Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen
Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau
Roland Gunesch
7. Vorlesung
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
1 / 27
Themen heute
Quantoren und Schreibweisen
Cantors Diagonalverfahren
Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen
Indexschreibweise
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
2 / 27
Bemerkung zu Quantoren: Gleiche dürfen gruppiert werden
Die Aussage
∀x ∈ A ∀y ∈ B :
( , )
a x y
(mit 2 Quantoren) kann auch mit 1 Quantor geschrieben werden:
∀x ∈ A, y ∈ B :
( , ).
a x y
Wenn beide Elemente aus derselben Menge kommen, dürfen wir das auch
gruppieren: Statt
∀x ∈ A, x̃ ∈ A :
( , )
a x x̃
(beides sind Elemente aus A) kann auch geschrieben werden
∀x , x̃ ∈ A :
Verschiedene Quantoren (∀,
∃)
( , ).
a x x̃
dürfen natürlich nicht so
zusammengruppiert werden.
Häuge Frage: Was ist eigentlich dieses x̃ ?
Antwort: Auch ein Element von A. Aber x̃ ist unabhängig von x .
Wir hätten statt x , x̃ auch x1 , x2 schreiben können.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
3 / 27
Wiederholung: Injektiv, Denition mit Quantoren
Denition
Sei f
f
:A→B
eine Abbildung.
heiÿt injektiv, wenn gilt (beachten Sie die Quantoren!):
∀x , x̃ ∈ A : (f (x ) = f (x̃ ) =⇒
x
= x̃ ).
Äquivalent:
∀x , x̃ ∈ A : (x 6= x̃ =⇒ f (x ) 6= f (x̃ )).
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
4 / 27
Wiederholung: Abzählbarkeit
Denition
Sei M eine Menge. Wenn es eine Bijektion f
:N→M
gibt, dann heiÿt die
Menge M abzählbar.
Dann gibt es auch eine Bijektion g
Roland Gunesch (Mathematik)
: M → N.
(Nämlich g
Fachwissenschaftliche Grundlagen
= f −1 .)
7. Vorlesung
5 / 27
Abzählung von N × N,von Q+ und von Q
Wir haben schon bewiesen:
Satz
Die Mengen
N×N
Die Mengen
Q+ := {x ∈ Q |
und
N
sind bijektiv aufeinander abbildbar.
x
> 0}
und
N
sind bijektiv aufeinander
abbildbar.
Die Mengen
Q
und
Roland Gunesch (Mathematik)
N
sind bijektiv aufeinander abbildbar.
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
6 / 27
Cantors Diagonalverfahren (Tabelle erstellen)
Satz
Die Mengen
N×N
Zum Beweis:
1
und
N×N
N
sind bijektiv aufeinander abbildbar.
ist die Menge
{(x , y ) |
x
∈ N ∧ y ∈ N}.
Bilde eine Tabelle, in beide Richtungen (x und y ) unendlich
ausgedehnt.
2
Schreibe in x -Richtung für jedes n
∈N
die Zahl n als Überschrift über
die n -te Spalte.
3
Schreibe in y -Richtung für jedes m
∈N
die Zahl m als Überschrift
über die m -te Zeile.
4
Schreibe das Element
x -te
(x , y )
an die Position
(x , y )
in der Tabelle (also
Spalte und y -te Zeile).
Das war noch nicht das Verfahren, das war die Tabelle, mit der das
Verfahren funktioniert. Es geht so:
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
7 / 27
Cantors Diagonalverfahren (Tabelle durchlaufen)
1
2
Die Tabellenposition ganz links oben bekommt die Zahl 1 zugeordnet.
Die Positionen
(1, 2)
und
(2, 1)
(welche eine kurze Diagonale der
Länge 2 bilden) bekommen die Zahlen 2 und 3 zugeordnet.
3
Die Positionen (1,3), (2,2) und (3,1) (welche eine kurze Diagonale
der Länge 3 bilden) bekommen die nächsten 3 ganzen Zahlen (hier
also 4,5,6) zugeordnet.
