3.3 Differenzialgleichungen mit periodischen Koeffizienten

Inhaltsverzeichnis
1 Differentialgleichungen erster Ordnung
1.1 Allgemeine Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . .
1.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lösungsmethoden für spezielle Typen von Dgln.
1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Die Bernoullische Dgl . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Die Riccatische Dgl. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen .
1.3.4 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . .
2 Existenz und Eindeutigkeit
2.1 Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Räume stetiger Funktionen . . . . . . . . .
2.3 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen .
2.4 Parameterabhängigkeit . . . . . . . . . . .
2.5 Differentialgleichungen höherer Ordnung .
2.6 Potenzreihenansatz . . . . . . . . . . . . .
2.7 Schwache Singularität . . . . . . . . . . .
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3 Lineare Differentialgleichungen
3.1 Systeme linearer Differentialgleichungen
erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dgls höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Spezielle Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Der Fall konstanter Koeffizienten . . . . . . . . .
3.2.3 Partikuläre Lösungen bei speziellen Störgliedern F
3.3 Differenzialgleichungen mit periodischen
Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Gleichgewichte
4.1 Der Fluss einer Differentialgleichung
5
. . . . . . . . . . . . . . 5
. . . . . . . . . . . . . . 11
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13
13
15
18
24
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29
29
31
35
44
49
50
60
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77
77
80
86
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95
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3
4
INHALTSVERZEICHNIS
4.2 Der Fluss einer autonomen Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3 Ljapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
66
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 3
Lineare Differentialgleichungen
3.1
Systeme linearer Differentialgleichungen
erster Ordnung
Im Folgenden sei immer IK der Körper der reellen oder komplexen Zahlen und I ⊂ IR ein
Intervall, t0 ∈ I fest.
Wir beherrschen bereits den Fall der Dgln vom Typ
u0 = a u + b,
mit stetigen Funktion a, b : I −→ IK
Wir streben jetzt an, die bei dieser Dgl erfolgreiche Lösungsmethode zu verallgemeinern, so
dass wir auch ein System
u0 = A · u + B
(3.1.1)
mit einer n×n-Koeffizientenmatrix A über IK und einer vektorwertigen Funktion B : I −→ IK n
behandeln können.
Es zeigt sich, dass wir Lösungen explizit angeben können, wenn die Matrix A konstante
Koeffizienten hat.
Zuvor wollen wir allgemeine Untersuchungen zu Strukturfragen anstellen.
3.1.1 Satz. Sei I ⊂ IR irgendein Intervall und t0 ∈ I. Gegeben sei eine matrixwertige stetige
Funktion A : I −→ M (n × n, IR). Dann hat für jedes u0 ∈ IRn das AWP
ẏ = A (t) · y,
genau eine Lösung. Diese ist auf ganz I definiert.
67
y(t0 ) = u0
68
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Beweis. Existenz: Wir definieren eine Folge von (vektorwertigen) Funktionen, nämlich
Z t
u1 (t) := u0 +
A (s)u0 ds
t0
Z
t
uk+1 (t) := u0 +
A (s)uk (s)ds
t0
für k ≥ 1. Dann kann man die Konvergenz dieser Folge auf jedem kompakten Teilintervall J ⊂ I
mit t0 ∈ J zeigen.
Ist nämlich M := supτ ∈J kA (τ )k, so gilt
kuk+1 (t) − uk (t)k ≤
M k+1
ku0 k|t − t0 |k+1
(k + 1)!
Das folgt etwa durch Induktion nach k. Dann schätzen wir für k > ` ab:
kuj (t) − u` (t)k ≤
j−1
X
kuk+1 (t) − uk (t)k
k=`
j−1
j−1
X M k+1
X
M k+1 k+1
k+1
ku0 k|t − t0 |
R
≤
≤ ku0 k
(k + 1)!
(k + 1)!
k=`
k=`
wobei R die Länge von J sein soll. Durch Supremumsbildung über alle t ∈ J folgt, dass
j−1
X
M k+1 k+1
sup kuj (t) − u` (t)k ≤ ku0 k
R
(k
+
1)!
t∈J
k=`
Das Cauchykriterium für die gleichmäßige Konvergenz sagt jetzt, dass die Folge der (uk )k gleichmäßig
auf J gegen eine Lösung u des gegebenen Anfangswertproblems strebt, denn es ist
Z t
u(t) = u0 +
A (s) · u(s)ds,
t0
also u 0 (t) = A (t)u(t), wie durch Differentiation folgt.
Eindeutigkeit: Sind u und v zwei Lösungen auf I zum Anfangswertproblem, so gilt für ihre
Differenz w := v − u
ẇ = A (t)w,
w(t0 ) = 0
Ist dann J ein t0 enthaltendes Teilintervall von I und δ < 1/M , dann wird für alle t0 < t < t0 + δ
Z t
kw(t)k = k
A (s)w(s)dsk ≤ M δ sup kw(s)k
t0
t0 ≤s≤t0 +δ
3.1. SYSTEME LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ERSTER ORDNUNG
69
also auch
sup
t0 ≤s≤t0 +δ
kw(s)k ≤ M δ
sup
t0 ≤s≤t0 +δ
kw(s)k
was bedeutet, dass supt0 ≤s≤t0 +δ kw(s)k = 0. In entsprechender Weise zeigt man, dass
sup
t0 +δ≤s≤t0 +2δ
kw(s)k = 0,
und so fort, also erhalten wir, dass w(t) = 0, wenn t ∈ J und t ≥ t0 . Ebenso zeigt man, dass
w(t) = 0, wenn t ∈ J und t ≤ t0 .
Nun ziehen wir wichtige Folgerungen aus diesem Satz:
3.1.2 Folgerung. Gegeben sei das Anfangswertproblem aus dem vorherigen Satz. Eine Lösung
u der DGL y 0 = A · y dazu hat keine Nullstelle, oder sie ist identisch Null.
Beweis. Ist t0 ∈ I und u(t0 ) = 0 so sind u und u
e = 0 Lösungen zum selben AWP, nämlich
y = A · y, y(t0 ) = 0. Dann ist aber u = 0 wegen der Eindeutigkeitsaussage von Satz 3.1.1.
0
3.1.3 Satz. Gegeben sei das Anfangswertproblem aus dem vorherigen Satz.
(1) Die Menge LA aller Lösungen des DGL-Sysytems y 0 = A · y bildet einen Vektorraum
über IK.
(2) Sind u0,1 , ..., u0,r linear unabhängige Vektoren in IK n , so sind die Werte der Lösungen u(j) ,
1 ≤ j ≤ r zum AWP y 0 = A · y, y(t0 ) = u0,j an jeder Stelle t∗ ∈ J linear unabhängig.
(3) Ist u0,1 , ..., u0,n eine Basis des IK n und u0 ∈ IK n ein weiterer Vektor mit der Darstellung
u0 =
n
X
αj u0,j
j=1
dann ist die Lösung u zum AWP: y 0 = A · y, y(t0 ) = u0 gegeben durch
u=
n
X
αj u(j) .
j=1
Insbesondere sind u(1) , ..., u(n) eine Basis zu LA . Der Vektorraum LA hat die Dimension n.
Beweis. (1) Trivial.
(2) Angenommen, es gebe Zahlen α1 , ..., αr ∈ IK, die nicht alle verwschwinden, für die aber
trotzdem α1 u(1) (t∗ ) + ... + αr u(r) (t∗ ) = 0 ist. Dann hätten wir mit u = α1 u(1) + ... + αr u(r) eine
Lösung der DGL y 0 = A · y gefunden, welche bei t∗ eine Nullstelle hat. Nach obiger Folgerung
aus Satz 3.1.1 muss nun u = 0 sein. Aber dann ist auch α1 u0,1 + ... + αr u0,r = u(t0 ) = 0, im
Widerspruch zur Wahl von u0,1 , ..., u0,r .
70
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Pn
0
(3) Sowohl u als auch
j=1 αj u(j) lösen das AWP y = A · y, y(t0 ) = u0 , müssen also
übereinstimmen. Das beweist, dass u(1) , ..., u(n) den Raum LA erzeugen. Aus Teil (2) mit r = n
folgt ihre lineare Unabhängigkeit.
Definition. Sei A : I −→ M (n × n, IK) wie bisher. Wir bezeichnen jede Basis u1 , ..., un von
LA als ein Fundamentalsystem von Lösungen zur Dgl y 0 = A · y. Fassen wir die Spaltenvektoren
u1 , ..., un zu einer Matrix zusammen, so entsteht eine Matrix, deren Einträge differenzierbare
Funktionen sind, und die in jedem t ∈ I invertierbar ist. Man bezeichnet sie als Wronskimatrix
W und ihre Determinante als Wronskideterminante.
3.1.4 Lemma. a) Jede Wronskimatrix W löst die Dgl. W
Element von LA .
b) Für ihre Determinante gilt die Dgl.
0
= A · W . Jede Spalte von W ist
d det W
= Spur(A ) det W
dt
c) Sind W1 und W2 Wronskimatrizen, so gilt W2 = W1 B mit einer invertierbaren Matrix mit
konstanten Koeffizienten.
d) W (t) sei eine Wronskimatrix. Ist t0 ∈ I und y0 ∈ IRn , so löst der Vektor W (t) · W (t0 )−1 · y0
das Anfangswertproblem
y 0 = A (t)y, y(t0 ) = y0
Beweis. a) Die erste Behauptung folgt aus der Definition von W .
b) Die Multilinearität der Determinante und die Produktregel für die Differentiation liefern
uns
d det W
dt
=
n
X
det W · e1 , W · e2 , ..., W˙ · ej , ., W · en
j=1
= det (W · e1 , W · e2 , ..., A W · ej , ., W · en )
= Spur(A ) det(W )
c) Sei t0 ∈ I beliebig. Wir setzen B = W1 (t0 )−1 · W2 (t0 ). Dann ist
d
(W1 B) = A (W1 B)
dt
und W1 ·B(t0 ) = W2 (t0 ). Der Eindeutigkeitssatz für die Lösungen linearer Dgl-systeme sagt dann,
dass überhaupt W2 = W1 B sein muss.
d) Klar.
3.1. SYSTEME LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ERSTER ORDNUNG
71
Anfangswertprobleme für lineare Differentialgleichungssysteme
Nun können wir wieder zu AWPs für Dgln zurückkehren:
3.1.5 Satz Sind A : I −→ M (n, IK) und B : I −→ IK n stetige Abbildungen und ist W :
I −→ M (n, IK) eine Wronskimatrix, dann lässt sich die Lösung u des AWP
u0 = A · u + B,
darstellen in der Form
u(t0 ) = u0
−1
Z
u(t) = W (t) W (t0 ) u0 +
t
W (s)
−1
B(s)ds
t0
Beweis. Ist W : I −→ M (n, IK) eine Wronskimatrix und setzen wir
Z t
−1
−1
u(t) = W (t) W (t0 ) u0 +
W (s) B(s)ds
t0
so errechnen wir leicht mit der Produktregel:
Z t
0
0
−1
−1
u (t) = W (t) · W (t0 ) u0 +
W (s) B(s)ds + B(t) = A (t)u(t) + B(t)
t0
Der Fall der konstanten Koeffizientenmatrix
Wir können für den Fall, dass A konstante Koeffizienten hat, eine Wronskimatrix mit Mitteln
der Linearen Algebra bestimmen. Dazu dient uns als Hilfsmittel:
Die Exponentialfunktion für Matrizen
Mit M (n, IK) bezeichnen wir den IK-Vektorraum der n × n-Matrizen über IK. Zu jeder
Matrix A ∈ M (n, IK) können wir die neue Matrix eA bilden. Grundlage hierfür ist
3.1.6 Lemma a) Für eine Matrix A = (ajk )nj,k=1 ∈ M (n, IK) ist durch
kA k =
n
X
!1/2
|ajk |2
j,k=1
eine Norm erklärt. Es ist kA Bk ≤ kA kkBk für A , B ∈ M (n, IK).
72
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
b) Ist A ∈ M (n, IK), so konvergiert die Reihe
eA :=
∞
X
1 m
A
m!
m=0
innerhalb M (n, IK) gegen eine Matrix aus M (n, IK). Es gilt: e−A eA = En , wobei En die n × nEinheitsmatrix bedeutet.
c) Wenn die Matrizen A und B miteinander vertauschen, so gilt eA +B = eA · eB . Weiter
−1
haben wir für eine invertierbare Matrix S die Beziehung: eS A S = S −1 eA S .
d) Hat A Kästchengestalt:


