Kapitel 13: Evolutionäre Spieltheorie Einleitung Evolutionäre Biologie

Übersicht
Kapitel 13:
Evolutionäre Spieltheorie
Einleitung
Evolutionäre Biologie
Evolutionäre Spieltheorie: Idee
Gefangenendilemma (Beispiel)
Evolutionäre Stabilität
Beispiele
Wiederholtes Gefangenendilemma
Chicken-Spiel
Koordinationsspiel
Kapitel 13
1
Kapitel 13
Übersicht
2
Rationalität als zentrale Annahme der
Spieltheorie.
Sinnvoll in vielen ökonomischen Zusammenhängen
Empirisch bestätigt?
Einleitung
Können wir diese Annahme fallen lassen?
Was sind die Alternativen?
Kapitel 13
Einleitung
3
Kapitel 13
Einleitung
4
Alternative: Biologische Evolutionstheorie
Keine Rationalität, da keine bewussten
Entscheidungen gefällt werden.
Evolutionäre Biologie
„Gute“ Strategien werden gegenüber „schlechten“
belohnt.
„Gute“ Strategien erhöhen die Fitness der
Anwender und vermehren sich dadurch stärker in
der Bevölkerung.
Kapitel 13
Einleitung
5
Kapitel 13
Evolutionäre Biologie
6
Grundlagen der evolutionären Biologie
Fitness
Tierisches Verhalten ist weitgehend genetisch
bestimmt.
Fitness: Mass für den Erfolg eines Phänotypen.
Einige Phänotypen passen besser zu den
herrschenden Umweltbedingungen als andere.
Zusammenwirken der Gene bestimmt eine
Verhaltensweise.
Phänotyp: Spezielles Verhaltensmuster, welches
durch ein oder mehrere Gene bestimmt wird.
Kapitel 13
Evolutionäre Biologie
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Kapitel 13
Evolutionäre Biologie
Selektion
8
Mutationen
Der Zufall produziert Mutationen: Es entstehen
neuen Phänotypen.
Selektion: Ändert die Zusammensetzung der
Phänotypen.
Anzahl der Tiere mit einer höheren Fitness nimmt
zu, weil sie relativ mehr Nachkommen haben.
Fitness und Selektion bestimmen den Erfolg der
Mutanten.
Die meisten Phänotypen, welche durch eine
Mutation entstehen, sind schlecht an die Umwelt
angepasst und verschwinden unmittelbar wieder.
Kapitel 13
Evolutionäre Biologie
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Kapitel 13
Evolutionäre Biologie
10
Evolutionäre Stabilität
Von Zeit zu Zeit entsteht ein neuer Phänotyp, der
besser an die Umwelt angepasst ist.
Ein Phänotyp wird evolutionär stabil genannt,
wenn keine Mutanten den Phänotypen
verdrängen können.
Der Mutant kann in eine bestehende Population
von Phänotypen eindringen und erreicht einen
signifikanten Anteil in der Bevölkerung.
Eine Population heisst monomorph, wenn sie aus
nur einem Phänotypen besteht.
Eine Population heisst polymorph, wenn sie aus
mehreren Phänotypen besteht.
Kapitel 13
Evolutionäre Biologie
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Kapitel 13
Evolutionäre Biologie
12
Evolutionäre Spieltheorie: Anwendung der
evolutionären Biologie auf Strategien.
Strategien werden nicht mehr vom Spieler
durchdacht, vielmehr sind sie angeboren.
Evolutionäre Spieltheorie:
Idee
Fitness und Selektion bestimmen dann den
„Erfolg“ der Strategie.
Kapitel 13
Evolutionäre Spieltheorie:Idee
13
Wir nutzen die evolutionäre Spieltheorie, um die
Annahme der Rationalität vollständig fallen zu
lassen.
Kapitel 13
Evolutionäre Spieltheorie: Idee
14
Interpretation „erben“:
Spieler treffen keine bewussten Entscheidungen,
da sie die Strategien „erben“.
Akteure erhalten Strategien mittels nichtgenetischer Prozesse:
z.B. Imitation, Erziehung etc..
Spieler müssen daher nicht rational sein:
sie müssen die Welt nicht verstehen.
Fitness beinhaltet Gewinne, Macht, Prestige usw.
und nicht das Überleben als solches.
