Über den g-Faktor des Elektrons nach der klassischen Feldmechanik

Satz C x : Gegeben sei in S ein beliebiger kontra varianter Vierertensor T i k = ( 7 ; SR; tl; s). Mit
»x
S2 = s
^ SR; SB2 = U
sind dann die Komponenten s', U' und SR' v o n
bestimmt durch:
=
= k*2 i.S\ — ^ 38,) = k*2 (s 2 — Y 282);
sind dann die Komponenten v o n T'ik = (7';
s') bestimmt durch:
SR'; II';
I
Ö
f
Ü r-, t> \
s' - k*2 s — — U — — SR + — T — ,
\
C
C
O
CI
1
Ü
Ü
—
—
L:* . U' = — k*s —
o. + »26 + o.
(A:s
c
Ö
L •
r. —
Ö
Ö
1
Ö
Ü
-nr-SR' - 28x + (k* — 1) — SS^
k*
v
v
(125)
(128)
t)
k* S,—
c
v
bestimmt durch:
i—i
r
i
r—1
t
tl
i
:
tl
i
0 t> Ü I Ö
+ k*2 —
V —
V • c—\[s c
(126)
Tensor gelten die Verein-
11 — SR +
—0'
tc—
O D
0 t)
Ji1 v
—
v e 21 + v v (s' — s).
= t
Bei einem symmetrischen
fachungen
Sö2 und Si = 3 2 -
i
- -c ) ; '
I
Ü
i
Ü
—ö
ö1
= — x \ k* SR x — — (k* — 1) t — x — ,
f
c
V
V I
ti —
öl
Ö
I
Ü
(k- •• — l) — t x — }
3o = — x { k* U x —
V
V I
V
^
c
1
Satz C 2 : Gegeben sei in S ein beliebiger kontra varianterVierertensor Tik = ( T ; SR; U; s). Mit
S, 1 = S——U;n
2
T
3
t> ^ ti 0 Ü
-f- (k* — 1 )2 — t
.
v v v v
SR = U, SI?, =
k*S*
(124)
+ T + (k*— 1) | 3x ~ + ~ 321
Bei einem symmetrischen
fachungen :
1) ± 282" ~
= — x [siö 2 —1+
— • k* v[*- 2 ö
v
\_ v \ v
\
(123)
Ü
k* — SB,
c
Ü
k* Stf.—
c
• U' = 282 + (** -
(127)
Die R a u m - R a u m - K o m p o n e n t e n von T'ik sind mit
1
0
Ü
0
— • SR' = — Ä*« — + 1 + — fß2 • —
k*
c
c
c
v
ü
ö
- - 3 t - ( ^ - D - I V "
Ö 0
f = k*-s
c c
^
T'lk
(130)
Tensor gelten die Verein-
SR = 11, S1 = S2, 88! = 22 2 und
= Sa-
Herrn Dr. H. E p h e s e r danke ich für einige klärende Besprechungen des Themas.
= SR —T—
r» ;
Über den g-Faktor des Elektrons nach der klassischen Feldmechanik
Von
LUDWIG
WALDMANN
Aus dem Max-Planck-Institut für Chemie, Mainz
(Z. Naturforschg. 7a, 645-648 [1952]; eingegangen am 7. Juli 1952)
Zunächst wird im Anschluß an die Arbeiten v o n B o p p unter Zugrundelegung eines
klassischen Wirkungsprinzips der Begriff der allgemeinen Feldmechanik kurz erläutert,
in welcher speziell die Mechanik des Hönlschen Pol-Dipol-Teilchens enthalten ist. W i e
bekannt, enthält der Drehimpuls spinartige Zusatzglieder. Bei homogenem, zeitlich konstanten elektromagnetischen Feld existiert nun ein exaktes Integral der Bewegungsgleichungen, demzufolge dem feldmechanischen Elektron ganz allgemein ein magnetisches
Moment ^„.agneti.ch =
w o 2 der axiale Spinvektor ist, zuzuschreiben wäre
(e = — \e\ = Elektronenladung; m 0 - Ruhmasse). Gleichzeitig ist ein elektrisches Moment
vorhanden fieXeMliiCh = ( e / m n c ) 2 , wo 2 ein polarer Vektor ist, der mit © zusammen einen
Sechservektor aufbaut. Der anomale gr-Faktor 2 des Elektrons, wie ihn die Dirac-Gleichung
ergibt, wird so in einfacherWeise auch klassisch verständlich.
Dieses Werk wurde im Jahr 2013 vom Verlag Zeitschrift für Naturforschung
in Zusammenarbeit mit der Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der
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H ö n l 1 hat ein klassisches relativistisches Modell
des Elektrons, das sogenannte Pol-Dipol-Teilchen,
angegeben, welches in enger Korrespondenz zur
Dirac-Theorie den Spin des Elektrons beschreibt.