A1 0
0 ...
0
0
 0 A2 0 . . .
0
0 


 0 0 A3 . . .

0
0


A =  ..
..
.. 
..
..
 .
.
.
. 
. ...


 0 0 . . . . . . Ar−1 0 
0 0 ... ...
0
Ar
so gilt dies auch entsprechend für eA :

eA1 0
 0 eA2

 0
0

eA =  ..
..
 .
.

 0
0
0
0
0 ...
0 ...
eA3 . . .
...
...
...
...
...
...
0
0
0
..
.
eAr−1
0
0
0
0
..
.








0 
eAr
Beweis. a) Folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
P
1
m
b) Offenbar konvergiert die Reihe ∞
jedes j, k ∈ {1, ..., n} zusamm=0 m! kA k . Es folgt für
P∞
1
m
m
m
men mit |(A )jk | ≤ kA k ≤ kA k die Konvergenz der Reihe m=0 m!
(A m )jk . Damit ist eA
wohldefiniert.
c) Wenn A und B miteinander vertauschen, gilt
m X
m
(A + B) =
A l B m−l
l
m
l=0
und damit
∞
∞ X
m
X
X
1
1 l
1
m
(A + B) =
A
B m−l =
m!
l!
(m
−
l)!
m=0
m=0 l=0
∞
X
1 m
A
m!
m=0
!
∞
X
1 m
B
m!
m=0
!
= eA eB
3.1. SYSTEME LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ERSTER ORDNUNG
73
−1
Die Verifikation der Identität eS A S = S −1 eA S ist leicht.
d) Folgt durch einfachen Matrixkalkül.
Für matrixwertige differenzierbare Funktionen A , B : I −→ M (n, IK) gilt die Produktregel
(A · B)0 = A 0 · B + A · B 0
Daraus folgt: Vertauscht B mit B 0 , so gilt wieder (B m )0 = mB m−1 · B 0 . Insbesondere bedeutet
dies für die Matrix-Exponentialfunktion:
0
eB = B 0 · eB = eB · B 0
Dies ist der Fall, wenn B(t) = A · (t − t0 ) und A konstante Koeffizienten hat.
Wir nehmen nun an, es sei IK = C.
Wir wollen jetzt die qualitative Gestalt von eA ·t berechnen. Dazu arbeiten wir mit der Jordanschen Normalform von A . Sind λ1 , ..., λr die paarweise verschiedenen Eigenwerte von A , jeweils
mit Vielfachheit kj , so gibt es eine invertierbare Matrix S ∈ M (n, C), so dass


A1 0
0 ...
0
0
 0 A2 0 . . .
0
0 



 0
0
A
.
.
.
0
0
3


−1
S · A · S =  ..
..
.. 
..
...
 .
.
. 
. ...


