Lineare Algebra für Physiker
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Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Wintersemester 2006/07 Lineare Algebra für Physiker Übungsaufgaben zu Kapitel 8 Sesqui- und Bilinearformen“ ” 1. Aufgabe: Welche der folgenden Abbildungen auf R2 sind Sesquilinearformen: 1. f (v, w) = 1 2. f (v, w) = (v1 − w1 )2 + v2 w2 3. f (v, w) = (v1 + w1 )2 − (v2 − w2 )2 4. f (v, w) = v1 w2 − w1 v2 2. Aufgabe: Sei f eine Sesquilinearform auf R2 , gegeben durch y x f ( 1 , 1 ) = x1 y1 + 4x2 y2 + 2x1 y2 + 2x2 y1 . y2 x2 Geben Sie die Darstellungsmatrix von f bzgl. der kanonischen Basis an. Finden Sie eine Basis, bzgl. der f durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. 3. Aufgabe: Sei f die hermit’sche Sesquilinearform, die durch die Matrix 3 −2 0 A = −2 2 −2 ∈ R(3,3) 0 −2 1 gegeben ist. Finden Sie eine Diagonalmatrix, eine Basis, so dass 1 [f ]B = 0 0 gilt. die unitär äquivalent zu A ist. Finden Sie 0 0 1 0 0 −1 4. Aufgabe: Geben Sie Diagonalmatrizen an, die zu 1 1 2 2 0 2 1 4 ∈ R(3,3) sowie 1 2 4 4 0 hermit’sch kongruent sind. 0 1 1 2 1 1 0 0 0 2 ∈ R(4,4) 0 2 5. Aufgabe: Entscheiden Sie, welche der folgenden Matrizen positive oder negativ (semi)definite oder indefinite Sesquilinearformen beschreiben: 2 0 0 0 1 0 1 0 1 3 0 1 1 + i (3,3) 4,4 0 1 1 ∈ R , ∈ C(2,2) . 0 3 1 0 ∈ R , 1− i 3 1 1 2 0 0 0 4 6. Aufgabe: Zeigen Sie, dass für eine positiv definite Matrix A = (αi,j ) sämtliche Diagonaleinträge αi,i positiv sind. Geben Sie eine nicht positiv definite Matrix mit ausschließlich positiven Diagonaleinträgen an. 7. Aufgabe: Für welche Werte von α ist die Matrix 1 −1 2 −1 α 3 ∈ C(3,3) 2 3 2 positiv definit? 8. Aufgabe: Für welche α ∈ R ist 1 α α ... α 1 α α α 1 ∈ R(n,n) .. ... . positiv definit? 9. Aufgabe: Man Zeige: hA, Bi := Spur(AB) ist ein positive definites Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum Symn (R) aller reellen n × n-Matrizen. 10. Aufgabe: Geben Sie Diagonalmatrizen an, die zu 1 1 2 2 0 2 1 4 ∈ R(3,3) sowie 1 2 4 4 0 hermit’sch kongruent sind. 0 1 1 2 1 1 0 0 0 2 ∈ R(4,4) 0 2
