Abgeleitete SI-Einheiten 2017_18 LÖSUNGEN

LMPG_SI-Einheiten (Technische Mathematik S. 72-78)

LAB1A/B
Gebräuchliche, abgeleitete Grössen:
Aus den Basisgrössen und Basiseinheiten lassen sich eine Vielzahl weiterer Grössen und Einheiten ab- und
herleiten, die zum Teil eigene Namen erhalten.
Ein Beispiel hierfür ist die Geschwindigkeit v, welche sich aus den Basisgrössen Länge und Zeit herleiten
lässt:
Die physikalische Definition der Geschwindigkeit lautet:
Geschwindigkeit 
s
Weg
und symbolisch: v 
t
Zeit
Weil man den Weg in Metern m und die Zeit in Sekunden s misst, ergibt sich für die Geschwindigkeit die
abgeleitete SI-Einheit: m/s man schreibt dann:
m 
v 
s
Am Beispiel der Geschwindigkeit lässt sich sehr schön erkennen, dass zwischen der physikalischen Definition
einer Grösse und der abgeleiteten SI-Einheit der Grösse ein enger Zusammenhang besteht.
Physikalische Definition der Grösse ⇔ Abgeleitete SI-Einheit
Dies bedeutet, kenne ich die abgeleitete SI-Einheit der physikalischen Grösse, so kann ich auf die
physikalische Definition schliessen und umgekehrt.
Jede Physikalische Grösse wird mit einem Zahlenwert und der dazugehörigen Einheit angegeben:
Grössenwert = Zahlenwert . Einheitszeichen
Beispiel:
v
=
5
m
s
Beispiel 2 :
Ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, legt in 10 s eine Strecke von 100 m zurück.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit.
v
100m
m
 10
10 s
s
Beispiel 3 :
Ein Zug fährt um 16:30 Uhr ab und kommt um 23:10 Uhr am Zielbahnhof an. Berechnen Sie die
Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit), wenn der Zug eine Strecke von 578000 m zurücklegt.
t = 6 h 40 min => 6 h * (60min/h)*(60 s /min) + 40 min*(60 s/min) = 24000 s
v
578000 m
m
 24.1
24000 s
s
A. Soi
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LAB1A/B
Die Fläche:
Die Fläche A (Area) wird in der abgeleiteten Einheit m2 (Quadratmeter angegeben)
Die Fläche A berechnet sich somit als: A  l  l . Die Fläche berechnet sich somit als dem Produkt zweier
Längen. Beispiel: l = 1m ; b = 1m  A = 1m * 1m = 1m2
Wichtige geometrische Figuren
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm.
Dreieck
Trapez
Kreis
Berechnungsformeln für Flächenberechnungen von:
Figur
Fläche: A  l  l [m2]
A = a*a
Quadrat
A. Soi
Umfang U [m]
U = 4*a
Rechteck
A= a*b
U=2*(a+b)
Parallelogramm
A= g*h
U=2*(g+a)
Dreieck
A= g*h/2
U= g+a+b
Trapez
A= (g+a)*h/2
U=a+b+g+c
Kreis
A=*r2
U=2**r
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LAB1A/B
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Aus der Einheit 1 m leiten sich weitere Flächeneinheiten ab:
dm2
1 m2 =
cm2
-1
10 m = 1dm
1 m = 10 dm
1 m2 = (10 dm)2 = 100 dm2 = 102 dm2
-2
10 m = 1cm
1 m = 100 cm
1 m2 = (100 cm)2 = 10000 cm2 = 104 cm2
mm2
1 m2
-3
10 m = 1mm
1 m = 1000 mm
1 m2 = (1000 mm)2 = 1000000 mm2= 106 mm2
Aufgabe:
Messen Sie mit einem Lineal die Breite b und die Länge l Ihres Mathematikbuches und berechnen Sie damit
die Fläche des Buches.
Aufgabe:
Anzugeben sind 0.5m2 in den Einheiten dm2, cm2 und mm2
dm2: 1 m = 10 dm => 1 m2 = 100 dm2 => 0.5 m2 = 0.5*100 dm2 = 50 dm2
oder : 0.5 m2*(10(0 - - 1) dm/m)2= 0.5 *100 dm2 = 50 dm2
cm2: 1 m = 100 cm => 1 m2 = 10000 cm2 => 0.5 m2 = 0.5*10000 cm2 = 5000 cm2
oder : 0.5 m2*(10(0 - - 2) dm/m)2= 0.5 *10000 cm2 = 5000 dm2
mm2: 1 m = 1000 mm => 1 m2 = 1000000 mm2 => 0.5 m2 = 0.5*1000000 mm2 = 500000 mm2
oder : 0.5 m2*(10(0 - - 3) dm/m)2= 0.5 *106 mm2 = 5*105 mm2
Aufgabe:
Wie viel km2 sind 135cm2 ?
135 cm2 = 135 cm2*(10-2-3 km/cm)2 = 135*10-10 km2=1.35*10-8 km2.
oder 1 km = 103 m= 105 cm => 1 km2 = 106 m2= 1010 cm2 => 1 cm2 = 10-10 km2 =>
135 cm2 = 135*10-10 km2=1.35*10-8 km2.