 0
0 . . . . . . Ar−1 0 
0
0 ... ...
0
Ar
wobei die A1 , ..., Ar Kästchen vom Format kj × kj und von der Form sind


λj ∗ 0 . . . 0 0
 0 λj ∗ . . . 0 0 


 0 0 λj . . . 0 0 


= λj Ekj + Nkj ∈ M (kj , C)
Aj =  .. ..
.
.
. . ∗ .. 

 . . ...


 0 0 . . . . . . λj 1 
0 0 . . . . . . 0 λj
In der ersten Nebendiagonalen steht 0 oder 1. Die Matrix Nkj ist nilpotent, und weiter gilt
Aj t
e
λj t Nkj t
=e
e
λj t
=e
kj −1 l
X
l=0
t
Nl
l! kj
74
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Die Spalten j um (t) von eAj t sind damit von der Form

(j)
P0,m (t)

(j)
 P1,m
(t)
λj t 
j um (t) = e
.

..

(j)






Pkj −1,m (t)
(j)
wobei die Ps,m (t) Polynome vom Grade ≤ kj − 1, für s = 0, ...., kj − 1 sind. Dies liefert uns ein
Fundamentalsystem für die Dgl u0 = A u.
Wir behandeln nun
Beispiele: 1) Das Dgl-System
u01
u02
u03
u04
=
=
=
=
oder auch u0 = A · u mit Koeffizientenmatrix

0
 1
A =
 0
0
−8u4
u1 + 16u4
u2 − 14u4
u3 + 6u4
0
0
1
0

0 −8
0 16 

0 −14 
1 6
Das charakteristische Polynom von A ist
f (x) = x4 − 6x3 + 14x2 − 16x + 8 = (x − 2)2 (x2 − 2x + 2)
Die Eigenwerte sind λ1 = 1 + i und λ2 = 1 − i mit jeweils Vielfachheit 1, sowie λ3 = 2 mit
Vielfachheit 2. Die Eigenräume Ei zu den Eigenwerten λi sind






−4 + 4i
−4 − 4i
−4
 8 − 4i 
 8 + 4i 
 6 





E1 = C 
 −5 + i , E2 = C  −5 − i  , E3 = C  −4 
1
1
1
|
| {z }
{z
}
=:v1
=:v3
Damit ist A selbst nicht diagonalisierbar. Zur Herstellung der Jordanschen Normalform von A
beachten wir:


4
0 −8 −16
 −4 4
16
24 

(A − 2E4 )2 = 
 1 −4 −10 −12 
0
1
2
2
3.1. SYSTEME LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ERSTER ORDNUNG
75

2
 −2 

und der Vektor v4 := 
 1  ist im Nullraum dieser Matrix enthalten. Nun wählen wir
0

S = (v1 , v1 , v3 , v4 ).
Dann ist S invertierbar und es gilt
v3 = (A − 2E4 )v4 = A v4 − 2v4 ,
also A v4 = v3 + 2v4 . Damit sehen wir
A S = (A v1 , A v1 , A v3 , v3 + 2v4 ) = ((1 + i)v1 , (1 − i) v1 , 2v3 , v3 + 2v4 )
und folglich

1+i
0

0
1−i
S −1 A S = A J := 
 0
0
0
0
Es folgt weiter:
0
0
2
0

0
0 

1 
2

0
0
0
e(1+i)t
 0
0 
e(1−i)t 0

=
 0
0
e2t te2t 
0
0
0 e2t

eA
Die Spalten von
J ·t

0
0
0
e(1+i)t
 0
0 
e(1−i)t 0
 · S −1
=S ·
 0
0
e2t te2t 
0
0
0 e2t

eA t
bilden ein Fundamentalsystem zur gegebenen Dgl.
Dies alles lässt sich explizit berechnen, da wir S und S −1 kennen. Es gilt ja



4(−1 + i) −4(1 + i) −4 2
1/4 (1 + i)/4 i/2 (−1 + i)/2

 4(2 − i)

4(2 + i)
6 −2 
1/4 (1 − i)/4 i/2 −(1 + i)/2
und S −1 = 
S =
 −5 + i
 −1/2
−5 − i −4 1 
−1/2
0
2
1
1
1
0
1/2
1
2
4
0
2) Das Dgl-System u = A · u, wobei A =
0
1
−b −2a
, mit konstanten a, b.
i) Angenommen, es sei a2 6= b. Wir wählen eine Zahl k ∈ C mit k 2 = a2 − b.




76
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Die Matrix hat die Eigenwerte λ+ = −a + k, λ− = −a − k und wird durch
1
1
S =
−a + k −a − k
in Diagonalform überführt, also
S
−1
AS =
λ+ 0
0 λ−
Damit folgt aber
Aτ
e
eλ+ τ
0
= S
S −1
0 eλ− τ
kτ
1 −aτ
0
1
1
e
a+k 1
e
=
0 e−kτ
−a + k −a − k
k − a −1
2k
 a