Kapitel 13
Evolutionäre Spieltheorie: Idee
15
Evolutionär stabile Strategie
Populationsdynamik
16
Der Ansatz der evolutionär stabilen Strategien
versucht einen Bevölkerungszustand zu
beschreiben, unter dem sich keine alternative
Strategie (eine “Mutation”) in der Bevölkerung
ausbreiten kann.
Das sind unsere neuen „Prognosetools“
Evolutionäre Spieltheorie: Idee
Evolutionäre Spieltheorie: Idee
Der Ansatz der Populationsdynamik betrachtet
dynamische Prozesse, die beschreiben wie sich
die relative Häufigkeit, mit den unterschiedlichen
Strategien in einer Bevölkerung, im Zeitablauf
ändern.
Das Nashgleichgewicht wird ersetzt durch zwei
Konzepte:
Kapitel 13
Kapitel 13
17
Kapitel 13
Evolutionäre Spieltheorie: Idee
18
„Evolutionary Theory of Gravitation“
Question: Why does an apple fall from the tree to
the earth?
Answer: Originally, apples that came loose from
trees went in all directions. But only those that
were genetically predisposed to fall to the earth
could reproduce.
Kapitel 13
Evolutionäre Spieltheorie: Idee
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Kooperierende: Gestehen nicht
Abweichende: Gestehen
Gefangenendilemma
20
Zufälliges Aufeinandertreffen vs. geordnetes
Aufeinandertreffen.
Spieler können Strategie nicht wählen: Sie
werden als Kooperierende oder Abweichende
„geboren“.
Gefangenendilemma
Kapitel 13
Um die durchschnittliche Auszahlung (Fitness)
einer Strategie zu bestimmen, braucht es ein
Modell der Interaktion innerhalb der Bevölkerung.
Bevölkerung besteht aus 2 Phänotypen
Kapitel 13
Gefangenendilemma
Wir betrachten das einfachste Modell der
Interaktion innerhalb einer Bevölkerung.
21
Kapitel 13
Für jedes Individuum in der Bevölkerung gilt:
die Wahrscheinlichkeit, dass er auf ein
Individuum mit einer gegebenen Verhaltensweise
trifft, entspricht genau der relativen Häufigkeit
dieser Verhaltensweise in der Bevölkerung.
Gefangenendilemma
22
SPALTE
1-x
Gestehen
x
Kooperieren
Gestehen
10 yr, 10 yr
1 yr, 25 yr
Kooperieren
25 yr, 1 yr
3 yr, 3 yr
ZEILE
x = Wahrscheinlichkeit auf einen Kooperierenden zu treffen
Sei x der Anteil kooperierender Spieler (Phänotyp
„nicht gestehen“).
Kapitel 13
Gefangenendilemma
23
(1 – x) = Wahrscheinlichkeit auf einen nicht kooperierenden zu treffen
Kapitel 13
Gefangenendilemma
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Evolutionär stabile Strategie
Erwartete Freiheitsstrafe für kooperieren
3x + 25(1 – x) = 25 – 22x
Die Strategie „gestehen“ erwartet eine geringere
Haftstrafe für jedes x ∈ (0,1).
In einer Population in der alle Spieler gestehen,
kann damit die Mutation „kooperieren“ nicht
erfolgreich eindringen.
Falls „kooperieren“ per Zufall entsteht, wird sie
unmittelbar wieder verdrängt.
Die Strategie „gestehen“ ist damit evolutionär
stabil (ESS) im Gefangenendilemma.
Erwartete Freiheitsstrafe für gestehen
x + 10(1 – x) = 10 – 9x
Für jedes 0 ≤ x ≤ 1 gilt:
10 – 9x < 25 – 22x
13x < 15
Kapitel 13
Gefangenendilemma
25
Kapitel 13
Gefangenendilemma
26
Populationsdynamik
Im Gegensatz dazu ist die Strategie
„kooperieren“ nicht evolutionär stabil.
Sei x der Anteil Spieler die anfänglich nicht
gestehen. Wie ändert sich x über die Zeit?
Da für jedes x „gestehen“ eine geringere
Haftstrafe erzielt als „ kooperieren“ wird x über
die Zeit abnehmen.
Dieser Prozess hört erst auf, wenn es nur noch
Spieler gibt, welche gestehen.