4
Die Positionen (1,4), bis (4,1) (welche eine kurze Diagonale der
Länge 4 bilden) bekommen die nächsten 4 ganzen Zahlen zugeordnet.
5
usw.
Auf diese Weise wird jede Tabellenposition erreicht.
Wir haben damit eine Abbildung
f
: N×N → N
konstruiert.
Die Abbildung f ist surjektiv: Nach Konstruktion.
Die Abbildung f ist injektiv: Auch nach Konstruktion.
Also ist sie bijektiv.
Rationale Zahlen sind abzählbar
Die Mengen
Q+ := {x ∈ Q |
x
> 0}
und
N
sind bijektiv aufeinander
abbildbar mit Cantors Diagonalverfahren:
Beweis wie eben, wobei wir in jedem Schritt alle Brüche überspringen, die
wir schon einmal erreicht hatten.
Die Mengen
Q
und
N
sind ebenfalls paarweise zuordenbar mit Cantors
Diagonalverfahren. Wir können also auch die rationalen Zahlen
≤0
dazunehmen.
Ebenso sind
Die Mengen
Z × Z und N bijektiv aufeinander abbildbar.
R und N sind nicht paarweise zuordenbar. Dies
werden wir als
nächstes beweisen.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
9 / 27
Variationen von Cantors Diagonalverfahren
Ob Sie bei der Tabelle mit Paaren von Zahlen zuerst die
Zeilennummer oder zuerst die Spaltennummer schreiben, ist egal.
Ob Sie die Diagonalen von links unten nach rechts oben durchlaufen
oder von rechts oben nach links unten, ist egal. Sie dürfen sogar einige
Diagonalen in der einen Richtung durchlaufen und andere in der
anderen.
Es gibt noch viele andere Möglichkeiten, diese Tabelle zu durchlaufen.
Sie können sich selbst noch eine neue ausdenken und dabei Ihrem
künstlerischem Talent freien Lauf lassen.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
10 / 27
Dezimalschreibweise von reellen Zahlen
Zunächst müssen wir die reellen Zahlen besser verstehen. Es ist möglich,
eine exakte Denition von
R
zu geben; das wird z.B. in Analysis getan.
Hier beschäftigen wir uns mit etwas leichterem: der Frage, wann zwei reelle
Zahlen, deren Dezimalschreibweise wir kennen, gleich sind.
Dezimalschreibweise:
π = 3, 1415 . . .
10
10
+
1
2
= 10000000000, 5
wobei hier ein Punkt zwischen Vor- und Nachkommateil verwendet wird. Es
gibt 3 verbreitete Schreibweisen für Zahlen wie diese:
international übliche (modernste): 10,000,000,000.5 ; 10 000 000 000.5
deutsche (traditionell): 10.000.000.000,5
deutsche (moderner): 10'000'000'000,5 oder 10 000 000 000.5
Leider sind diese Schreibweisen inkompatibel. (Was heiÿt 1.234 ? Was heiÿt
1,234 ?) Alle sind möglich, aber wir müssen uns auf eine festlegen.
In dieser Vorlesung verwenden wir die modernere der deutschen.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
11 / 27
Dezimalschreibweise von reellen Zahlen
Simple Frage: Sind die beiden Zahlen
a
= 2, 7136
b
= 2, 7203
gleich oder verschieden?
Antwort: Natürlich verschieden. Die zweite Nachkommastelle ist
verschieden, also ist die Dierenz
Roland Gunesch (Mathematik)
>
67
1
1000 . (Nämlich 10000 .)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
12 / 27
Dezimalschreibweise und 9en
Knobelaufgabe: Sind die Zahlen
a
b
= 0, 9999999 . . .
= 1 = 1, 000000 . . .
gleich oder verschieden?
Wenn verschieden, wie groÿ ist die Dierenz?
