Ubungsblatt 2

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Stochastik
Übungsblatt 2
Satz 1 (Satz von Vitali, 1905). Sei Ω = {0, 1}N der Ergebnisraum des unendlich
oft wiederholten Münzwurfes und P(Ω) die Potenzmenge über Ω. Dann gibt es keine
Abbildung P : P(Ω) → [0, 1] mit den Eigenschaften
(N) Normierung: P(Ω) = 1.
(A) σ-Additivität: Sind A1 , A2 , . . . ⊂ Ω paarweise disjunkt, so gilt
X
P(∪i∈N Ai ) =
P(Ai ).
i∈N
(I) Invarianz: Für alle A ⊂ Ω und n ≥ 1 gilt P(Tn A) = P(A). Dabei ist
Tn : Ω → Ω,
ω = (ω1 , ω2 , . . .) 7→ (ω1 , . . . , ωn−1 , 1 − ωn , ωn+1 , . . .)
die Abbildung von Ω auf sich, welche das Ergebnis des n-ten Wurfes umdreht, und
Tn A = {Tn (ω) : ω ∈ A} das Bild von A unter Tn . (Dies drückt die Fairness der
Münze und die Unabhängigkeit der Würfe aus.)
Aufgabe 1. Beweisen Sie Satz 1.
Aufgabe 2 (Formel von Poincaré-Sylvester). Zeigen Sie: Für Ereignisse A1 , A2 , . . . , An
in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gilt
!
!
n
n
[
X
X
P
(−1)k+1
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) .
Ai =
i=1
k=1
1≤i1 <···<ik ≤n
Aufgabe 3. Martin und Fabian vereinbaren ein faires Spiel über 7 Runden. Jeder zahlt
5 Euro als Einsatz, und der Gewinner erhält die gesamten 10 Euro. Beim Stand von
2 : 3 für Fabian muss das Spiel abgebrochen werden. Martin schlägt vor, den Gewinn
in diesem Verhältnis zu teilen. Soll Fabian sich darauf einlassen? Stellen Sie dazu ein
geeignetes Modell auf und berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Fabian!
Aufgabe 4 (Geburtstagsparadoxon). Sei pn die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse
von n Kindern wenigstens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Vereinfachend sei dabei
angenommen, dass kein Kind am 29. Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage
gleich wahrscheinlich sind. Zeigen Sie (unter Verwendung der Ungleichung 1 − x ≤ e−x )
pn ≥ 1 − e−n(n−1)/730 ,
und bestimmen ein möglichst kleines n mit pn ≥ 1/2.