1
sinh(kτ
)
+
cosh(kτ
)
sinh(kτ
)
k
k

= e−aτ 
b
a
sinh(kτ )
cosh(kτ ) − k sinh(kτ )
k
1
ii) Wenn nun a2 = b, so hat A den Eigenwert −a mit der Vielfachheit 2. Der Vektor −a
1 0
ist Eigenvektor zum Eigenwert −a Die Matrix T =
bringt A in die Jordansche
−a 1
1
Normalform, denn (A + aE2 ) 01 = −a
− a 01 . Es folgt nun
Aτ
e
=
=
=
=
−aτ
τ
T exp
T −1
0
−aτ
0 1
−aτ
e T E2 + τ
T −1
0 0
0 1
−aτ
e (E2 + τ T
T −1 )
0 0
1 + aτ
τ
−aτ
e
−a2 τ 1 − aτ
3.2. DGLS HÖHERER ORDNUNG
3.2
3.2.1
77
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Spezielle Methoden
(1) Ansatz nach D’Alembert
Eine lineare DG der Ordnung n kann manchmal auf eine DGL der Ordnung n − 1 reduziert
werden:
3.2.1.1 Lemma. Angenommen, a0 , ..., an−1 : I −→ C seien stetige Funktionen und die Funktion u : I −→ C \ {0} löse die DGL
(n)
(∗)
u1 +
n−1
X
(`)
a` (t)u1 = 0
`=0
Ist dann u := u1 v mit einer n-mal differenzierbaren Funktion v, und soll u die DGL (*) lösen, so
muss w := v 0 eine DGL der Form
w(n−1) +
(∗∗)
n−2
X
bk (t)w(k) = 0
k=0
lösen.
Ist w2 , ..., wn ein Fundamentalsystem von Basislösungen zu (**) und sind v2 , .., vn Stammfunktionen zu w2 , ..., wn , so bilden u1 , u1 v1 , ..., u1 vn ein Fundamentalsystem zu (*).
Beweis. Wir schreiben mit der Leibnizregel
u
(`)
X̀ ` (λ)
=
u1 v (`−λ)
λ
λ=0
und setzen es in (*) ein:
u(n) +
(n)
u1
|
+
!
n−1
X
(`)
a` (t)u1
{z
v+
}
`=0
=0
n−1 X
λ=0
n−1
X
a` (t)u(`) =
`=0
n
λ
(λ)
u1 v (n−λ)
n−1 X
`−1 X
`
(λ)
+
a` (t)u1 v (`−λ)
λ
`=1 λ=0
n−1 n−1 X
`−1 X
X
n
`
(λ) (n−λ)
(λ)
=
+
u1 v
a` (t)u1 v (`−λ)
λ
λ
λ=0
`=1 λ=0
78
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
n−1 n−1 X
`−1 X
X
n
`
(λ) (n−λ−1)
(λ)
=
+
u1 w
a` (t)u1 w(`−λ−1)
λ
λ
λ=0
=
n−1 X
ν=0
=
n−1 X
ν=0
`=1 λ=0
n
ν+1
= u1 w(n−1) +
n
ν+1
(n−ν−1) (ν)
w
u1
n−1 X
`−1 X
`
(λ)
+
a` (t)u1 w(`−λ−1)
λ
`=1 λ=0
(n−ν−1) (ν)
w
u1
+
n−2 X
n−1 X
ν=0 `=ν+1
n−2
X
ν=0
n
ν+1
(n−ν−1)
u1
+
`
ν+1
n−1 X
`=ν+1
= u1
w(n−1) +
n−2
X
`
ν+1
(`−ν−1)
a` (t)u1
w(ν)
!
(`−ν−1)
a` (t)u1
w(ν)
!
b` w(`)
`=0
mit gewissen stetigen expliziten Funktionen b0 , ..., bn−2 . Dabei benutzen wir, dass u1 keine Nullstelle haben sollte.
Wir müssen nur noch zeigen, dass u1 , u1 v1 , ..., u1 vn linear unabhängig sind. Angenommen,
α1 u1 + α2 u1 v1 + ... + αn u1 vn = 0
für irgendwelche α1 , ..., αn ∈ C. Dann muss schon
α1 + α2 v1 + ... + αn vn = 0
sein, da u1 keine Nullstelle hat. Differenzieren liefert uns aber:
α2 w1 + ... + αn wn = 0
woraus leicht α2 = ..., = αn = 0 folgt. Dann muss auch α1 = 0 sein.
Beispiel: Die DGL (1 − t )u + 2tu − 2u = 0. Durch Raten finden die Lösung u1 (t) = t. Sei
I = (0, 1). Der Ansatz u(t) = tv(t) führt auf
2
00
0
(1 − t2 )(tv 00 + 2v 0 ) + 2t(tv 0 + v) − 2tv(t) = (1 − t2 )tv 00 + 2v 0 = 0
Damit ist w := v 0 Lösung zu
w0 +
Nun ist aber
2
w=0
t(1 − t2 )
2
d
1
=
log(1 − 2 ),
2
t(1 − t )
dt
t
3.2. DGLS HÖHERER ORDNUNG
79
also
1
)
t2
eine Lösung (C ist dabei beliebig. Dann wird aber v(t) = C(t + 1t ) + C1 mit einer Konstanten
C1 , und schließlich
u(t) = C(t2 + 1) + C1 t
w(t) = C(1 −
Die Funktionen u1 und u bilden dann eine Basis des Lösungsraumes zur DGL.
(2) Eulersche Differenzialgleichung
Seien a0 , ..., an Konstanten. Als Eulersche DGL bezeichnen wir die DGL
an tn y (n) + an−1 tn−1 y (n−1) + ... + a1 ty 0 + a0 y = f (t)
(E)
mit einer stetigen Funktion f : I −→ C auf einem Intervall I ⊂ (0, ∞). Durch den Ansatz
u(s) := y(es ) kann diese DGL in eine neue überführt werden, deren Koeffizienten dann konstant
sind. Es gilt nämlich u0 (s) = es dy
(es ), also
dt
u00 (s) = e2s
also
e2s
2
d2 y s
s dy s
2s d y s
(e
(e
)
+
e
)
=
e
(e ) + u0 (s) ,
dt2
dt
dt2
d2 y s
d d
(e ) = u00 (s) − u0 (s) = ( − 1)u(s)
2
dt
ds ds
Weiter haben wir
u000 (s) = e3s
bzw.:
2
3
d3 y s
2s d y s
00
3s d y s
(e
)
+
2e
(e
)
+
u
(s)
=
e
(e ) + 3u00 (s) − 2u0 (s)
dt3
dt2
dt3
d3 y
e3s 3 (es )
dt
000
00
0
= u (s) − 3u (s) + 2u (s) =
d
−2
ds
d
−1
ds
d
u(s)
ds
Mit einem Induktionsargument erhalten wir aus
k
k−1
k−1
y s
y s
d
ks d y s
(k−1)s d
(k−1)s d
e
(e
)
=
(e
)
−
(k
−
1)e
(e )
e
k
k−1
k−1
dt
ds
dt
dt
k−1
d
y s
(k−1)s d
=
−k+1
e
(e )
ds
dtk−1
dann
dk y
eks k (es )
dt
=
d
−k+1
ds
d
d
d
− k + 2 ...
−1
u(s)
ds
ds
ds
80
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Aus (E) wird jetzt (mit der Substitution t = es ):
(E 0 )
n
X
k=0
ak
d
−k+1
ds
d
d
d
− k + 2 ...
−1
u(s) = f (es )
ds
ds
ds
Der zu k = 0 gerhörende Term ist dabei a0 u. Das ist aber eine DGL mit konstanten Koeffizienten!
Umgekehrt gilt: Ist u eine Lösung zu (E’) auf dem Intervall J ⊂ (1, ∞), so liefert uns y(t) :=
u(log t) eine Lösung zu (E) auf I := log(J).
Beispiel. Eine dünne kreisförmige Platte habe eine isolierte Oberfläche, so dass durch sie kein
Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden kann. An ihrem Rande werde eine Temperaturverteilung g(reiϕ ) aufrecht erhalten. Dann stellt sich nach einiger Zeit im Inneren der Platte
eine Temperaturverteilung ϑ ein, welche die Laplacegleichung ∆ϑ = 0 erfüllt. Schreibt man ϑ in
Polarkoordinaten, also ϑ = u(r, ϕ), so nimmt die Laplacegleichung die Gestalt
∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂2u
+
=0
+
∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2
an. Dann wird der Separationsansatz gemacht u(r, ϕ) := v(r)w(ϕ). Es muss dann eine Konstante
λ geben, so dass
r2 v(r) + rv 0 (r) − λv = 0,
ẅ + λw = 0
gilt. Dabei bedeutet 0 die Ableitung nach r und ˙ die Ableitung nach ϕ. Die DGL für v ist von
Typ (E).
Die zugehörige Gleichung (E’) lautet dann
(
d
dv1 dv1
d2 v1
− 1)
+
− λv1 =
− λv1 = 0
ds
ds
ds
ds2
√
Angenommen nun, es sei λ > 0. Dann ist v1 (s) = c1 e λs + c2 e−
Für v ergibt sich dann
√
√
v(r) = v1 (log r) = c1 r λ + c2 r− λ
3.2.2
√
λs
ihre allgemeine Lösung.
Der Fall konstanter Koeffizienten
Sei wieder I ein Intervall und t0 ∈ I. Gegeben sei ein AWP zu einer Dgl der Ordnung n
u(n) + an−1 u(n−1) + · · · + a1 u0 + a0 u = F (t), u(j) (t0 ) := uj0 , 0 ≤ j ≤ n − 1
(3.2.2)
mit konstanten Koeffizienten a0 , ..., an−1 ∈ C und einer stetigen Funktion F : I −→ C.
3.2. DGLS HÖHERER ORDNUNG
81
Wir ordnen diesem das AWP zu einem Dgl-System zu:



0


 .. 
v = A · v +  .  , v(t0 ) = 

F
u00
u10
..
.
0
Dabei ist





A =



0
0
0
..
.
1
0
0
..
.
0
0
−a0 −a1
0
1
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...




un−1
0
0
0
0
1
0
...