Antwort: Gleich. Denn
10a
9a
= 9, 999999 . . .
= 10a − a = 9, 9999 . . . − 0, 9999 . . . = 9
=⇒
Die Dierenz ist 0. Denn:
Die Dierenz ist kleiner als
Sogar kleiner als
a
= 1.
1
10 .
1
1
100 . Sogar kleiner als 1000 , usw.
Deswegen ist die Dierenz gleich Null.
(Das benutzt Eigenschaften der reellen Zahlen.)
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
13 / 27
Dezimalschreibweise von reellen Zahlen
Aus diesem Grund gilt folgende Vereinbarung: Wenn wir reelle Zahlen
schreiben, dann verwenden wir nie die Schreibweise, wo irgendwann nur
noch 9en kommen, sondern (sofern nötig) nur die Schreibweise mit 0en.
Also nicht: 0.419999999 . . .
Sondern: 0.42000000 . . .
Es gilt: Die Zahlen in
R,
die
≥0
sind und Vorkomma-Anteil 0 haben, sind
genau das Intervall
[0, 1[ = {x ∈ R |
Roland Gunesch (Mathematik)
x
≥0 ∧
x
< 1} ⊆ R.
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
14 / 27
Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar
Satz
Es gibt keine surjektive Abbildung
N → R.
D.h.: Die reellen Zahlen lassen sich nicht abzählen.
Beweis.
Wir zeigen noch mehr: Schon das Intervall
[0, 1[ = {x ∈ R |
x
≥0 ∧
x
< 1} ⊆ R
läÿt sich nicht abzählen.
Annahme: es gebe eine surjektive Abbildung f
: N → [0, 1[.
Wir schreiben alle Werte in Dezimalschreibweise:
Roland Gunesch (Mathematik)
f
(1) = 0, x11 x12 x13 . . .
f
(2) = 0, x21 x22 x23 . . .
...
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
15 / 27
Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar
Beweis.
(Fortsetzung) Betrachte die Zahl
r
:= 0, r1 r2 r3 · · · ∈ [0, 1[
die gegeben ist durch die Ziern
(
ri
:=
xii
+1
0
Ist r eine Zahl aus der Liste? Gilt r
Antwort: Nein, denn für jedes i
∈N
für xii
für xii
≤7
≥ 8.
∈ Bild(f )?
ist r von f (i ) verschieden
(nämlich in der i -ten Zier).
Die reellen Zahlen sind also wirklich mächtiger als die natürlichen Zahlen.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
16 / 27
Index
Für die folgenden Gleichungen, die wir bei der vollständigen Induktion
sehen werden, ist folgende Schreibweise nützlich:
Ein Index ist eine Zahl, die an einer Variable stehen kann: x1 , x2 , x3 sind 3
Zahlen (im Allgemeinen verschiedene).
Die Zahl xi hat den Index i .
Aussprache: ein Index, zwei Indizes (Englisch: indices).
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
17 / 27
Indexschreibweise (Summe)
Summen können mit Index geschrieben werden:
6
1+2+3+4+5+6
=
∑
i
1
7
+ 27 + 37 + 47 + 57 =
i
=1
5
∑
i
i
7
=1
Hier ist i der Index, genauer der Summationsindex.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
18 / 27
Indexschreibweise (Summe)
Allgemeiner: Für n , m
∈N
≥n
mit m
denieren wir
m
∑
i
xi
:= x + x
n
n
+1 + · · · + xm−1 + xm
=n
(sofern mindestens 4 Summanden da sind, sonst müsste die rechte Seite
mit entsprechend weniger Summanden geschrieben werden).
Beispiele:
2
∑
i
i
9
= 19 + 29 .
=1
42
∑
i
i
9
= 429 .
=42
Wenn gar keine Summanden da sind, ist die Summe gleich 0:
5
∑
i
Roland Gunesch (Mathematik)
i
7
= 0.
=6
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
19 / 27
Wieviele Summanden?
