induktive statistik

Dr. Jürgen Senger
INDUKTIVE STATISTIK
Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
ÜBUNG 8 - LÖSUNGEN
1.
Wahrscheinlichkeit normalverteilter Zufallsvariablen mit μ = 0 und σ = 1
2
Die Werte werden der N(0,1)-Tabelle für die Standardnormalverteilung entnommen.
2.
a.
P ( X ≤ 2,38) = Φ ( 2,38) = 0,9913
b.
P ( X ≤ −1,22) = Φ ( −1,22) = 0,1112
c.
P ( X ≤ 1,92) = Φ (1,92) = 0,9726
d.
P ( X ≥ −2,8) = 1 − Φ ( −2,8) = 1 − 0,0026 = 0,9974
e.
P ( 2 ≤ X ≤ 10) = Φ (10) − Φ ( 2) = 1 − 0,9772 = 0,0228
Wahrscheinlichkeit normalverteilter Zufallsvariablen mit μ = 0,8 und σ 2 = 4
a.
⎛ 2,38 − 0,8 ⎞
⎛ 1,58 ⎞
P ( X ≤ 2,38) = Φ ⎜
⎟ = Φ⎜
⎟ = Φ (0,79) = 0,7852
2
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠
b.
⎛ − 1,22 − 0,8 ⎞
⎛ − 2,02 ⎞
P ( X ≤ −1,22) = Φ ⎜
⎟ = Φ⎜
⎟ = Φ (−1,01) = 0,1562
2
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠
c.
⎛ 1,92 − 0,8 ⎞
⎛ 1,12 ⎞
P ( X ≤ 1,92) = Φ ⎜
⎟ = Φ⎜
⎟ = Φ (0,56) = 0,7123
2
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠
d.
⎛ − 2,8 − 0,8 ⎞
P ( X ≥ −2,8) = 1 − P ( X ≤ −2,8) = 1 − Φ ⎜
⎟
2
⎝
⎠
= 1 − Φ (−1,8)
= 1 − 0,0359
= 0,9641
e.
⎛ 10 − 0,8 ⎞
⎛ 2 − 0,8 ⎞
P (2 ≤ X ≤ 10) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
= Φ (4,6) − Φ (0,6)
= 1 − 0,7257
= 0,2743
Senger – Induktive Statistik
ÜBUNG 8 - LÖSUNGEN
3.
2
Intervallgrenzen für gegebene Wahrscheinlichkeiten einer standardnormal2
verteilten Zufallsvariablen mit μ = 0 und σ = 1
a.
P ( X ≥ c) = 1 − P ( X ≤ c) = 1 − Φ (c) = 0,1
Φ (c) = 0,9
c = Φ −1 (0,9)
= 1,282
b.
P ( X ≤ c) = Φ (c) = 0,05
c = Φ −1 (0,05)
= −1,645
c.
P(0 ≤ X ≤ c) = Φ (c) − Φ (0) = 0,45
Φ (c) − 0,5 = 0,45
Φ (c) = 0,95
c = Φ −1 (0,95)
c = 1,645
d.
P (−c ≤ X ≤ c) = Φ(c) − Φ (−c) = 0,99
Φ (c) − [1 − Φ (c)] = 0,99
Φ (c) − 1 + Φ (c) = 0,99
2Φ (c) = 1 + 0,99
Φ (c ) =
1,99
= 0,995
2
c = Φ −1 (0,995)
c = 2,576
Unter Verwendung der Tabelle für symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervalle
ergibt sich:
Φ (c) − Φ (−c) = 0,99
D(c) = 0,99
c = D −1 (0,99)
c = 2,576
Senger – Induktive Statistik
ÜBUNG 8 - LÖSUNGEN
4.
3
Intervallgrenzen für gegebene Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten
2
Zufallsvariablen mit μ = –2 und σ = 0,25
a.