0
0
0
..
.
1
−an−1









Es gibt dann eindeutig eine Lösung v zu diesem AWP auf I und u = v1 löst das AWP (3.2.2).
Wir erhalten alle Lösungen, wenn zur inhomogenen Dgl
u(n) + an−1 u(n−1) + · · · + a1 u0 + a0 u = F
indem wir alle Lösungen der homogenen Dgl
u(n) + an−1 u(n−1) + · · · + a1 u0 + a0 u = 0
und eine partikuläre Lösung up addieren.
Wir ordnen der obigen Dgl das charakteristische Polynom
P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0
zu und schreiben die Dgl um in
P (D)(u) = F
wobei D :=
d
dt
und P (D) der Differentialoperator
P (D) = (
d n
d
d
) + an−1 ( )n−1 + · · · + a1 + a0
dt
dt
dt
wird.
Die Lösungen der homogenen Dgl bilden einen Vektorraum VP der Dimension n über C.
Wir suchen nach einem einfach gebauten Fundamentalsystem zur homogenen Dgl, also einer
geeigneten Basis zu VP .
Der Ansatz u(t) = eλt liefert P (D)(u) = P (λ) · u, also ist u(t) = eλt genau dann in VP , wenn
P (λ) = 0 ist.
Für unsere Konstruktion eines Fundamentalsystems ist jetzt das folgende Lemma wichtig:
82
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
3.2.1 Lemma a) Sei λ ∈ C und uλ (t) = eλt . Dann ist
(D − λ)k+1 (tk uλ ) = 0, k ≥ 0
b) Angenommen, (t − λ)m sei ein Teiler von P . Dann sind alle Funktionen uj,λ (t) = tj eλt mit
j = 0, ..., m − 1 in VP gelegen.
Beweis. Wir benützen bestimmte Vertauschungsrelationen: Für jede C ∞ Funktion u ist
(D − λ)(t · u) − t · (D − λ)(u) = u
Setzen wir nun wj := (D − λ)(tj u) − tj (D − λ)u, so folgt mit tj u = t · tj−1 u :
wj = (D − λ)(t · tj−1 u) − tj (D − λ)u
= tj−1 u + t ( (D − λ)(tj−1 u) − tj−1 (D − λ)(u) )
= tj−1 u + t · wj−1
Hieraus folgt induktiv wj = jtj−1 u.
Zu a) Das folgt durch Induktion nach k. Wegen uλ (t) = eλt ist der Fall k = 0 klar. Gilt die
Behauptung für k − 1, so auch für k, denn
(D − λ)k+1 (tk uλ ) = (D − λ)k (D − λ)(tk uλ )
= (D − λ)k ktk−1 uλ + tk · (D − λ)(uλ )
= k (D − λ)k (tk−1 uλ ) = 0
Zu b) Ist j < m, so haben wir
(D − λ)m (tj uλ ) = (D − λ)m−j−1 ( (D − λ)j+1 (tj uλ ) ) = 0
Erst recht haben wir also P (D)(tj uλ ) = 0.
Wir zerlegen jetzt P über C in
P (X) = (X − λ1 )k1 · · · · · (X − λr )kr
mit paarweise verschiedenen Nullstellen der Vielfachheiten k1 , ..., kr .
Unser Fundamentalsystem wird nun wie folgt gewonnen:
3.2.2 Satz a) Die Funktionen
uj,λν , 0 ≤ j ≤ kν − 1, ν = 1, ..., r
3.2. DGLS HÖHERER ORDNUNG
83
bilden eine Basis von VP .
b) Jede Lösung der homogenen Dgl P (D)(u) = 0 ist damit von der Form
u=
r
X
pj (t)eλj t
j=1
mit geeigneten Polynomen pj vom Grade ≤ kj − 1.
Beweis. Da (t − λν )kν das Polynom P teilt, ist jedes solche uj,λν in VP gelegen. Wir müssen
nur noch die lineare Unabhängigkeit nachweisen.
Sind p1 , ...., ps Polynome mit
0
0
p1 (t)eλ1 t + . . . pr (t)eλs t = 0,
wobei die λ01 , ..., λ0s paarweise verschieden seien, so sind alle pj schon Null.
0
Das zeigen wir durch Induktion nach s. Für s = 1 ist das klar, da eλ1 t 6= 0 für alle t.
Angenommen, die Behauptung ist für s − 1 richtig. Wenn nun für irgendwelche s Polynome
p1 , ..., ps die Gleichung
0
0
p1 (t)eλ1 t + . . . ps (t)eλs t = 0
(3.2.3)
besteht, so ist zu zeigen, dass alle pj verschwinden. Nehmen wir an, das ist nicht der Fall. Es kann
nicht nur genau eines der Polynome pj ungleich Null sein. Nach Umnummerieren der Polynome
können wir annehmen, p1 , ps 6= 0. Wir bezeichnen den Leitkoeffizienten von ps mit as 6= 0. Dann
0
multiplizieren wir (3.2.3) mit e−λ1 t und differenzieren d1 -mal, wobei d1 − 1 der Grad von p1 sein
soll. Es entsteht eine Gleichung der Form
0
0
0
0
p∗2 (t)e(λ2 −λ1 )t + · · · + p∗s (t)e(λs −λ1 )t = 0
(3.2.4)
Dabei sind die p∗j , j = 2, .., s wieder Polynome. Sie sind von der Form
p∗j = (λ0j − λ01 )d1 pj + Polynom von einem Grad < deg (pj )
Insbesondere ist p∗s 6= 0. Aber (3.2.4) ist eine Gleichung vom Typ (3.2.3), nur ist s durch s − 1
und λ0j durch λ0j − λ01 ersetzt. Die Induktionsannahme erlaubt den Schluss p∗j = 0, Widerspruch.
Damit sind alle pj schon Null.
Der Teil b) ist nun klar.
Wir erinnern uns noch einmal daran, wie man eine partikuläre Lösung zur betrachteten Dgl
findet: Man bestimme eA ·τ und berechne dann den Vektor


0
Z t
 0 

A ·(t−s) 
vp (t) :=
e
 ..  ds
 . 
t0
F (s)
84
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Die partikuläre Lösung up ist dann die erste Komponente von vp .
Der Fall n = 2
Die Gleichung
u00 + 2au0 + bu = F (s)
beschreibt eine gedämpfte Schwingung, die von einer durch F beschriebenen Kraft aufrecht
erhalten wird.
Wir benutzen frühere Ergebnisse. Die Matrix A ist nun gerade
0
1
A =
−b −2a
1. Fall a2 6= b.
Wir wissen schon, dass

eA ·τ = e−aτ 
a
k
1
k
sinh(kτ ) + cosh(kτ )
b
k
sinh(kτ )
sinh(kτ )
cosh(kτ ) − sinh(kτ )
a
k
Das führt auf das Fundamentalsystem
u(1) (t) = cosh(kt), u(2) (t) =
1
sinh(kt)
k
und die partikuläre Lösung
Z
t
up (t) :=
e−a (t−s)
t0
2.Fall a2 = b.
Nun liefert
sinh(k(t − s))
F (s)ds
k
u(1) (t) = e−at , u(2) (t) = te−at
ein Fundamentalsystem und
Z
t
up (t) =
(t − s)e−a(t−s) F (s)ds
t0
ist eine partikuläre Lösung.
Wenn nun a2 < b, also k = iω, mit ω =
√
b − a2 wird, so wird
u(1) (t) = cos(ωt), u(2) (t) = sin(ωt)