Lösen Sie die Aufgaben 2, 7 und 8 im Buch technische Mathematik auf S. 77
S. 77 Aufgabe 2
S. 77 Aufgabe 7
A. Soi
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LAB1A/B
S. 77 Aufgabe 8
A. Soi
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LAB1A/B
Das Volumen:
Das Volumen V wird in der abgeleiteten Einheit m3 (Kubikmeter angegeben)
Das Volumen V berechnet sich somit als: V  l  l  l . Das Volumen berechnet sich somit als Produkt von drei
Längen. Weil A  l  l ist, lässt sich das Volumen auch als Produkt einer Fläche und einer Länge berechnen:
V  A l
Beispiel: l = 1m ; b = 1m ; h = 1m  V = 1m * 1m * 1m = 1m3
Aus der Einheit 1 m3 leiten sich weitere Volumeneinheiten ab:
1 m3
dm3
cm3
10-1 m = 1dm
1 m = 10 dm
1 m3 = (10 dm)3 = 1000 dm3 = 103 dm3
1 m3
10-2 m = 1cm
1 m = 100 cm
1 m2 = (100 cm)3 = 1000000 cm3 = 106 cm3
mm3
10-3 m = 1mm
1 m = 1000 mm
1 m2 = (1000 mm)3 = 1000000000 mm3= 109 mm3
In der Praxis wird als Volumeneinheit oftmals auch der Liter l verwendet:
1l
1ml
1μl
=
=
=
dm3
cm3
mm3
Ergänzen Sie die unterlegten Flächen.
Aufgabe:
Messen Sie mit einem Lineal die Höhe Ihres Mathematikbuches und berechnen Sie damit das Volumen des
Buches.
A. Soi
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Wichtige geometrische Körper
Würfel
Quader
Zylinder
Kugel
LAB1A/B
Berechnungsformeln für Flächenberechnungen von:
Volumen: V  l  l  l [m3]
Oberfläche: O  l  l [m2]
V= a*a*a
O=6*a*a
V= a*b*h
O=2*(a*b+a*h+b*h)
Zylinder
V= *r2*h
O=2*(*r2)+h*2**r
Kugel
V= (4/3) **r3
Körper
Würfel
Quader
A. Soi
08.09.2017
O= 4**r2
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LAB1A/B
Aufgabe:
3.7 l sind in den Einheiten m3, cm3 und dm3 anzugeben
1000 l = 1 m3 => 1 l = 10-3 m3 => 3.7 l = 3.7*10-3 m3.
103 cm3 = 1 l => 3.7 l = 3.7*103 cm3.
1 dm3 = 1 l => 3.7 l = 3.7 dm3.
Aufgabe:
Wie viel μl entsprechen 35.8 ml?
103 l = 1ml => 35.8 ml = 35.8*103 l =3.58*104 l
oder 35.8 ml *10(-3--6) l/ml = 35.8*103 l =3.58*104 l
Aufgabe:
Wie viel Liter fasst ein zylindrisches Gefäss mit einem Bodendurchmesser von 22.00 cm und einer
Gesamthöhe von 40.0cm?
V    r2  h    11.00 cm2  40.0 cm  15205 cm3 = 15.2*103 cm3 = 15.2 l.
Aufgabe:
Ein Kreis besitzt einen Durchmesser von 35.0cm. Welche Seitenlänge in km müsste ein Quadrat haben,
damit es dieselbe Fläche besitzt, wie der Kreis?
AKreis  AQuadrat
  17.5cm2  a2 =>   306.25cm2  a  31 cm => 31* 10-5 km=3.1* 10-4 km.
Aufgabe:
Welche Breite hat ein Quader mit der Länge l = 0.3 m und der Höhe h = 20cm, wenn er dasselbe Volumen
besitzt wie ein Zylinder mit der Höhe h = 35 cm und einem Bodendurchmesser von 12 cm?
VQuader  VZylinder
0.3m  0.2m  x    0.06 m2  0.35m
0.06 m2  x  0.00396 m3 
0.00396 m3
 0.066 m = 6.6 cm.
x=
0.06 m2
Lösen Sie die Aufgaben 6 S. 75, 5 und 8 S. 78 im Buch technische Mathematik.
A. Soi
08.09.2017
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LAB1A/B
S. 75 Aufgabe 6
S. 78 Aufgabe 5
S. 78 Aufgabe 8
A. Soi
08.09.2017
8
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0,133 l
12,5 m3
14'340 ml
LAB1A/B
ml? 0.133 L = 1.33 *10-1 L = 1.33 *10-1 *103 mL
= 1.33*102 mL = 133 mL. Oder; 0.133l*10(0--3) ml/l=133 mL.
l? 12.5 m3 = 12.5 *103 L = 12500 L
m3? 14340 mL = 14340 *10-3 L = 14.340 L
14.340 L = 14.340 *10-3 m3 = 0.01434 m3
Oder; ml = cm3 => 14340 cm3*(10(0--2) m/cm)3=14340*10-6 m3=
1.4340*104*10-6 m3=1.4340*10-2 m3
1233 dm3
l? 1233 L
124 cm3
l? 0.124 L weil 1000 cm3 = 1 L
0,0065 m3
0,0045 m3
ml? 0,0065 m3 = 6.5*10-3 m3 = 6.5*10-3*103 L = 6.5 L
6.5 L = 6.5*103 mL = 6500 mL
m3? 1'877'500 ml = 1'877'500 *10-3 L = 1'877.500 L
1'877.500 L = 1'877.500 *10-3 m3 = 1.8775 m3.
l? 4.5 L
18233 cm3
m3? = 18.233 L = 0.018233 m3
0,0006 l
544 l