Daher ist nur x = 0 ein Gleichgewicht (stabiler
Zustand) der Populationsdynamik.
In einer Population in der alle Spieler die
Strategie „kooperieren“ anwenden, kann die
Strategie „gestehen“ erfolgreich eindringen.
Kapitel 13
Gefangenendilemma
27
Stabilität für reine Strategien
Gefangenendilemma
28
Symmetrisches 2-Personen-Spiel in strategischer
Form mit m Aktionen.
Evolutionäre Stabilität für reine
Strategien
Kapitel 13
Kapitel 13
Zumeist betrachten wir den Fall m = 2.
In biologischen Anwendungen ist die Betrachtung von
2-Personen-Spielen die Regel.
29
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
30
Auszahlungsfunktion: verwendet in einer
Interaktion ein Spieler die Aktion k so ist seine
Auszahlung u(k, l) wenn sein Gegenspieler die
Aktion l verwendet.
Definition: Eine Aktion k ist eine evolutionär stabile
Strategie, wenn für jede Aktion l ≠ k entweder
u(k, k) > u(l, k)
oder
u(k, k) = u(l, k) und u(k, l) > u(l, l)
gilt.
Wir betrachten in diesem Abschnitt den Fall, in
dem jeder einzelne Spieler eine reine Strategie
verwendet, d.h. eine der m Aktionen verwendet.
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
31
Es wird eine Situation betrachtet, in der die
gesamte Bevölkerung die Aktion k verwendet.
Wechselt nun ein Teil ε der Bevölkerung zu einer
alternativen Aktion l ≠ k, so sind die
durchschnittlichen Auszahlungen:
(1 − ε)u(k, k) + εu(k, l) für die Aktion k
(1 − ε)u(l, k) + εu(l, l) für die Aktion l
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
33
Gilt u(k, k) > u(l, k) wird die “Mutation” l verdrängt, da
der erste Summand strikt positiv und der zweite
Summand für hinreichend kleine ε diesen Effekt nicht
umdrehen kann
Gilt u(l, k) = u(k, k), so ist der Gesamtausdruck für ε >
0 genau dann strikt positiv, wenn u(k, l) > u(l, l) gilt.
Stabilität für reine Strategien
Stabilität für reine Strategien
32
Die Aktion k erzielt eine strikt grössere
durchschnittliche Auszahlung als die Aktion l (und
kann diese daher per Annahme aus der
Bevölkerung verdrängen) falls
(1 − ε) [u(k, k) − u(l, k)] + ε[u(k, l) − u(l, l)] > 0
gilt.
Die Bedingungen in der Definition einer
evolutionär stabilen Strategie sind genau
diejenigen, die sichern, dass diese Ungleichung
für alle hinreichend kleinen ε > 0 erfüllt sind.
Kapitel 13
Kapitel 13
35
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
34
Theorem: Ist k eine evolutionär stabile
Strategie, so ist (k, k) ein NashGleichgewicht in reinen Strategien.
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
36
Das Theorem liefert eine Rechtfertigung für das
Konzept des Nash-Gleichgewichts aus
evolutionärer Sicht.
Theorem: Ist (k, k) ein striktes Nash-Gleichgewicht
so ist k evolutionär stabil.
In einem symmetrischen 2-Personen-Spiel ist (k,
k) genau dann ein striktes Nash-Gleichgewicht,
wenn u(k, k) > u(l, k) für alle l gilt.
Die Rechtfertigung ist nur teilweise, da
nur symmetrische Nash-Gleichgewichte einer
evolutionär stabilen Strategie entsprechen können.
nicht jedes Nash-Gleichgewicht evolutionär stabil ist.
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
37
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
Insbesondere ist (k, k) ein striktes NashGleichgewicht – und damit k evolutionär stabil wenn k eine dominante Aktion ist (Beispiel:
einfaches Gefangenendilemma).
Kapitel 13
Stabilität für reine Strategien
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Wiederholtes
Gefangenendilemma
39
Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
40
Spiel für die Strategien A und T
Zwei Wiederholungen
SPALTE
Wiederholtes Gefangenendilemma (zweimal)
A 1-x
Zwei Strategien
Immer gestehen (A)
Tit-for-tat (T)
ZEILE
T
A
20, 20
11, 35
T
35, 11
6, 6
x
x = Wahrscheinlichkeit auf einen T Spieler zu treffen
(1 – x) = Wahrscheinlichkeit auf einen A Spieler zu treffen
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Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
41
Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
42
Evolutionär stabile Strategien
Populationsdynamik
Sei x der Anteil der tit-for-tat (T) Spieler.