3.2. DGLS HÖHERER ORDNUNG
85
ein Fundamentalsystem, und die partikuläre Lösung nimmt die Form
Z
1 t −a (t−s)
up (t) :=
e
sin(ω(t − s)) F (s)ds
ω t0
an.
Wählen wir etwa F (s) = F0 cos(ω0 s), so ist der Ansatz
up (t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)
fruchtbar: Einsetzen in die Dgl führt auf
(b − ω02 )up − 2aω0 A sin(ω0 t) + 2aω0 B cos(ω0 t) = F0 cos(ω0 t)
Also (wie durch Vergleich der Terme bei cos(ω0 t) und sin(ω0 t) folgt)
(b − ω02 )A + 2aω0 B = F0
−2aω0 A + (b − ω02 )B = 0
Dies ist ein lineares Gleichungssystem in A, B mit der Lösung
A=
Setzen wir
so folgt
(b − ω02 )
2aω0
F, B=
F0
2 2
2 0
2 2
2
(b − ω0 ) + 4a ω0
(b − ω0 ) + 4a2 ω02
b − ω02
δ = arctg(
),
2aω0
(b − ω02 )
2aω0
p
= sin(δ), p
= cos(δ)
2 2
2
(b − ω0 ) + 4a2 ω0
(b − ω02 )2 + 4a2 ω02
also
up (t) = p
F0 sin(ω0 t + δ)
(b − ω02 )2 + 4a2 ω02
Die Schwingung erfolgt also mit derselben Frequenz, mit der die verursachende Kraft F wirkt,
aber es tritt eine Phasenverschiebung δ ein. Die Amplitude der Schwingung ist nun
F0
p
(a2 + ω 2 − ω02 )2 + 4a2 ω02
Ist ω 2 > a2 , d.h.: wenn b > 2a2 ist, wird sie für
√
ω0 := ω 2 − a2
maximal.
86
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
3.2.3
Partikuläre Lösungen bei speziellen Störgliedern F
Gegeben sei die lineare DGL der Ordnung n:
P(
d
)u = F,
dt
mit P = an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 .
Für spezielle ”Störglieder ” F wollen wir uns Ansatze für eine partikläre Lösung up ansehen.
P
ν
A) Störglieder der Form F (t) = m
ν=0 βν t .
Wir unterscheiden 2 Fälle.
P
k
1. Fall: Es ist a0 = P (0) 6= 0. In diesem Fall probieren wir up (t) := m
k=0 bk t . Durch Einsetzen
sehen wir:
m
k
X
X
d
k
P ( )up (t) =
bk
µ!
aµ tk−µ
µ
dt
µ=0
k=0
!
m
m X X
k
=
(k − ν)!ak−ν bk tν
ν
ν=0
k=ν
Durch Koeffizientenvergleich finden wir, dass
m X
k
(k − ν)!ak−ν bk = βν ,
ν
0≤ν≤m
k=ν
erfüllt werden muss. Wir haben ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten b0 , ..., bm ,
dessen Koeffizientenmatrix obere Dreiecksgestalt hat. Die Diagonalelemente sind alle gleich a0 .
Somit können wir alle b0 , ..., bm berechnen.
2. Fall: Es ist a0 = ... = as−1 = 0 und as 6= 0 für ein s ≤ n.
Nun lautet die gegebene DGL so:
n
X
j=s
Das ist aber gleichwertig mit
n−s
X
j=0
(s)
aj (
d j
) up = F
dt
aj+s (
d j (s)
) u =F
dt p
Das ist ein DGL für up , auf die der 1. Fall anwendbar ist, da der konstante Term im charakte(s)
ristischen Polynom nunmehr as 6= 0 ist. Wir haben gesehen, dass up als ein geeignetes Polynom
3.2. DGLS HÖHERER ORDNUNG
87
vom Grade m gewählt werden muss. Also ist der Ansatz up (t) = ts u
e(t) mit einem passenden
Polynom u
e vom Grade m tauglich, um eine partikluäre Lösung zu finden.
Beispiel. Sei etwa P = X 3 − 2X und F (t) = t2 + t + 2. Nun muss also der Ansatz up (t) =
t(at2 + bt + c) versucht werden. Einsetzen in die DGL ergibt
−6at2 − 4bt + 6a − 2c = P (
d
)up = t2 + t + 2
dt
Koeffizientenvergleich führt auf a = −1/6, b = −1/4, c = −3/2, also
3
1 2 1
up (t) = −t
t + t+
6
4
2
B) Störglied der Form F (t) = eαt .
Auch hier kommt es auf das Verhalten von P bei α an. Wir unterscheiden 2 Fälle:
1. Fall: Es ist P (α) 6= 0. Nun ist der Ansatz up (t) = Aeαt angemessen, denn es gilt
P(
d
)up = AP (α)eαt = AP (α)F,
dt
so dass wir nur A = 1/P (α) wählen müssen.
2. Fall: Es gilt P (k) (α) = 0 für k < s und P (s) (α) 6= 0 für ein s ≤ n. Nun probieren wir
up (t) = Ats eαt . Einsetzen ergibt uns
X
(j)
d
aj ts eαt
)up (t) = A
dt
j=0
j n
X
X
j
s
αt
= Ae
aj
κ!
ts−κ αj−κ
κ
κ
κ=0
j=0
! n
n
X
X
s
j
ts−κ
= Aeαt
κ!
aj
αj−κ
κ
κ
κ=0
j=κ
n
X
s
αt
(κ)
= Ae
P (α)
ts−κ
κ
n
P(
αt
κ=0
(s)
= Ae P
Also muss nur noch A =
1
P (s) (α)
(α)
gewählt werden.
C) Störglied der Form F (t) = eαt q(t) mit einem Polynom q.
Angenommen, q(t) = βm tm + ... + β1 t + β0 .
88
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1. Fall: Es ist P (α) 6= 0. Wir machen den Ansatz
up (t) = eαt qe(t),
mit einem Polynom qe(t) = bm tm + ... + b1 t + b0 und setzen ihn in die DGL ein. Es kommt heraus
n
X
P (κ) (α) (κ)
d
αt
αt
e q(t) = P ( )up = e
qe (t)
dt
κ!
κ=0
Das bedeutet aber
n
X
P (κ) (α)
κ=0
κ!
qe(κ) (t) = q(t)
Koeffizientenvergleich führt auf ein lineares Gleichungssystem für b0 , ..., bm , das man wegen
P (α) = 0 von unten nach oben lösen kann, also: Zuerst berechnet man bm aus P (α)bm = βm ,
dann bm−1 aus der Beziehung P (α)bm−1 + mP 0 (α)bm = βm−1 . So fahre man fort.
2. Fall: Ist α eine s-fache Nullstelle von P , so setzen wir an: up (t) = ts eαt qe(t) mit einem
Polynom qe vom Grade m. Denn ist qb ein Polynom vom Grade m + s, so gilt nun
n
n−s
X
X
P (κ) (α) (κ)
P (λ+s) (α) (s) (λ)
d αt
αt
αt
qb (t) = e
qb
P ( )(e qb) = e
(t)
dt
κ!
(λ
+
s)!
κ=s
λ=0
Das liefert uns eine Beziehung zwischen qb(s) und q, die formal genauso wie im ersten Fall gehandhabt werden kann, weil der konstante Term des relevanten charakteristischen Polynoms nun
P (s) (α) 6= 0 ist. Damit erhalten wir für qb(s) ein bestimmtes Polynom vom Grad m, und qb hat die
Form ts qe(t) mit einem Polynom qe vom Grade m.
Beispiel. Es sei etwa P (X) = X 4 − 4X 3 + 5X 2 − 4X + 4 = (X − 2)2 (X 2 + 1) und F (t) =
e2t (t3 − t + 2). Hier ist also α = 2 und s = 2, sowie m = 3. Unser Ansatz muss lauten:
up (t) = e2t t2 (at3 + bt2 + ct + d)
Einsetzen in die DGL führt auf
d
P ( )up = e2t (100at3 + 60(b + 4a)t2 + 6(5c + 16b + 20a)t + 2(5d + 12c + 12b) ) = e2t (t3 − t + 2)
dt
Also wählen wir a = 1/100, b = −1/25, c = 41/750 und d = 103/625. So entsteht
t2
41t 103
t3
−
+
+
).
100 25 750 625
D. Störterme der Form F (t) = eαt q(t) cos(βt) oder F (t) = eαt q(t) sin(βt).