Wieviele Summanden stehen in der Summe, die mit Indizes geschrieben ist?
m
∑
i
xi
:= x + x
n
n
+1 + · · · + xm−1 + xm
=n
enthält
m
−n+1
Summanden.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
20 / 27
Summe mit Indizes aufspalten
Summen dürfen wir aufspalten (und zusammenfügen):
Wenn n
≤k ≤m
ist, dann gilt
i
Beispiel:
m
k
m
∑
xi
=
=n
∑
i
∑
=1
+
=n
1000
i
xi
i
20
i
=
∑
i
=1
xi
∑
.
=k +1
1000
i
+
∑
i
i
,
=21
denn
1 + 2 + · · · + 1000
Roland Gunesch (Mathematik)
= (1 + 2 + · · · + 20) + (21 + 22 + · · · + 1000).
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
21 / 27
Indexverschiebung
Der Index darf wie folgt verschoben werden:
m
∑
i
m
xi +1
=
=n
und allgemeiner gilt für jedes k
i
∑
xi
=n+1
∈ Z:
m
i
+1
∑
m
xi +k
=n
=
+k
∑
i
xi
.
=n+k
Beispiel:
n
m
= 2000,k = 3,
xi
=i
= 1000,
ergibt folgende Gleichung:
(1000 + 3) + (1001 + 3) + · · · + (2000 + 3) = 1003 + 1004 + · · · + 2003,
was oensichtlich wahr ist.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
22 / 27
Indexschreibweise (Produkt)
Produkte können wir auch mit Index schreiben:
m
∏
i
xi
:= x · x
n
n
+1 · · · · · xm−1 · xm
=n
Das ist wie die Summe, bloÿ wird jetzt multipliziert statt addiert.
Wenn die Zahl der Faktoren 0 ist, dann ist das Produkt gleich 1.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
23 / 27
Indexschreibweise (Vereinigung von Mengen)
Vereinigung von mehreren Mengen können wir auch mit Index schreiben:
m
[
i
Mi
:= M ∪ M
n
n
+1 ∪ · · · ∪ Mm−1 ∪ Mm
=n
Wenn die Zahl der zu vereinigenden Mengen 0 ist, dann ist die Vereinigung
leer, d.h. gleich der leeren Menge.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
24 / 27
Indexschreibweise (Durchschnitt von Mengen)
Den Durchschnitt von mehreren Mengen können wir auch mit Index
schreiben:
m
\
i
Mi
:= M ∩ M
n
n
+1 ∩ · · · ∩ Mm−1 ∩ Mm
=n
Hier sollte die Zahl der zu schneidenden Mengen besser
≥1
sein, sonst ist
der Durchschnitt gar nicht deniert.
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
25 / 27
Eine kleine Rechenaufgabe
Betrachten Sie die Summe
100
∑
i
i
= 1 + 2 + · · · + 99 + 100.
=1
Wie groÿ ist die Summe? Welche Zahl kommt heraus?
Können Sie die Summe ausrechnen?
In einer Minute?
Im Kopf ?
Es gibt einen Trick:
(1 + 100) + (2 + 99) + · · · = (50
mal die Zahl 101)
= 5050
Das hat ein schlauer Mensch namens Carl Friedrich Gauss schon in der
Grundschule herausgefunden (Legende).
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
26 / 27
Formeln mit n
Die Formel
1 + 2 + · · · + 99 + 100
= 50 · 101
gibt es auch in der Version, wo wir nicht bei 100, sondern bei n aufhören zu
zählen. Sie lautet dann:
n
∑
i
i
=
=1
1
2
( + 1).
n n
Doch wie können wir so etwas beweisen?
Für solche Formeln, die von n
∈N
abhängen, gibt es eine spezielle
Beweismethode: vollständige Induktion .
Roland Gunesch (Mathematik)
Fachwissenschaftliche Grundlagen
7. Vorlesung
27 / 27