen – 2.2 Trennbare Differentialgleichungen – 2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung – 2.4 Der integrierende Faktor – 2.5 Integration durch Substitution – 2.6 Integration durch Differentiation – Aufgaben §3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 Lineare DGLn 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten – 3.2 Komplexifizierung und die komplexe Exponentialfunktion – 3.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene lineare DGL – 3.4 Die Lösungen der inhomogenen DGL– 3.5 Lineare mechanische Schwingungen – 3.6 Der RCL-Schwingkreis – 3.7 Die DGL vom Typ y = f (x, y ) – 3.8 Die DGL vom Typ y = f (y, y ) – Aufgaben §4. Existenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1 Der Existenz-Satz von Peano – 4.2 Die L-Bedingung – 4.3 Approximation durch Picard-Iteration – 4.4 Die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten – 4.5 Die stetige Abhängigkeit der Lösung von der rechten Seite – Aufgaben §5. Numerische Lösung des Anfangswertproblems 1. Ordnung . . . . . . 57 5.1 Einschrittverfahren – 5.2 Fehlerabschätzungen – 5.3 Schrittweitenkontrolle – Aufgaben §6. Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Anwendungen – 6.4 Die Dirac-Deltafunktion – 6.5 L-Tabelle. Allgemeine Regeln und wichtige Korrespondenzen – Aufgaben §7. Lösung mittels Potenzreihenansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.1 Der Potenzreihenansatz – 7.2 Der modifizierte Ansatz – 7.3 Die Bessel-DGL– 7.4 Die Legendre-DGL – Aufgaben §8. DGL-Systeme und DGLn höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.1 Grundsätzliches, Beispiele – 8.2 Der EE-Satz – 8.3 Lineare DGLSysteme, die Grundprinzipien – 8.4 Lineare DGLn n-ter Ordnung – Aufgaben VIII Inhaltsverzeichnis §9. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . 110 9.1 Die Schur-Normalform und Hauptvektoren – 9.2 Die MatrixExponentialfunktion – 9.3 Die allgemeine Lösung, Fundamentalsysteme – 9.4 Lösungsbasis mit Eigen- und Hauptvektoren – 9.5 Der Fall n = 2 – 9.6 Das inhomogene lineare DGL-System – 9.7 Die Eliminationsmethode – 9.8 Die homogene lineare DGl n-ter Ordnung – 9.9 Die inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung – Aufgaben §10.Stabilität, periodische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.1 Autonome Systeme – 10.2 Ebene autonome Systeme, die PhasenDGL – 10.3 Stabilität – 10.4 Ausblick: Periodische Lösungen ebener autonomer Systeme – Aufgaben §11.Rand- und Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.1 Einführung – 11.2 Das lineare RWP für DGL-Systeme – 11.3 Das lineare RWP für DGLn n-ter Ordnung – 11.4 Eigenwertprobleme (an Beispielen) – 11.5 Das Sturm-Liouville-EWP – 11.6 Singuläre RWP und EWP – Aufgaben Kapitel 10. Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 §1. Punktmengen in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 1.1 Die komplexe Ebene – 1.2 Gebiete – 1.3 Randpunkte, Häufungspunkte – 1.4 Zahlenfolgen – 1.5 Die Zahlenkugel; der Punkt ∞ – Aufgaben §2. Einige elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2.1 Funktionen, Abbildungen – 2.2 Grenzwerte, Stetigkeit – 2.3 Die komplexe Exponentialfunktion – 2.4 Der komplexe Logarithmus – 2.5 Allgemeine Potenzen – 2.6 Die trigonometrischen Funktionen – √ 2.7 Die hyperbolischen Funktionen – 2.8 Die Quadratwurzel w = z – 2.9 n-te Wurzeln – Aufgaben §3. Gebrochen-lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.1 Die gebrochen-linearen Funktionen oder Möbius-Transformationen – 3.2 Kreis-, Winkel- und Orientierungstreue – 3.3 Die 6-PunkteFormel – 3.4 Symmetrische Punkte – Aufgaben §4. Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.1 Unendliche Reihen – 4.2 Potenzreihen – 4.3 Gleichmäßige Konvergenz – Aufgaben §5. Differentiation, analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.1 Definition und Rechenregeln – 5.2 Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen – 5.3 Die geometrische Deutung der Ableitung – 5.