Zu noch allgemeineren derartigen Modellen gelangte
B o p p 2 . Er ging von einer umfassenden linearen
Feldtheorie aus, die eine Erweiterung der MaxwellLorentzschen Theorie darstellt, und untersuchte die
Bewegung von Punkt Singularitäten in diesem Feld.
Die Singularitäten werden mit den Elektronen identifiziert, es entsteht die klassische „Feldmechanik"
des Elektrons. Dabei zeigte sich, daß die Feldmechanik, auch ohne Benutzung des Feldbegriffs,
direkt aus einem Wirkungsprinzip hergeleitet werden kann. Dieses Wirkungsprinzip wurde auch von
F e y n m a n 3 diskutiert.
I m folgenden soll untersucht werden, welches
magnetische Moment die Feldmechanik dem Elektron zuschreibt. Den Ausgangspunkt bildet dabei
das Bopp-Feynmansche Wirkungsprinzip in seiner
allgemeinsten Gestalt.
1. D a s W T i r k u n g s p r i n z i p u n d d i e
B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n der F e l d m e c h a n i k
Es seien N punktförmig gedachte Elektronen
durch ihreWeltlinien x{"\X) beschrieben (a = 1 , . . . , N;
[i = 1, . . ., 4; xA = i et; X beliebiger Kurvenparameter). Nach dem Wirkungsprinzip sollen die Weltlinien so verlaufen, daß
W=
c
Z
JJ / (c7{ab)) dx[f dxf
Z
a=l ¿> = 1
= Minimum.
(1)
Dabei ist
a{ab) = -
(xf
- xf)
(x'f - xf)
(2)
das Quadrat des vierdimensionalen Abstands. Über
die Strukturfunktion /(er), die aus dimensionellen
Gründen eine charakteristische Länge enthalten
muß, sollen keine speziellen Annahmen gemacht
werden. Ein bestimmter spezieller Ansatz für f(a)
liefert das Hönlsche Modell. Ohne Einschränkung
+ 00 .
kann J /(er) der = 1 verlangt werden. Die Integra— X
.
tionen gehen über die ganzen Welt linien. Der Fakt or
e 2 /2c (e = Elektronenladung, c = Lichtgeschwindigkeit) ist unwesentlich und nur hinzugefügt, damit W die konventionelle Dimension einer Wirkung
1 H . H ö n l , Ann. Physik 38, 5(55 [1938]: Ii. H ö n l
u. A. P a p a p e t r o u , Z. Physik 112, 512 [1939].
hat. Die Lorentz-Invarianz des Wirkungsprinzips ist
evident.
Wir fassen nun das Elektron a = 1 ins Auge. Die
Bewegung der übrigen Elektronen sei bereits bekannt und werde durch das Elektron a = 1 nicht
merkbar beeinflußt. Dann ist
= n
w
c
H
i
+ 1
)
J
d < i)
-f- Gegebenes
(3)
mit der Abkürzung
N
A™(x™)
= e Z J f(o{lb))dx{Z].
b=
(4)
2
Die
die Komponenten des Viererpotentials des
äußeren Feldes für das Teilchen a = 1, sind also
gegebene Ortsfunktionen. Nun denken wir uns noch
in ff(11) die Taylor-Entwicklung
= ( i ) = ( A ) + x \ } v (x)
a-x)
+
[ X - X f + . . .
eingesetzt und in (3) die Integration über dx^ =
x[}'] d l ausgeführt. So entsteht für die Weltlinie
x{1)(X), indem wir nun den Index a = 1 weglassen,
das mit (3) äquivalente Wirkungsprinzip
J LdX = J [lr 0 (x', x", x'",...)
+ y Au
dX
= Minimum.
(5)
Die für den feldfreien Raum gültige LagrangeFunktion L0 enthält also Ableitungen der Koordinaten von beliebig hoher Ordnung.
Die formale Behandlung der Variationsaufgabe (5)
kann nach dem Verfahren der Lagrangeschen Multiplikatoren erfolgen. Wir beschränken uns auf ein
L0, das Ableitungen bis x'" enthält. Die Übertragung auf den allgemeinsten Fall liegt auf der Hand.
Es wird also verlangt
5
s
Ld>-
= I (4t;
ö
x
"
ö
"
x
*
wobei
-^j
(dx*)
—
dx'a =
0;
-^7- (dxa) - dxI =
-^j-
(<Sa£) -
dx«
=
0;
0 .
(7)
2 F. B o p p ,
Ann. Phvsik 38, 345 [1940]; 42, 573
[1943]; Z. Naturforschg. 3 a. 504 [1948].