⎛c+2⎞
P ( X ≥ c) = 1 − P ( X ≤ c) = 1 − Φ ⎜
⎟ = 0,2
⎝ 0,5 ⎠
1 − Φ (2c + 4) = 0,2
Φ (2c + 4) = 0,8
2c + 4 = Φ −1 (0,8)
2c + 4 = 0,842
c=
b.
0,842 − 4
= −1,579
2
⎛ −1+ 2 ⎞
⎛ −c+2⎞
P (−c ≤ X ≤ −1) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟ = 0,5
⎝ 0,5 ⎠
⎝ 0,5 ⎠
Φ (2) − Φ (−2c + 4) = 0,5
0,9772 − Φ (−2c + 4) = 0,5
Φ (−2c + 4) = 0,4772
− 2c + 4 = Φ −1 (0,4772)
− 2c + 4 = −0,057
− 2c = −4 − 0,057
c=
4 + 0,057
2
c = 2,03
c.
⎛ −2−c+2⎞
⎛ −2+c+2⎞
P ( −2 − c ≤ X ≤ −2 + c ) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟ = 0,9
0,5
0,5
⎝
⎠
⎝
⎠
Φ (2c) − Φ (−2c) = 0,9
Φ (2c) − [ 1 − Φ (2c)] = 0,9
Φ (2c) − 1 + Φ (2c) = 0,9
2Φ (2c) − 1 = 0,9
Φ (2c) =
Senger – Induktive Statistik
1 + 0,9
= 0,95
2
ÜBUNG 8 - LÖSUNGEN
4
2c = Φ −1 (0,95)
2c = 1,645
c = 0,8225
Unter Verwendung der Tabelle für symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervalle
ergibt sich:
Φ (2c) − Φ (−2c) = 0,9
D(2c) = 0,9
2c = D −1 (0,9)
2c = 1,645
c = 0,8225
d.
⎛ −2−c+2⎞
⎛ −2+c+2⎞
P ( −2 − c ≤ X ≤ −2 + c ) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟ = 0,996
0,5
0,5
⎝
⎠
⎝
⎠
Φ (2c) − Φ (−2c) = 0,996
Φ (2c) − [1 − Φ (2c)] = 0,996
Φ (2c) − 1 + Φ (2c) = 0,996
2Φ (2c) − 1 = 0,996
Φ ( 2c ) =
1 + 0,996
= 0,998
2
2c = Φ −1 (0,998)
2c = 2,878
c = 1,439
Unter Verwendung der Tabelle für symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervalle
ergibt sich:
Φ (2c) − Φ (−2c) = 0,996
D(2c) = 0,996
2c = D −1 (0,996)
2c = 2,878
c = 1,439
Senger – Induktive Statistik
ÜBUNG 8 - LÖSUNGEN
5.
5
Brenndauer einer zufällig entnommenen Glühbirne
Die Brenndauer der Glühbirnen sei normalverteilt mit dem Mittelwert μ = 900 Std.
und der Standardabweichung σ = 100 Std.
a.
⎛ 1200 − 900 ⎞
P ( X ≥ 1200) = 1 − P( X ≤ 1200) = 1 − Φ ⎜
⎟
100
⎝
⎠
= 1 − Φ (3)
= 1 − 0,9987
= 0,0013
b.
⎛ 650 − 900 ⎞
P ( X ≤ 650) = Φ ⎜
⎟ = Φ (−2,5) = 0,0062
⎝ 100 ⎠
c.
⎛ 1050 − 900 ⎞
⎛ 750 − 900 ⎞
P (750 ≤ X ≤ 1050) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟
100
⎝
⎠
⎝ 100 ⎠
= Φ (1,5) − Φ (−1,5)
= Φ (1,5) − [1 − Φ (1,5)]
= Φ (1,5) − 1 + Φ (1,5)
= 2Φ (1,5) − 1
= 2 ⋅ 0,9332 − 1
= 1,8664 − 1
= 0,8664
Mit der Tabelle für symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervalle ergibt sich:
= Φ (1,5) − Φ (−1,5)
= D(1,5)
= 0,8664
6.
