¨Ubungen zur Einführung in die Topologie Mathematisches Institut

Übungen zur Einführung in die Topologie
Blatt 5
Abgabe bis zum 18.11.2014, 14 Uhr
Mathematisches Institut
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Dr. Thorsten Weist
Aufgabe 1
Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass folgenstetige Abbildungen zwischen
topologischen Räumen im Allgemeinen nicht stetig sind.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die folgenden Definitionen homöomorphe Räume (die reelle projektive
Ebene) ergeben:
a) Der Quotient der Gruppenoperation R∗ : R3 \{0} gegeben durch λ ∗ (x0 , x1 , x2 ) :=
(λx0 , λx1 , λx2 ).
b) Der Quotient von [0, 1]2 bzgl. der Äquivalenzrelation erzeugt von (0, t) ∼ (1, 1 − t)
und (t, 0) ∼ (1 − t, 1) für alle t ∈ I.
c) Der Quotient von D2 = {x ∈ R2 | ||x|| ≤ 1} bzgl. der Äquivalenzrelation erzeugt
von z ∼ −z für alle z ∈ S 1 ⊂ D2 .
Aufgabe 3
a) Zeigen Sie, dass der auf Blatt 4, Aufgabe 2, definierte topologische Raum, nicht
dem Ersten Abzählbarkeitsaxiom genügt.
b) Betrachten Sie R mit der Sorgenfrey-Topologie, d.h. die Topologie erzeugt von der
Basis gegeben durch die halboffenen Intervalle [a, b). Zeigen Sie, dass der so definierte topologische Raum nicht dem Zweiten, aber dem Ersten Abzählbarkeitsaxiom
genügt.
Aufgabe 4
Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und A ⊂ X eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass die
Zusammenschlagung X/A genau dann ein Hausdorff-Raum ist, wenn A abgeschlossen ist.