3 R . P. F e y n m a n , Phvsic. Rev. 74, 939 [1948].
Nun ist wilv für jli < v willkürlich. Somit müssen alle
Klammerausdrücke der letzten Summe einzeln verschwinden. Nach (9) hat man also
Die Nebenbedingungen (7) gelten für jeden Wert
von X. Wir berücksichtigen sie, indem wir sie bzw.
mit den Lagrangeschen Multiplikatoren (den zu x ß ,
x'in x' kanonisch konjugierten Impulsen) pu (X),
sa(X), tu(X) multiplizieren und über X integrieren.
Durch je eine partielle Integration und Benutzung
desVerschwindens von dxu,dx'fn dx,] an den Grenzen
entstehen so die Bedingungen
x'fi
— J (Pu d xu + pfl dxu) dX
= 0,
wo abgekürzt wurde
= 0,
8'„V
— J (su ö xu -t- su d x",,) dX
[Pv + s'v) - xv (P„ + s'p) + x'ß (sv + tv)
Xv
oder auch
x„Pv
(.s,u
-x'vPf,
Xju
ty
xv
tp = 0 ,
+ S'llv = 0,
Momentensatz
— Xfl +
Ak
WUV XV> WO W,UV =
W1'U
)
sei eine beliebige infinitesimale Lorentz-Transformation gegeben. L0 muß, da ja die Ausgangsgleichung (1) lorentzinvariant ist, die Invarianzforderung erfüllen
L0 (x', x", x'") — L0 (x', x", x'") = 0 .
Diese lautet ausführlich (Glieder ~w 2 bleiben sinngemäß weg)
I , 8L_^
T" ex',,
=
„ 8L0
8Xu
8L,
YW»>'{X'< 8x'u
—
Zw,
,u < v
,„
,
8L«
l '
V" 8x'v
"I- X¡LI tv
XV tfl
-t-1,, öx'ü) dX
Durch
Xu
=
XV Sfl
(10)
•
(11)
= 0 . Wir formen (10) nochmals um, indem wir bemerken,
Im Verein mit (6) ergeben sich die bekannten Bedaß
wegungs- bzw. Definitionsgleichungen der Impulse:
ß
XjU Pf =
XfJ Pv
(Xfl Pf)
~ Xfl Av
8L
8L
8L
; su -f- tu
V»
e l
8A;1
8 Xu
8x'p '
8 Xn ; Pu +
—
'
' AA
xn
— \xnPv) '
~ \xn 8x v x>>'I\ •
8L
Somit ist
8x'n'
Mit den Abkürzungen
X"
8A,
•uv ~ c [(*> 8xv
8Xfi )
+ xt*A»
(8)
Pß
P,u ceA
>-F u" " = 8x u
8xv
-xvAfl],
(10')
hat man nach (5) auch
wo abgekürzt wurde
8Ln
_ 8L
s .u i /i —
Pu
Kv xv > P^ '^ii
;
8x'ü
'
dx',.
Xv Pu ~f" 8 UV
(12)
M.lV — XuPv
8L0
(9)
Gl. (10) oder (10') ist der Momentensatz. Wenn
8 Xn
An — 0, so gilt M u v = const. Die räumlichen KomDie erste dieser Beziehungen ist bereits aus der
ponenten Mkt (k, l = 1, 2, 3) sind demnach als DrehLorentz-Minkowskischen Mechanik geläufig. Die
impuls des Teilchens aufzufassen. Bezeichnet man
übrigen besagen u. a. nach H ö n l und B o p p spinxkPi — xiPk a l s Bahndrehimpuls, so ist S k i als Spin
artige Zusätze zum Drehimpuls. Um dies zu erdes Teilchens aufzufassen. Bewegt sich das Teilchen
kennen, stellen wir den Momentensatz auf.
speziell in einem zeitlich konstanten homogenen
Magnetfeld
mit
2. D i e L o r e n t z - I n v a r i a n z v o n L0 u n d d e r
— J (t'u
¿>xu
X,Ll Sl>
t/i) +
8LA
8Xu)
8L_L
=
-
Y
H
k
l
X l
und einem zeitlich konstanten elektrischen Feld
A4 = iO, so hat man nach (10')
e rl
= — I y (xk xm — xm xk) Him
1
\ u
(
2 \xl xm ~ xm xl) PL km +
80
80 \ . n
¿. X[ ~ xl
J lxi J •
Im elektrischen Radialfeld 0 (r) verschwindet der
letzte Term rechts und man hat
(Hkl MklY = — (xk x'm ~ xm xk) Hkl Him = 0 .