Ausschußanteil bei Bolzen
Die Länge der Bolzen, die auf einer bestimmten Maschine erzeugt werden, ist annahmegemäß normalverteilt mit μ = 100mm und σ = 0, 2 mm .
Gegeben sind verschiedene Sollwerte für die Länge der Bolzen. Als Ausschuß gelten solche Bolzen, die die Sollvorgaben nicht erfüllen.
Senger – Induktive Statistik
ÜBUNG 8 - LÖSUNGEN
a.
6
Wenn die Bolzen mindestens 99,7 mm lang sein sollen, dann sind alle Bolzen
Ausschuß, die kürzer als 99,7mm sind. Zu berechnen ist also die Wahrscheinlichkeit:
⎛ 99,7 − 100 ⎞
P ( X < 99,7) = Φ ⎜
⎟ = Φ (−1,5) = 0,0668
0,2
⎝
⎠
b.
Wenn die Bolzen höchstens 100,5 mm lang sein sollen, sind alle Bolzen Ausschuß, die länger als 100,5mm sind. Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit:
⎛ 100,5 − 100 ⎞
P ( X > 100,5) = 1 − P( X ≤ 100,5) = 1 − Φ ⎜
⎟
0,2
⎝
⎠
⎛ 0,5 ⎞
= 1− Φ ⎜
⎟
⎝ 0,2 ⎠
= 1 − Φ (2,5)
= 1 − 0,9938
= 0,0062
c.
Wenn die Bolzen höchstens um 0,3 mm vom Sollwert 100mm abweichen dürfen
99,7 ≤ X ≤ 100,3
dann sind alle Bolzen Ausschuß, die um mehr als 0,3mm vom Sollwert abweichen, die also kürzer als 99,7mm oder länger als 100,3mm sind. Zu berechnen
ist die Wahrscheinlichkeit:
⎡ ⎛ 100,3 − 100 ⎞
⎛ 99,7 − 100 ⎞⎤
P = 1 − P (99,7 ≤ X ≤ 100,3) = 1 − ⎢Φ ⎜
⎟⎥
⎟ − Φ⎜
0,2
0,2
⎠⎦
⎝
⎠
⎣ ⎝
= 1 − [ Φ (1,5) − Φ (−1,5)]
= 1 − 0,8664 = 0,1336
7.
Punkteverteilung bei Statistikklausur
Bei einer Statistikklausur betrug die mittlere Punktzahl μ = 65 und die Standardabweichung σ = 15. Es wird angenommen, daß die Punktzahl annähernd normalverteilt ist.
a.
⎛ 50 − 65 ⎞
P ( X < 50) = F (50) = Φ ⎜
⎟ = Φ (−1) = 0,1587
⎝ 15 ⎠
Senger – Induktive Statistik
ÜBUNG 8 - LÖSUNGEN
b.
⎛ 95 − 65 ⎞
P ( X ≥ 95) = 1 − P( X ≤ 95) = 1 − Φ ⎜
⎟
⎝ 15 ⎠
= 1 − Φ (2)
= Φ (−2)
= 0,0228
c.
⎛ 80 − 65 ⎞
⎛ 50 − 65 ⎞
P (50 ≤ X ≤ 80) = F (80) − F (50) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟
⎝ 15 ⎠
⎝ 15 ⎠
= Φ (1) − Φ (−1)
= Φ (1) − [1 − Φ (1)]
= 2Φ (1) − 1
= 2 ⋅ 0,8413 − 1
= 0,6827
Mit der Tabelle für symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervalle ergibt sich:
⎛ 80 − 65 ⎞
⎛ 50 − 65 ⎞
P (50 ≤ X ≤ 80) = F (80) − F (50) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟
⎝ 15 ⎠
⎝ 15 ⎠
= Φ (1) − Φ (−1)
= D(1)
= 0,6827
Senger – Induktive Statistik
7