μl? = 0.0006 L = 0.0006 *106 L = 6*10-4*106
600 L.
cm3? 544000 cm3 weil 1000 cm3 = 1 L.
12345 ml
l? 12.345 L weil 1000 mL = 1 L.
0,2 ml
l? 0.0002 L
0,00046 m3
ml? 0.46 L = 460 mL
12987 l
m3 ? 12.987 m3
3'566 μl
l ? = 3.566 mL = 0.003566 L weil 1000 L = 1 mL und 1000
mL = 1L.
1'877'500 ml
A. Soi
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LAB1A/B
Die Dichte
Die Physikalische Definition der Dichte  lautet:
Dichte =
Masse
m
; 
Volumen
V
Mit dieser physikalischen Definition ergibt sich die abgeleitet SI-Einheit der Dichte zu:
Kg
m3
Die Dichte ist eine sehr wichtige Grösse, denn sie erlaubt es ein Volumen in eine Masse umzurechnen und
umgekehrt.
Andererseits kann aus dem Zahlenwert der Dichte unmittelbar auf die Masse, des in der abgeleiteten SIEinheit enthaltene Volumen, geschlossen werden.
Beispiel 4
g
bedeutet, dass 1 cm3 des Stoffes einer Masse von 11.67 g entspricht.
cm3
Kg
b) Die Angabe   786.5 3 bedeutet, dass 786.5 Kg des Stoffes in ein Volumen von 1 m3 enthalten sind.
m
a) Die Angabe  11.67
Die Beschleunigung:
Die Beschleunigung a hat die Einheit
m
m
. Wenn wir uns nun vergegenwärtigen, dass
die Einheit der
2
s
s
Geschwindigkeit v ist, so folgt für die physikalische Definition der Beschleunigung:
Beschleunigung : a =
v
t
Die Beschleunigung errechnet sich somit als der Quotient von Geschwindigkeit (genauer der
Geschwindigkeitsänderung) und Zeit.
Besipiel 5:
Ein Auto erreicht aus dem Stand nach 11 s eine Endgeschwindigkeit von 28 m/s. Welche Beschleunigung hat
das Auto erfahren?
m
s  2.55 m
a=
11 s
s2
28
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Kraft
Wirkt auf einen Körper eine Kraft F (force), so macht sich dies in einer Verformung und/oder einer Änderung
der Geschwindigkeit des Körpers bemerkbar. Die physikalische Definition der Kraft lautet:
Kraft = Masse . Beschleunigung; F = m a
Aus der physikalischen Definition der Kraft ergibt sich die abgeleitete SI-Einheit: Kg
Man kürzt die Abgeleitete SI-Einheit Kg
m
.
s2
m
mit N (Newton) ab. Beachte jedoch, dass N nur eine Abkürzung
s2
ist und nicht als abgeleitete SI-Einheit angegeben werden sollte.
Beispiel 6:
Welche Kraft muss auf ein Auto der Masse m = 750 Kg wirken, um eine Beschleunigung
a = 2.5 m/s2 zu erreichen?
F = m*a = 750 Kg*2.5 m/s2=1875 Kg/(m s2)= 1875 N
Gewichtskraft.
Eine besondere Kraft stellt die Gewichtskraft dar. Die Gewichtskraft ist die Kraft, welche auf jeden Körper als
Folge der Erdanziehung (Gravitation) wirkt. Zu der Erdanziehungskraft gehört die Erdbeschleunigung
(Gravitationsbeschleunigung) g  9.81
m
.
s2
Beispiel 7:
Eine Person hat eine Körpermasse von 70 Kg. Berechnen Sie die Gewichtskraft der Person.
F = m*g = 70 Kg*9.81 m/s2=687 Kg/(m s2)= 687 N
Eine Waage misst die Gewichtskraft, zeigt aber in der Anzeige die Masse des gewogenen Körpers an.
Während die Masse eines Körpers unveränderlich ist, ändert sich die Gewichtskraft mit der
Gravitationsbeschleunigung.
Beispiel 8:
Die Gravitationsbeschleunigung auf dem Mond beträgt gMond ~ 1.7
m
.
s2
a) Berechnen Sie die Gewichtskraft die eine Person der Körpermasse m = 70 Kg auf dem Mond erfährt.
F = m*g = 70 Kg*1.7 m/s2=119 Kg/(m s2)= 119 N
b) Welche Masse kann auf der Anzeige, einer auf der Erde justierten Waage, abgelesen werden?
m
s2  12.13 Kg.
=> m =
m
9.81 2
s
119 Kg
119 N = m*9.81 m/s2
A. Soi
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LAB1A/B
Druck
Die Physikalische Definition des Druckes P lautet:
Druck =
Kraft
F
; P
A
Fläche
Mit dieser physikalischen Definition ergibt sich die abgeleitet SI-Einheit des Druckes zu
m
Kg  2
N
s  Kg . Die abgeleitete SI-Einheit Kg für den Druck wird als Pa (Pascal) abgekürzt.

