Klausur zur Lehrveranstaltung T1 (SoSe 2010)
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Klausur zur Lehrveranstaltung T1 (SoSe 2010) Prof. V. F. Mukhanov, LMU München 28.07.2010 Name: .................................... Matrikelnummer: .................................... Bitte beachten Sie: • Bearbeiten Sie jede Aufgabe auf dem gedrucktem Blatt (auch umseitig), und fügen Sie zusätzliche Blätter, wenn nötig, zu. • Geben Sie das Angabenblatt mit ab! • Schreiben Sie auf jedes Blatt (auch auf Zusatzblätter) Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer! • Zugelassene Hilfsmittel: Ein beidseitig handbeschriebenes DinA4-Blatt und eine Formelsammlung. • Die Arbeitszeit beträgt 150 Minuten. Die Gesamtpunktzahl beträgt 50 Punkte. Viel Erfolg! Aufgabe: 1a 1b 1c 1d Punkte: 1 1e 1f 2 3 4 5 P 1 Name: .................................... Matrikelnummer: .................................... Kurze Fragen Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die richtige Antwort an. Es ist jeweils nur eine Antwort korrekt. a) Der Virialsatz ist eine Aussage über die Beziehung zwischen dem mittleren Impuls und der mittleren Potentialenergie des einzelnen Teilchens dem mittleren Gesamtimpuls und der mittleren Potentialenergie des Gesamtsystems dem mittleren Impuls und der mittleren kinetischen Energie des einzelnen Teilchens zu späten Zeiten der mittleren kinetischen Energie und der mittleren Potentialenergie des Gesamtsystems (2 Punkte) b) Was ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ẍ + 4x = 2? x(t) = A1 e2t + A2 te−2t + 1 2 x(t) = A1 cos 2t + A2 sin 2t x(t) = A1 e2it + A2 e−2it + 1 2 x(t) = A1 e−2t + A2 te−2t (2 Punkte) c) Ein Teilchen der Masse m wird an einem fixierten, gegebenen Zentralpotential V (r) gestreut. Welche Größen sind erhalten? Energie und Drehimpuls, aber nicht Impuls Energie und Impuls, aber nicht Drehimpuls Nur die Energie (weder Impuls noch Drehimpuls) Energie, Impuls und Drehimpuls Keine der oben genannten (2 Punkte) 2 Name: .................................... Matrikelnummer: .................................... d) Eine homogene Kugel der Masse M , Radius R hat das Trägheitsmoment 52 M R2 . Zwei solche Kugel seien mit einer masselosen Stange der Länge 2R verbunden (siehe Abbildung). Das Trägheitsmoment des Zweikugelsystems bezüglich der Achse x, die senkrecht durch den Schwerpunkt zeigt, ist I = 45 M R2 x I = 4M R2 I= 24 2 5 MR I= 44 2 5 MR R Keine der oben genannten Antworten ist richtig R 2R (3 Punkte) e) Ein System wird durch die Lagrange-Funktion L(q, q̇) = 1 2 1 2 q̇ − q 2q 2 2 beschrieben. Die Hamilton-Funktion dieses Systems ist H= 1 2 2q2 p + 12 q 2 H = 21 q 2 p2 + 12 q 2 H = pq̇ − 1 2 2q2 q̇ − 21 q 2 H = 12 p2 + 12 q 2 Keine von den oben genannten Antworten ist richtig (4 Punkte) f ) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich im eindimensionalen Potential V (x) = A sin2 kx, wobei A > 0 und k > 0 gegebene Konstanten sind. bezüglich der Gleichgewichtslagen ist richtig? Welche Behauptung x = 0 und x = ± 2π k sind stabile Gleichgewichtslagen x = 0 und x = ± πk sind unstabile Gleichgewichtslagen π x = ± 2k und x = ± πk sind stabile Gleichgewichtslagen π und x = ± πk sind unstabile Gleichgewichtslagen x = 0, x = ± 2k (3 Punkte) 3 2 Name: .................................... Matrikelnummer: .................................... Adiabatische Zustandsänderung