-)
'8x\,
L0
; .} 8 —
'' 8 Xu
+ ... =
Diese Beziehung ist im Einklang mit der Auffassung
von M k i als Drehimpulstensor; denn sie besagt, daß
die Komponente des Drehimpulsvektors in Richtung des Magnetfelds konstant ist.
Das magnetische Moment ist also dem Spin 8 pro-
3. D a s m a g n e t i s c h e u n d e l e k t r i s c h e
Moment
portional. Das gyromagnetische Verhältnis g, defi-
Um nun zu erkennen, welches magnetische und
elektrische Moment dem Teilchen zuzuschreiben ist,
multiplizieren wir (10) mitfF,lfl
und summieren,
wobei wir (9) benutzen:
S
C
€
2 — Fvft xuPv -f —F,,u Sin, = 2PVPV—— F„ „ Sin, = 0
oder auch
ITT
p
"
~
+
<13>
=
In zeitlich konstantem, räumlich homogenen Feld
verschwindet der letzte Term exakt und es gilt
c
P,, P„ — — F,v Suv + ^5 = 0, wo p0 = const,
(14)
Zur physikalischen Interpretation dieser Beziehung gehen wir zur Vektorschreibweise über. Wir
führen die reellen Vektoren
(J, 8 , % ein durch
F12 = H3 usw.; Fki = — iEk:
StA =
*Tt.
e
oder
P 4 = i [pl + PkPk - 2 - f ( $ 8 + <££)]
Im Grenzfall kleinen Impulses Pk Pk<^. —
ergibt sich
Mit Pi
— e0), wo E die Ener-
=
=
gie bedeutet, und p0 = m0c hat man auch
E~moc*
+ -^-PkPk
+ e 0 -
- f -
(£8
(15)
Ohne das letzte Glied rechts ist dies der geläufige
Energieausdruck der klassischen nichtrelativistischen Mechanik. Das letzte Glied legt es nun nahe,
dem feldmechanischen Elektron ein magnetisches
und ein elektrisches Dipolmoment zuzuschreiben
/' magnet.
/f
elektr.
2
,„
c
® ^at * m Sinne der
Gl. (15) ganz allgemein, bei beliebiger Wahl der
Funktion / (er) in (3), den Wert g = 2, denselben
Wert, wie er sich auf Grund der Dirac-Gleichung
für das Elektron ergibt. (Wir haben die Elektronenladung mit e — — | e | bezeichnet.)
Allerdings gilt dieser exakte Wert g = 2 gemäß
(13) nur für raumzeitlich konstante Felder. Im allgemeinen Fall ist (13) nicht integrabel. Definiert
man dann eine Größe p0 durch (14), so besagt (13),
daß die Ruhmasse veränderlich ist und von der
Vorgeschichte abhängt. Bei zeitabhängigem ra0 entfällt wohl auch die obige Interpretation von (15)
und der exakte Faktor g — 2. Ob dies korrespondenzmäßig etwas mit dem Lamb-Effekt zu tun hat,
der ja gerade an den S-Bahnen in dem stark inhomogenen Coulomb-Feld in Kernnähe auftritt,
muß dahingestellt bleiben.
Endlich liegt es nahe, (14) mit der iterierten
Dirac- Gleichung
S12 = S3 usw.;
Damit schreibt sich (14)
niert durch fi magnet. = 9
• (16)
P,H P.M
6
~c
771
^
TT
ip = 0 (17)
zu vergleichen. Die formale Ähnlichkeit beider Beziehungen ist groß. Sie gleichen sich auch insofern,
als beide die Bewegung nicht eindeutig festlegen.
(14) ist ja lediglich ein Integral der Bewegungsgleichungen, die tatsächlich durchlaufene Bahn läßt
sich mittels (14) allein nicht ermitteln. Und auch
die Lösungsmannigfaltigkeit von (17) ist größer als
die der Dirac-Gleichung selbst. Aber es bestehen
auch wesentliche Unterschiede. Das Dirac-Elektron
hat, entsprechend dem Ansatz einer vierkomponentigen Wellenfunktion, einen Spin von festem Absolutbetrag, und Gl. (17) beansprucht Gültigkeit für
beliebige inhomogene Felder. Der Spin des klassischen feldmechanischen Elektrons, dessen zeitliche
Änderung in den Gin. (9) enthalten ist, hat dagegen
keinen festen Absolutbetrag — man könnte höchstens vermuten, daß sein Betrag in nichtrelativistischer Näherung adiabatisch invariant ist —
und Gl. (14) gilt, wie schon betont, in beliebigen
inhomogenen Feldern nicht streng.
Den Herren Professoren H . H ö n l und F . B o p p
danke ich vielmals für Diskussionen über einschlägige
Fragen.