Wie ändert sich dieser Anteil über die Zeit?
Die erwartete Freiheitsstrafe eines A Spielers
beträgt 11x + 20(1 – x) = 20 – 9x.
Die erwartete Freiheitsstrafe eines T Spielers ist
6x + 35(1 – x) = 35 – 29x.
Wenn x > 3/4 : 35 – 29x < 20 – 9x
(A, A) und (T, T) sind strikte
Nashgleichgewichte in reinen Strategien.
A und T sind damit evolutionär stabile
Strategien (ESS).
Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
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Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
44
Unfitness
(Jahre im
Gefängnis)
35
Unfitness
des Typ T
Wenn mehr als 75% der Bevölkerung schon vom
Typ T ist, dann hat T eine höhere Fitness als A
und wird zu 100% anwachsen (x = 1).
35 – 29x
20
Typ A
Wenn weniger als 75% der Bevölkerung vom Typ
T ist, hat A eine höhere Fitness und wird zu
100% wachsen (x = 0).
20 – 9x
11
6
1
0
Anteil x des Typs T
in der Bevölkerung
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Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
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Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
46
Ein polymorphes Gleichgewicht existiert, wenn
die Bevölkerung exakt zu 75% aus T und zu 25%
aus A besteht.
Beide Typen besitzen dieselbe Fitness und
vermehren sich proportional.
Chicken-Spiel
Dies ist ein Gleichgewicht, es ist aber nicht stabil.
Einführung eines Mutanten eines Typs stürzt das
Gleichgewicht.
Kapitel 13
Wiederholtes Gefangenendilemma
47
Kapitel 13
Chicken-Spiel
48
Evolutionär stabile Strategien
Ist Wimp eine ESS?
B
Wimp
Macho
Wimp
0, 0
-1, 1
Macho
1, -1
-2, -2
Wimp ist evolutionär stabil, falls
u(Wimp, Wimp) > u(Macho, Wimp)
A
Es gilt u(Wimp, Wimp) = 0 und u(Macho,
Wimp) = 1.
Somit ist Wimp keine ESS.
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Kapitel 13
Chicken-Spiel
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Evolutionär stabile Strategien
Kapitel 13
Chicken-Spiel
50
Jeder Typ hat eine höhere Fitness, wenn er in
der Bevölkerung eine Minderheit repräsentiert.
Ist Macho eine ESS?
Jeder Typ kann somit erfolgreich in eine
Bevölkerung eindringen, welche nur aus Spielern
mit den anderen Phänotypen besteht.
Macho ist evolutionär stabil, falls
u(Macho, Macho) > u(Wimp, Macho)
Es gilt u(Macho, Macho) = -2 und u(Wimp,
Macho) = -1.
Die reinen Strategien Wimp und Macho sind
damit keine ESS.
Somit ist Macho keine ESS.
Kapitel 13
Chicken-Spiel
51
Kapitel 13
Evolutionär stabile Strategien
Chicken-Spiel
Evolutionär stabile Strategien
Das Chicken Spiel hat das symmetrische
Nashgleichgewicht [(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)].
Die gemischte Strategie (0.5, 0.5) ist eine
evolutionär stabile Strategie falls,
Ist die gemischte Strategie (0.5, 0.5) ein
ESS?
u[(0.5, 0.5), i] > u(i, i)
Kapitel 13
Chicken-Spiel
52
wobei i entweder Wimp = (1, 0) oder
Macho = (0, 1) ist.
53
Kapitel 13
Chicken-Spiel
54
Evolutionär stabile Strategien
Populationsdynamik
Es gilt dass u[(0.5, 0.5), (1, 0)] = 0.5
und u[(1, 0), (1, 0)] = 0.
x = Anteil Machos, (1 – x) = Anteil Wimps
Fitness eines Wimps:
(0)(1 – x) + (-1)x = -x
Es gilt auch dass u[(0.5, 0.5), (0, 1)] =
-1.5 und u[(0, 1), (0, 1)] = -2.