Ein mathematisches Pendel (Masse m) hängt an einem Draht, dessen Länge ℓ mit steigender Temperatur sehr langsam zunimmt, ℓ = ℓ(t). Die Anfangsamplitude der Schwingungen (der Anfangswinkel) ist φ0 = 1◦ . a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion L(φ, φ̇) und die Hamilton-Funktion H(φ, pφ ) des Systems auf, unter der Annahme, dass die Länge ℓ konstant bleibt. (4 Punkte) b) Berechnen Sie die Frequenz ω der kleinen Schwingungen bei konstantem ℓ. Wie lautet die adiabatische Invariante J = H/ω als Funktion von ℓ, φ und pφ in der harmonischen Näherung? (3 Punkte) c) Berechnen Sie die Endamplitude φ1 der Schwingungen, nachdem die Länge ℓ sich sehr langsam um 4% vergrössert hat. Setzen Sie dabei voraus, dass die adiabatische Invariante J = H/ω exakt konstant bleibt. (4 Punkte) Lösung: 4 3 Name: .................................... Matrikelnummer: .................................... Getriebener Oszillator Ein harmonischer Oszillator (Eigenfrequenz ω0 , Masse m, ohne Reibung) befinde sich unter dem Einfluß einer äußeren Kraft F (t) = −F0 sin ωt. (a) Bestimmen Sie die Bahn x (t) für den Fall ω 6= ω0 . Die Anfangsbedingungen seien x (t = 0) = 0 und ẋ (t = 0) = v0 . (5 Punkte) (b) Interpretieren Sie die Lösung qualitativ in dem Fall ω = ω0 : Wie kann man die Anwesenheit oder Abwesenheit von Resonanz feststellen? Wächst die kinetische Energie des Oszillators jeweils mit der Zeit? (2 Punkte) Lösung: 5 4 Name: .................................... Matrikelnummer: .................................... Kometenbahn Astronomen beobachten einen Kometen (Masse m), der sich auf einer hyperbolischen Bahn im Schwerefeld der Sonne bewegt und im Perihel den Abstand R von der Sonne besitzt. Bekannt ist auch der Winkel φ, der die Bahnrichtung im Unendlichen festlegt (siehe Abbildung). Die Astronomen möchten nun die Geschwindigkeit v im Perihel bestimmen. Die Sonnenbewegung ist zu vernachlässigen. Die Sonnenmasse sei M und die Kometenmasse m. a) Bestimmen Sie die Gesamtenergie E, den Drehimpuls L, und die Geschwindigkeit v∞ im Unendlichen, als Funktionen der noch unbekannten Geschwindigkeit v. (3 Punkte) b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v. 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 v 0000000000000 1111111111111 φ 0000000000000 1111111111111 Sonne R 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 M Lösung: 6 (3 Punkte) 5 Name: .................................... Matrikelnummer: .................................... Gekoppelte Massen Zwei kleine Kugeln der Masse m sind über eine Feder (Federkonstante k, Ruhelänge l) und ein Seil (Gesamtlänge L), das über eine an der Decke befestigte Rolle (Radius R) geführt wird, miteinander verbunden. Die Anordnung befindet sich im Erdschwerefeld −g~ez . Es gelten die übliche Idealisierungen: keine Reibung in der Rollenachse; die Rolle, die Feder und das Seil sind masselos; sämtliche Bewegungen der Kugeln sind nur entlang der Vertikalen (z-Achse) möglich. a) Stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems auf. Als verallgemeinerte Koordinate benutzen Sie die Höhen z1 (t), z2 (t) der Kugel bezüglich des Rollenzentrums. (4 Punkte) b) Bestimmen Sie die Euler-Lagrange Gleichungen. (2 Punkte) c) Ist eine Bewegung ohne Schwingungen möglich? Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Euler-Lagrange Gleichungen. (4 Punkte) Lösung: 7