Stochastik II

Prof. Dr. C. Becker
Übungen zur Vorlesung
Stochastik II
Lösungshinweise zu Blatt 3
Aufgabe 1
Eϑ (M ) = Eϑ (
n
n
1X
1X
Xi ) =
Eϑ (Xi ) = ϑ
n i=1
n i=1 | {z }
ϑ
1
Eϑ (max(X1 , . . . , Xn ) + min(X1 , . . . , Xn ))
2
1
=
Eϑ (max(X1 − ϑ, . . . , Xn − ϑ) + ϑ + min(X1 − ϑ, . . . , Xn − ϑ) + ϑ)
2
1
(Eϑ (2ϑ) + Eϑ (max(X1 − ϑ, . . . , Xn − ϑ) + min(X1 − ϑ, . . . , Xn − ϑ))) = ϑ
=
|
{z
}
2
Eϑ (T ) =
=0
Im letzten Schritt wurde die Symmetrie der Verteilung bzgl. ϑ benutzt.
Aufgabe 2
Die Likelihood-Funktion ist ρN = N1n .
Es gilt N ≥ max(x1 , . . . , xn ).
Setze τ̂ (x1 , . . . , xn ) = max(x1 , . . . , xn ).
Jedes τ̃ ≥ τ̂ verringert die Likelihood-Funktion, also ist τ̂ der ML-Schätzer.
Wegen PN (N > τ̂ ) > 0 und PN (N ≥ τ̂ ) = 1 ist der Schätzer nicht erwartungstreu.
Aufgabe 3
Vorbemerkung: Man kann Mengen {x1 , . . . , xn } (ohne Beachtung der Reihenfolge
der xi ) oder Tupel (x1 , . . . , xn ) (mit Beachtung der Reihenfolge der xi ) betrachten.
Betrachtung der Mengen ist einfacher!
Die Likelihood-Funktion ist
1
ρN ({x1 , . . . , xn }) = N n
Es muß gelten: N ≥ max(x1 , . . . , xn ). τ̂ (x1 , . . . , xn ) = max(x1 , . . . , xn ) ist der
kleinstmögliche Schätzer, jeder größere Schätzer macht die Likelihood-Funktion
kleiner. Also ist τ̂ der ML-Schätzer.
N
X
E(τ̂ (x1 , . . . , xn )) =
kP (τ̂ = k) =
k=n
(Man überprüfe, daß
PN
k=n
N
X
k=n
k
k−1
n−1
N
n
k−1
(n−1
)
= 1 !)
(Nn )
N
1 X
!
k−1
E(τ̂ ) = N k
n−1
k=n
n
N
1 X
k
= N k=n
N
X
n
1
= N n
n
(k − 1)!
(n − 1)!(k − n)!
k!
k=n n!(k − n)!
N
n X
k
= N k=n n
!
n
n
N +1
= N n+1
!
siehe Formelsammlung
n
n(N + 1)
=
n+1
Der Schätzer τ̂ ist also nicht erwartungstreu. Einen erwartungstreuen Schätzer
τ̂ − 1.
erhält man mit τ̃ = n+1
n
Aufgabe 4
P
−λ λk
Erwartungswert des Schätzers E(T ) = ∞
.
k=0 T (k)e
k!
3
−λ 3
−3λ
Dies soll = P (X = 0) = (e ) = e
sein. Also gilt die Identität
e−3λ =
∞
X
k=0
T (k)e−λ
λk
k!
Gesucht T : IN → IR, dabei soll T nur von k abhängen, nicht von λ. Daher ist
die Wahl T (k) = e−3λ nicht zulässig.
e−2λ =
∞
X
k=0
T (k)
∞
X
λk
(−2λ)k
=
k!
k!
k=0
Koeffizientenvergleich liefert T (k) = (−2)k (wegen Eindeutigkeit der Taylorreihe
in λ). Für k > 0 liefert der Schätzer T Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeit,
die negativ oder > 1 sind. Dies ist unsinnig.