up (t) = e2t t2 (
Die Diskussion dieser Störterme kann auf Terme der Form C) reduziert werden. Es ist nämlich
e q(t) cos(βt) = 12 (e(α+iβ)t + e(α−iβ)t )q(t) ) und eαt q(t) sin(βt) = 2i1 (e(α+iβ)t − e(α−iβ)t )q(t) ). Nun
lösen wir die Gleichungen P ( dtd )vp = e(α+iβ)t q(t) und P ( dtd )wp = e(α−iβ)t q(t), was wie unter Punkt
C) geschehen kann. Wir finden dann (möglicherweise komplexe) Lösungen vp und wp . Dann wird
aber up = 12 (vp + wp ) bzw. up = 2i1 (vp − wp ) eine gesuchte partikuläre Lösung.
αt
3.3. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT PERIODISCHEN
3.3
KOEFFIZIENTEN
89
Differenzialgleichungen mit periodischen
Koeffizienten
Wir wollen uns nun für das Verhalten der Lösungen eines linearen DGL-Systems
u0 = A · u
(P )
mit einer matrixwertigen Funktion A : IR −→ M (n×n, IK) interessieren, die eine Periode ω > 0
hat, also A (t + ω) = A (t) erfüllt.
Insbesondere interessieren uns natürlich periodische Lösungen zu (P).
3.3.1 Lemma a) Ist W (t) eine Wronskimatrix für (P), so gibt es eine invertierbare Matrix CW
mit konstanten Koeffizienten so dass
W (t + ω) = W (t)CW .
b) Ist W1 (t) eine weitere Wronskimatrix, so existiert eine invertierbare Matrix B mit konstanten Koeffizienten, so dass
CW1 = B −1 · CW · B.
Beweis. a) Auch die Spalten von W (t + ω) bilden eine Basis für LA , so dass auch W (t + ω)
eine Wronskimatrix wird. Dann ist aber nach Lemma 3.1.4 aber W (t + ω) = W (t)CW für eine
geeignete invertierbare Matrix CW .
b) Wir finden nach Lemma 3.1.4 eine invertierbare Matrix B mit W1 (t) = W (t)B. Dann
wird aber
W1 (t)CW1 = W1 (t + ω) = W (t + ω)B = W (t)CW B = W1 (t)B −1 CW B,
woraus die Behauptung folgt.
Die folgende Definition wird nun konsistent:
Definition. Ist W (t) eine Wronskimatrix zu (P), so heißen die Eigenwerte von CW die charakteristischen Multiplikatoren zur DGL (P).
Laut obigem Lemma hängen die Eigenwerte von CW nicht von der Wahl von W ab.
it
e 1
exp(−ieit )
Beispiel. Ist etwa A =
, so wird u1 (t) =
eine Lösung. Eine weitere
0 2
0
Lösung finden wir mit dem Ansatz
0
u2 (t) := α(t)u1 (t) +
e2t
90
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Es wird nun
u02 (t)
0
it
= α (t)u1 (t) + e α(t)u1 (t) + 2
und
A · u2 (t) = α(t)
eit 1
0 2
0
e2t
eit 1
0 2
u1 (t) +
2t e
it
= e α(t)u1 (t) +
2e2t
2t e
=
− α0 (t)u1 (t) + u02 = u02 ,
0
wenn nur
Rt
0
e2t
α0 (t) = exp(ieit + 2t)
Wir wählen α(t) = 0 exp(ieis + 2s)ds.
So finden wir mit
W (t) = (u1 (t), u2 (t) ) =
exp(−ieit ) α(t) exp(−ieit )
0
e2t
eine Wronskimatrix. Dann wird aber
i
−i
e 0
e
α(2π)e−i
1 α(2π)
−1
CW = W (0) W (2π) =
=
0 1
0 e4π
0
e4π
Die charakteristischen Multiplikatoren sind also 1 und e4π . Sei nun
α(2π) e4π −1
v :=
1
und
U (t) := W (t)v
Dann wird U eine Lösung der DGL mit
U (t + 2π) = W (t)CW v = W (t)e4π v = e4π U (t)
Diese Beobachtung verallgemeinern wir:
3.3.2 Satz Ist λ ∈ C, so existiert genau dann eine Lösung u zu (P) mit
u(t + ω) = λu(t),
wenn λ ein charakteristischer Multiplikator ist.
b) Genau dann hat also (P) eine periodische Lösung, wenn 1 ein charakteristischer Multiplikator ist.
2πi
c) Existiert ein charakteristischer Multiplikator der Form λ = e k mit einer ganzen Zahl
k > 0, so gibt es für (P) eine Lösung u mit der Periode kω.
3.3. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT PERIODISCHEN
KOEFFIZIENTEN
91
Beweis. Wir nehmen eine Wronskimatrix W und eine invertierbare Matrix CW mit
W (t + ω) = W (t)CW
her. Angenommen, es sei λ ein Eigenwert von CW und v ein Eigenvektor dazu. Dann setzen wir
u(t) = W (t)v und überprüfen, dass
u(t + ω) = W (t + ω)v = W (t)CW v = λW (t)v = λu(t)
ist.
Umgekehrt nehmen wir an, es sei u eine Lösung zu (P) mit u(t + ω) = λu(t) . Dann wird
zunächst u(t) = W (t)v0 für einen passenden Vektor v0 ∈ C n . Dann ist aber
W (t)CW v0 = W (t + ω)v0 = u(t + ω) = λu(t) = λW (t)v0 ,
woraus CW v0 = λv0 folgt. Also ist λ ein charakteristischer Multiplikator.
b) ist klar. Zu c) Es gibt eine Lösung u zu (P) mit u(t+ω) = λu(t). Dann ist aber u(t+kω) =
k
λ u(t) = u(t).
Wir streben nun eine Zerlegung der Wronskimatrix in einen periodischen Anteil und einen
Teil von der Form eRt mit einer geeigneten Matrix R mit konstanten Koeffizienten an. Dazu
brauchen wir den Logarithmus für invertierbare Matrizen.
3.3.3 Lemma Ist M eine invertierbare Matrix, so gibt es eine Matrix R mit eR = M .
Beweis. a) Wir nehmen an, M = λEn + N , wobei λ 6= 0 und N diejenige Matrix ist, in
deren oberer Schrägzeile neben der Diagonalen 1 steht, während alle anderen Einträge 0 sein
sollen. Dann haben wir
1
M = λ(En + N )
λ
Wir suchen nach einer Matrix R1 mit eR1 = En + λ1 N . Dann wählen wir eine Zahl µ mit λ = eµ
und erhalten mit R = µEn + R1 eine gewünschte Matrix R.
P
(−1)k k
Wir erinnern uns an die Logarithmusreihe log(1 + x) = ∞
x und setzen
k=1
k
∞
X
(−1)k 1
R1 =
( N )k
k
λ
k=1
Diese Summe ist in Wirklichkeit endlich, da N
n
= 0 und damit
n−1
X
(−1)k 1
R1 =
( N )k
k
λ
k=1
92
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Zum Nachweis, dass eR1 = En + λ1 N , definieren wir t > 0
R2 (t) =
n−1
X
(−1)k
k=1
k
(tN )k
Die geometrische Summenformel für Matrizen liefert uns dann
R20 (t)
· (En + tN ) = −N
= −N
= −N
n−2
X
k=0
n−1
X
(−t N )k (En + tN )
(−t N )k (En + tN )
k=0
Dann ist, da R2 mit R20 vertauscht:
0
e−R2 (t) (En + tN ) = e−R2 (t) (−R20 (En + tN ) + N ) = 0
Also ist e−R2 (t) (En + tN ) konstant mit Wert En . Es ist daher
eR2 (t) = En + tN ,
und insbesondere eR1 = eR2 (1/λ) = En + λ1 N .
b) Hat M nicht die Form eines Jordankästchens, so wählen wir eine invertierbare Matrix S ,
so dass