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Das komplexe Potential – Aufgaben Inhaltsverzeichnis IX §6. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Der Cauchy-Integralsatz – 6.4 Die Cauchy-Integralformel – 6.5 Vorgabe von Funktionswerten – Aufgaben §7. Anwendungen der Cauchy-Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.1 Vorbereitung: Der Trick mit der geometrischen Reihe – 7.2 Die Taylor-Reihe einer analytischen Funktion – 7.3 Der Fundamentalsatz der Algebra – 7.4 Die Mittelwerteigenschaft analytischer Funktionen – 7.5 Das Maximumprinzip – Aufgaben §8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem . . . . . . . . . . . . 242 8.1 Harmonische Funktionen – 8.2 Die praktische Bestimmung eines komplexen Potentials zu vorgegebener Potentialfunktion – 8.3 Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen – 8.4 Das Maximumprinzip für harmonische Funktionen – 8.5 Das Dirichlet-Problem – 8.6 Lösung des Dirichlet-Problems in beliebigen Gebieten – Aufgaben §9. Laurent-Reihen und Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.1 Die Laurent-Entwicklung – 9.2 Methoden der Laurent-Entwicklung – 9.3 Isolierte Singularitäten – 9.4 Hebbare Singularitäten – 9.5 Polstellen – 9.6 Wesentliche Singularitäten – 9.7 Anwendung auf Potentialströmungen – 9.8 Die z-Transformation – Aufgaben §10.Residuentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.1 Der Residuensatz – 10.2 Methoden der Residuenberechnung – 10.3 Beispiele zum Residuensatz – 10.4 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz – 10.5 Das Null- und Polstellen zählende Integral – Aufgaben Kapitel 11. Fourier-Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 §1. Trigonometrische Polynome und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 1.1 Periodische Funktionen – 1.2 Trigonometrische Polynome – 1.3 Trigonometrische Reihen – 1.4 Das Fundamentalbeispiel – 1.5 Aus dem Fundamentalbeispiel abgeleitete Reihen – Aufgaben §2. Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 2.1 Die Fourier-Reihe einer Funktion – 2.2 Rechenregeln – 2.3 Die Bessel-Ungleichung – 2.4 Methoden der Fourier-Entwicklung – Aufgaben §3. Konvergenz der Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 3.1 Vollständigkeit und Eindeutigkeit – 3.2 Der Darstellungssatz – 3.3 Konvergenz im quadratischen Mittel – 3.4 F-Tabelle. Elementare Fourier-Reihen – Aufgaben X Inhaltsverzeichnis §4. Anwendungen (an Beispielen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4.1 Periodische Lösungen linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten – 4.2 Lösung partieller DGLn durch Trennung der Variablen – 4.3 Näherungsformeln, Approximation – 4.4 Harmonische Balance – 4.5 Auflösung trigonometrischer Gleichungen – Aufgaben §5. Diskrete Fourier-Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 5.1 Endliche diskrete Fourier-Transformation (DFT) – 5.2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) – 5.3 Anwendungen – Aufgaben §6. Die Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 6.1 Grundlagen – 6.2 Rechenregeln – 6.3 Die Konvergenz und Eindeutigkeit der Fourier-Transformation – 6.4 Anwendungen – Aufgaben Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 §1. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 1.1 Grundbegriffe – 1.2 Beispiele – 1.3 Die lineare PDG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten – 1.4 Die eindimensionale Wellengleichung – 1.5 Nebenbedingungen – Aufgaben §2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 2.1 Ergänzungen zu autonomen DGL-Systemen: Erste Integrale – 2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung – 2.3 Quasilineare Differentialgleichungen 1. Ordnung – Aufgaben §3. Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 3.1 Klassifikation – 3.2 Die Reduktion auf Normalform – Aufgaben §4. Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 4.1 Spezielle Ansätze – 4.2 Die additive Trennung – 4.3 Die Trennung der Variablen – 4.4 Wärmeleitung – 4.5 Die schwingende Saite – 4.6 Das Dirichlet-Problem – 4.7 Die schwingende Kreismembran – 4.8 Fourier-Integral statt Fourier-Reihe – Aufgaben §5 Lösungen mit Laplace- und Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . 396 §6. Lösungen mit Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 6.1 Die Delta-Funktion – 6.2 Die Deutung von Integralkernen mit δ – 6.3 Die Lösungsmethode mit Green-Funktionen – 6.4 Wärmeleitung im beidseitig unbegrenzten Stab – 6.5 Die Wellengleichung – 6.6 Die Poisson-Gleichung in der Ebene – 6.7 Ausblick Kapitel 13. Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 §1. Funktionale und die Gâteaux-Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 1.1 Funktionale – 1.2 Die Gâteaux-Variation XI Inhaltsverzeichnis §2. Die Euler-Differentialgleichung für I (y ) = ab F (x, y, y ) dx . . . . . . . . 409 2.1 Vorbereitung – 2.2 Die Euler-Lagrange-Differentialgleichung – 2.3 Sonderfälle – Aufgaben §3. Natürliche Randbedingungen, Transversalitätsbedingung . . . . . . . . 418 3.1 Die natürliche Randbedingung – 3.2 Die Transversalitätsbedingung – 3.3 Modifizierte Randbedingungen – Aufgaben §4. Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen . . . . . . . . . . . . . 423 4.1 Der Integrand enthält höhere Ableitungen – 4.2 Extremalkurven im Ên – Aufgaben §5. Variation mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 5.1 Allgemeines – 5.2 Isoperimetrische Probleme – 5.3 Nebenbedingungen in Gleichungsform – Aufgaben §6. Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen . . . . . . 432 6.1 In der Ebene – 6.2 Im Raum – Aufgaben §7. Das Wechselspiel Variationsaufgaben – Differentialgleichungen . 435 7.1 Allgemeines – 7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen – 7.3 Partielle Differentialgleichungen – Aufgaben §8. Direkte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.1 Die Ritz-Methode – 8.2 Die Galerkin-Methode – Aufgaben Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Namen- und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 Verzeichnis der Programme 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Lösung des Anfangswertproblems y = f (x, y ) , y (x0 ) = y0 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Stabilitätstest für Polynome (alle Nullstellen in der linken Halbebene) 3. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Schnelle Fourier-Transformation 62 Inhalt von Band 1 Kapitel 1. Zahlen und Vektoren §1. §2. §3. §4. §5. §6. §7. §8. Mengen und Abbildungen Die reellen Zahlen Die Ebene Vektoren Produkte Geraden und Ebenen Gebundene Vektoren Die komplexen Zahlen Kapitel 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit §1. §2. §3. §4. §5. §6. Funktionen (Grundbegriffe) Polynome und rationale Funktionen Die Kreisfunktionen Zahlenfolgen und Grenzwerte Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien Funktionengrenzwerte, Stetigkeit Kapitel 3. Differentiation §1. §2. §3. §4. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion Anwendungen der Differentiation Umkehrfunktionen Die Exponential- und Logarithmusfunktion Kapitel 4. Integration §1. §2. §3. §4. §5. §6. §7. Das bestimmte Integral Integrationsregeln Die Integration der rationalen Funktionen Uneigentliche Integrale Kurven, Längen- und Flächenmessung Weitere Anwendungen des Integrals Numerische Integration Kapitel 5. Potenzreihen §1. §2. §3. §4. §5. Unendliche Reihen Reihen von Funktionen Potenzreihen Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen Anwendungen (an Beispielen)