Fitness eines Machos:
1(1 – x) + (-2)x = 1 – 3x
Somit ist (0.5, 0.5) ein ESS.
Kapitel 13
Chicken-Spiel
55
Kapitel 13
Chicken-Spiel
56
Fitness
Typ Macho hat die höhere Auszahlung wenn:
1 – 3x > -x , d.h. wenn x < ½.
Wenn die Bevölkerung also weniger als zur
Hälfte aus Machos besteht, haben Machos eine
höhere Fitness und der Anteil an Machos nimmt
zu.
(0.5, 0.5) ist ein polymorphes Gleichgewicht.
Dieses Gleichgewicht ist stabil: nach einer kleine
Änderung der Anteile gehen die Anteile wiederum
auf (0.5, 0.5) zu.
1
Macho
1/2
0
Wimp
-1
-2
Fitness Graphen und polymorphes Gleichgewicht
für Chicken-Spiele
Kapitel 13
Chicken-Spiel
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1
Anteil x an Machos
Machos in Bevölkerung
Kapitel 13
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Chicken-Spiel
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Vergleich mit klassischer Spieltheorie
Klassische Spieltheorie: Das Chicken Spiel hat
die drei Nashgleichgewichte [(0.5, 0.5), (0.5,
0.5)], [(1, 0), (0, 1)] und [(0, 1), (1, 0)].
Interpretationen unterscheiden sich:
In der klassischen Spieltheorie mischen die Spieler.
In evolutionären Spielen ist die Bevölkerung eine
Mischung aus ihren Phänotypen.
Evolutionäre Spieltheorie: Die zwei reinen
Strategien sind nicht evolutionär stabil.
Die gemischte Strategie ist evolutionär stabil.
Kapitel 13
Chicken-Spiel
59
Kapitel 13
Chicken-Spiel
60
B
Koordinationsspiele
T
M
T
1, 1
0, 0
M
0, 0
2, 2
A
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Kapitel 13
Koordinationsspiele
61
Kapitel 13
Evolutionär stabile Strategien
Koordinationsspiele
62
Evolutionär stabile Strategien
(M,M) und (T,T) sind strikte
Nashgleichgewichte in reinen Strategien.
[(2/3,1/3), (2/3,1/3)] ist ein symmetrisches
Nashgleichgewicht in gemischten Strategien.
M und T sind damit evolutionär stabile
Strategien (ESS).
Die gemischte Strategie (2/3,1/3) ist eine ESS
falls,
u[(2/3,1/3), i] > u(i, i)
wobei i entweder T = (1, 0) oder M = (0, 1)
ist.
Kapitel 13
Koordinationsspiele
63
Kapitel 13
Evolutionär stabile Strategien
Koordinationsspiele
64
Populationsdynamik
T hat Fitness:
x(1) + (1 – x)(0) = x
Da u((2/3,1/3), T) = 2/3 und u(T, T) = 1, ist
die gemischte Strategie nicht evolutionär
stabil.
M hat Fitness:
x(0) + (1 – x)(2) = 2(1 – x)
T hat grössere Auszahlung wenn x > 2/3
M wenn x < 2/3
Kapitel 13
Koordinationsspiele
65
Kapitel 13
Koordinationsspiele
66
Fitness
2
Populationsdynamik
Typ M
Sei x > 2/3, dann konvergiert x gegen x = 1.
Typ T
1
Sei x < 2/3, dann konvergiert x gegen x = 0.
Instabiles Gleichgewicht der Populationsdynamik
wenn x = 2/3.
0
Instabil: jegliche Mutation von T oder M führt weg von
x = 2/3.
2/3
1
Anteil x an T Typen
In der Bevölkerung
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Kapitel 13
Koordinationsspiele
67
Vergleich mit klassischer Spieltheorie
Klassische Spieltheorie: Drei Nash
Gleichgewichte [(1, 0),(1,0)], [(0,1), (0,1)], und
[(2/3, 1/3), (2/3, 1/3)].
Evolutionäre Spieltheorie: Die gemischte
Strategie ist keine evolutionär stabile Strategie.
Die reinen Strategien sind evolutionär stabile
Strategien (ESS).
Kapitel 13
Koordinationsspiele
69
Kapitel 13
Koordinationsspiele
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