2
2
m  s2
m
m
m  s2
Energie und Arbeit
Arbeit:
Wirkt eine Kraft F über Den Weg s auf einen Körper, so verrichtet diese Kraft die Arbeit W an den Körper.
Die Verrichtete Arbeit ist dann in dem Körper als Energie gespeichert.
Arbeit  Kraft  Weg;
W  F s
Aus dieser Definition folgt für die abgeleitete Einheit der Arbeit bzw. der Energie:
N  m  kg 
m
m2
m2
.
Die
abgeleitete
SI-Einheit
der Energie bzw. Arbeit wird als Joule

m

kg

kg

s2
s2
s2
bezeichnet und mit j abgekürzt.
Es gilt der Energieerhaltungssatz:
Energie kann nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden. Sie wird weder aus dem nichts
erzeugt noch kann sie vernichtet werden.
Beispiel 10:
Ein Körper der Masse m = 1.5 kg fällt eine Strecke s = 2.5 m herab.
a) Welche Arbeit leistet die Gewichtskraft an den Körper?
E= m*g*s= 1.5Kg  9.81
m
Kg  m2
36.8

2
.
5
m

 36.8 J
s2
s2
b) Welche Energie war in dem Körper gespeichert?
36.8 J
A. Soi
08.09.2017
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LAB1A/B
Zusammenfassung einiger abgeleiteter Grössen :
Grösse
Fläche
Volumen
Dichte
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kraft
Symbol
A
V

v
a
F
P
Druck
Arbeit / Energie
E
Abgeleitete SI-Einheit
m2
m3
Kg
m3
m
s
m
s2
m
Kg  2
s
m
Kg  2
s  N  Pa
2
m
m2
m
Kg  2  m  N  m  J
s
Lösen Sie die Aufgabe 5 S. 75 im Buch technische Mathematik.
A. Soi
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