FERIENKURS ZUM PROP¨ADEUTIKUM NUMERIK 1

FERIENKURS ZUM PROPÄDEUTIKUM NUMERIK
MATTHIAS VESTNER
1. Grundlagen
Aufgabe 1.1.
(1) Bezeichne z0 bzw. z1 die kleinste Maschinenzahl einfacher
Genauigkeit, die noch größer ist als 0 bzw. 1. Gebe für die folgenden Mengen
jeweils z0 , z1 sowie das größte und das kleinste Element (6= ±∞)an:
(a) M10,4,−3,3
(b) M2,24,−126,127
(2) Was passiert, wenn wir auch unnormalisierte Zahlen zulassen?
(3) Gesucht sind jeweils zwei Zahlen x 6= 0, y aus obigen Mengen, so dass
xy =0
Aufgabe 1.2. Berechne jeweils die absolute und die relative Kondition folgender
Probleme
(1) f (x) = x − y für festes y ∈ R
(2) f (q) = x1 , dabei bezeichne x1 die größere Nullstelle des Polanoms x2 −2x+q
(3) f (p) = x1 , dabei bezeichne x1 die größere Nullstelle des Polanoms x2 −px+1
Für welche Werte von p und q ist sind diese Probleme schlecht konditioniert?
(4) ”Bestimme die Nullstelle einer stetig differenzierbaren Funktion f”. Stimmt
das Ergebnis mit der Intuition überein?
Aufgabe 1.3. Zur Lösung des Problems y = f (a, b, c) = a + b + c stehen die
folgenden Algorthmen zur Verfügung:
• f˜1 (a, b, c) = (a ⊕ b) ⊕ c
• f˜2 (a, b, c) = a ⊕ (b ⊕ c)
Welche Auswirkungen haben Rundungsfehler auf das Ergebnis? Welchen der Algorithmen sollte man im Fall
(1.1)
t
=
8
(1.2)
a
=
0.23371258 · 10−4
(1.3)
b =
(1.4)
c = −0.33677811 · 102
0.33678429 · 102
nutzen. Überprüfe deine Vermutung!
Aufgabe 1.4. Zeige, dass eine rückwärtsstabile Implementierung der Subtraktion ist.
2. Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 2.1. Sei A eine 3 × 3-Matrix. Schreibe folgende Operationen als MatrixMatrix-Produkte:
• verdopple Spalte 1
1
2
MATTHIAS VESTNER
• halbiere Zeile 3
• addiere Zeile 2 auf Zeile 3
• vertausche die Spalten 1 und 2
Aufgabe 2.2. Bescheibe mit Worten, wie
Matrix A verändert.



1 −1 0
1
B = 0 1 0 B = 0
0 −1 1
0
die Multiplikation von B mit A die
0
1
0

0
1
0

0
B = 1
0

0
0
1
Aufgabe 2.3. Zeige, dass die nichtsingulären bzw. unipotenten unteren Dreiecksmatrizen jeweils eine Untergruppe der invertierbaren m × m-Matrizen bilden! (Induktion)


2 1 1
Aufgabe 2.4. Bringe die Matrix A = 4 3 3 durch geeignete Multiplikation
8 7 9
mit unteren Dreiecksmatrizen auf obere Dreiecksgestalt!
Aufgabe 2.5. Zeige: Besitzt eine Matrix A ∈ Rm×m eine Zerlegung A = L · R, so
sind L und R eindeutig.
Hinweis: Auch die oberen Dreieckmatrizen bilden eine Gruppe.
0 1
Aufgabe 2.6. Zeige, dass die Matrix
keine LR-Zerlegung besitzt!
1 1
Aufgabe 2.7. SPD-Matrizen lassen sich folgendermaßen zerlegen: A = LLT (CholeskyZerlegung). Entwickle einen Algorithmus zur Bestimmung von K.
Hinweis: Werte die Gleichung elementweise aus.
3. Lineare Ausgleichsprobleme
4. Nichtlineare Gleichungssysteme
5. Polynominterpolation
6. Schnelle Fourier-Transformation