A1 .. .. .. 0
 0 A2 .. .. 0 


−1
S M S =  ..
.. 
.
.
 .
.
. 
0 .. .. .. Am
und alle Kästchen A` die unter a) beschriebene Form haben. Mit Teil a) für diese Kästchen
erhalten wir Matrizen R1 , ..., Rm so dass eR` = A` , ` = 1, ..., m. Dann leistet


R1 .. .. .. 0
 0 R2 .. .. 0 

 −1
R := S  ..
..  S
.
.
 .
.
. 
0 .. .. .. Rm
das Gewünschte.
Dieses Lemma ermöglicht den Beweis des folgenden Zerlegungssatzes:
3.3. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT PERIODISCHEN
KOEFFIZIENTEN
93
3.3.4 Satz (Floquet). Jede Wronskimatrix W (t) zum DGL-System (P) kann in der Form
W (t) = P(t)eR t
mit einer ω-periodischen GL(n, C)-wertigen Funktion P und einer Matrix R mit konstanten
Koeffizienten geschrieben werden.
Beweis. Sei dazu CW wie früher gewählt, so dass
W (t + ω) = W (t)CW .
Dann schreiben wir CW = eRω mit einer geeigneten Matrix R. (Da CW invertierbar ist, ist dies
möglich). Die Matrix P(t) = W (t)e−R t hat dann differenzierbare Koeffizienten. Es gilt
P(t + ω)eR t+Rω = W (t + ω) = W (t)eRω = P(t)eRt+Rω ,
also P(t + ω) = P(t).
Kennen wir die Matrix P, so finden wir alle Lösungen für das DGL-System (P), wenn wir
nur das DGL-System v 0 = R v lösen, das konstante Koeffizienten hat.
3.3.5 Lemma Sind P und R wie im Satz 3.3.4, so wird u(t) = P(t)v(t) genau dann eine
Lösung zu (P), wenn v Lösung zu v 0 = Rv ist.
Beweis. Sei u = P v, wobei v 0 = Rv. Es gilt
u0 (t) =
=
=
=
=
P 0 (t)v(t) + P(t)v 0 (t)
(W (t)e−R t )0 v + P(t)Rv(t)
(W 0 (t) − W (t) R)e−R t v + W (t)R e−R t v
(A (t)W (t) − W (t) R)e−R t v + W (t)R e−R t v
A P (t)v = A (t)u
Umgekehrt sei u = P · v eine Lösung zu u0 = A u. Dann gilt
v 0 = P(t)−1 u 0
= P(t)−1 u 0 + P(t)−1 0 u
= P(t)−1 A u + P(t)−1 0 P v
= P(t)−1 A u − P(t)−1 P 0 v
Nun ist A W = W 0 = (P 0 + PR)eRt , also
P 0 = A W e−Rt − PR
94
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Das ergibt
v 0 = P(t)−1 A u − (A W e−Rt v − PR v )
= P(t)−1 (A u − (A P v − PR v ))
= Rv
Beispiel: Die Mathieusche DGL. Für feste λ, h ∈ IR studieren wir die DGL
y 00 + (λ + h cos(2t))y = 0
(M )
oder äquivalent dazu
0
0
u = A u,
(M )
A =
0
1
−(λ + h cos(2t)) 0
Was lässt sich über ihre Lösungen sagen? Es sei W die Wronskimatrix zu (M’) mit W (0) = E2 .
Es gilt dann
(det W (t) )0 = Spur (A ) det W = 0
also det W ≡ 1. Weiter haben wir
W (t + π) = W (t)CW
also CW = W (π). Sind u1 , u2 die Spalten von W , so sind u
e1,1 (t) := u1,1 (−t) und u
e2,1 (t) =
−u2,1 (−t) Lösungen zu (M), also
u
e1,1 u
e2,1
f
W (t) :=
u
e1,1 0 u
e2,1 0
f(0) = E2 , also ist W
f = W . Damit ist u1,1 gerade und u2,1
eine Wronskimatrix zu (M’) mit W
ungerade.
Beh.: Es gilt u1,1 (π) = u02,1 (π).
Dazu beachten wir, dass W (−π)CW = W (0) =, E2 , also
Mit
u1,1 (π) u2,1 (π)
u1,1 0 (π) u2,1 0 (π)
folgt die Behauptung.
−1
= W (π)
−1
u1,1 0 (π) u2,1 (π)
u1,1 0 (π) u2,1 0 (π)
=
CW−1
= W (−π) =
−1
=
u1,1 (π) −u2,1 (π)
−u1,1 0 (π) u2,1 0 (π)
u2,1 0 (π) −u2,1 (π)
−u1,1 0 (π) u1,1 (π)
3.3. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT PERIODISCHEN
KOEFFIZIENTEN
Es gilt det CW = 1, also sind die Eigenwerte von C von der Form µ,
Schreiben wir µ = eπr mit einer geeigneten Zahl r ∈ C, so wird
1
µ
95
mit einer Zahl µ 6= 0.
eπr + e−πr = Spur CW = 2a := 2u1,1 (π)
Die Zahl eπr muss also die quadratische Gleichung
(eπr − a)2 = a2 − 1
lösen.
Frage: Welche Lösungen der Mathieuschen DGL sind beschränkt?
√
Angenommen, es sei |a| < 1. Dann wird mit k := 1 − a2 also
eπr = a ± ik
sein. Da aber a + ik vom Betrage 1 ist, muss r = iθ für eine geeignetereelle Zahl θ 6= 0 werden,
πiθ
e
0
und CW ist diagonalisierbar. Sei S invertierbar mit S −1 CW S =
. Dann ist
0 e−πiθ
iθ 0
CW = eπR , mit R = S
S −1 . Es gilt nun
0 −iθ
πiθt
e
0
Rt
W (t)S = P(t)e = P(t)S
0 e−πiθt
Jede Lösung der Mathieuschen DGL hat die Form
πiθt
e
0
u(t) = W (t)S · u0 = P(t)S
· u0
0 e−πiθt
mit konstantem Vektor u0 , ist also auf ganz IR beschränkt.
Ist dagegen |a| > 1, so hat die Gleichung (eπr − a)2 = a2 − 1 eine reelle Lösung r. Analog zu
eben gibt es eine invertierbare Matrix S , so dass
πrt
e
0
Rt
W (t)S = P(t)e = P(t)S
0 e−πrt
Jede Lösung der DGL hat die Form
Rt
u(t) = P(t)e
= P(t)S
eπrt
0
0 e−πrt
muss also mit t −→ ∞ oder t −→ ∞ unbeschränkt werden.
· u0 ,