Ubungen zu Fana1 SS16, 5. ¨Ubung

Übungen zu Fana1 SS16, 5. Übung
1. Sei 0 < p < 1. Zeige: Ist V ⊆ L p (0, 1) Umgebung von 0, und ist V konvex, so
folgt V = L p (0, 1).
Zeigen Sie damit, dass es keine stetige lineare Abbildung f : L p (0, 1) → C geben
kann (außer der Nullabildung).
Hinweis: Sei V konvexe Nullumgebung, r > 0, sodass Ur (0) := {g ∈ L p (0, 1) :
∆(g) < r} ⊆ V (vgl. Bsp. 2.3.11). Sei f ∈ L p (0, 1). Wähle n ∈ N mit n p−1 ∆( f ) <
Rxi
r, 0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 mit
| f (t)| p dt = n−1 ∆( f ) und setze gi (t) :=
xi−1
n f (t)1[xi−1 ,xi ] , sodass f = n−1 (g1 + . . . + gn ).
2. Sei (X, k.k) ein normierter nicht vollständiger Raum und (X̂, k.k) eine Vervollständigung davon mit oBdA. X ⊆ X̂.
Man zeige, dass f 7→ f |X ein isometrischer Isomorphismus von (X̂)0 auf X 0 ist.
Man zeige σ((X̂)0 , X̂) ) σ((X̂)0 , X) auf (X̂)0 und, dass die Spurtopologien
σ((X̂)0 , X̂)|B und σ((X̂)0 , X)|B auf B übereinstimmen, wobei B ⊆ (X̂)0 beschränkt
ist.
Hinweis: Ist O ⊆ B bzgl. σ((X̂)0 , X̂)|B offen und f ∈ O, so gibt es x1 , . . . , xn ∈
X̂, > 0 mit {g ∈ (X̂)0 : | f (x j )−g(x j )| < 2, j = 1, . . . , n}∩B ⊆ O. Nun verwende
man die Dichtheit von X in X̂, um geeignete y1 , . . . , yn ∈ X zu finden, sodass
{g ∈ (X̂)0 : | f (y j ) − g(y j )| < , j = 1, . . . , n} ∩ B ⊆ {g ∈ (X̂)0 : | f (x j ) − g(x j )| <
2, j = 1, . . . , n} ∩ B.
3. Sei X ein normierter Raum. Man zeige, dass jede in X schwach – dh. bzgl.
σ(X, X 0 ) – konvergente Folge (!!) bezüglich der Norm auf X beschränkt ist!
4. (a) Man zeige: Jeder Hilbertraum ist reflexiv.
(b) Man zeige: Sei H ein Hilbertraum und xn , n ∈ N, eine Folge in H. Dann
w
gilt xn → x, d.h. bezüglich der schwachen Topologie, genau dann, wenn für
jedes y ∈ H gilt (xn , y) → (x, y).
w
(c) Finde im Hilbertraum `2 (N) eine Folge (xn )n∈N mit xn → 0, kxn k = 1. Konvergiert dann (xn )n∈N auch bzgl. der Norm gegen 0?
5. Zeigen Sie, dass für einen Banachraum (X, k.k) immer X 000 = τ(X 0 )+̇(ι(X))⊥
(bzgl. (X 00 , X 000 )), wobei τ : X 0 → X 000 die Abbildung ist, die einem f ∈ X 0
die Abbildung τ( f ) : X 00 3 z 7→ z( f ) ∈ C zuordnet.
Hinweis: Für F ∈ X 000 ist X 3 x 7→ F(ι(x)) ein Element f von X 0 . Was erfüllt
dann F − τ( f )?
6. Man zeige: Jeder Banachraum X ist isometrisch isomorph zu einem abgeschlossenen Teilraum eines Raumes der Form C(K), wobei K ein gewisser (von X
abhängiger) kompakter Hausdorffraum ist.
Hinweis: ι : X → X 00 und Banach-Alaoglu.
7. Sei (X, k.k) ein normierter Raum. Zeigen Sie, dass ι : X → ι(X) (⊆ X 00 ) ein
Homöomorphismus ist, wenn man X mit σ(X, X 0 ) und ι(X) mit σ(X 00 , X 0 )|ι(X)
versieht!
8. Ein normierter Raum X heißt reflexiv, wenn ι(X) = X 00 .
Zeigen Sie zunächst, dass jeder reflexive normierte Raum vollständig ist!
Für einen normierten Raum X zeige man die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) X ist reflexiv;
(ii) X 0 ist reflexiv und X ist ein Banachraum;
(iii) Die abgeschlossene Einheitskugel K1X (0) von X ist w-kompakt, d.h. kompakt bezüglich σ(X, X 0 ).
Hinweis: Verwenden Sie Banach-Alaoglu und Goldstine! Außerdem stimmen
schwache und schwach*-Topologie auf X 00 überein und infolge stimmt der
schwach*-Abschluss einer konvexen Menge mit dem Normabschluss überein,
wenn X 0 reflexiv ist. Warum?