Kapitel 1 Lineare Gleichungssysteme

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Kapitel 1 Lineare Gleichungssysteme
1. Lineare Gleichungssysteme, Gauß - Algorithmus
Die Aufgabenstellungen in der Linearen Algebra werden durch lineare Gleichungssysteme
modelliert. Das klassische Werkzeug zur Lösung solcher Gleichungssysteme ist der Gauß –
Algorithmus. Dieser Algorithmus ist eine spezielle Form des Additionsverfahrens:
Gleichungssystem
Nebenrechnungen
(1) x1 + 2x 2 − 4x 3 = − 6
(2) 2x1 + x 2 + 3x 3 = 5
(3) 3x1 + 3x 2 − 2x 3 = − 2
Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit −2 und addieren Sie diese Gleichung zu Gleichung (2):
............................................................ 
+
............................................................ 
(4) .......................................................
Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit −3 und addieren Sie diese Gleichung zu Gleichung (3):
............................................................ 
+
............................................................ 
(5) .......................................................
(1) …………………………..
(4) …………………………..
(5) …………………………..
Multiplizieren Sie die Gleichung (4) mit −1 und addieren
Sie diese Gleichung zu Gleichung (5):
............................................................ 
+
............................................................ 
(6) .......................................................
(1) …………………………..
(4) …………………………..
(6) …………………………..
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Das aus den Gleichungen (1), (4) und (6) bestehende Gleichungssystem hat Diagonalstruktur;
seine Lösungsmenge {x1 , x 2 , x 3} lässt sich durch Rückeinsetzen sofort ermitteln:
x 3 = .......... ; x 2 = .......... ; x1 = ...........
Alle auftretenden Gleichungssysteme sollten mit diesem Algorithmus gelöst werden, damit
ein geeignet organisierter Lösungsprozess gewährleistet ist. Dabei wird es nur in wenigen
Fällen erforderlich sein, die Nebenrechnungen explizit aufzuschreiben. Die Aufgaben sind so
ausgewählt, dass fast alle Gleichungen mit ganzen Zahlen aufgeschrieben werden können.
Um das Rechnen mit ganzen Zahlen zu gewährleisten, kann es gelegentlich zweckmäßig sein,
die Reihenfolge der Gleichungen im Verlauf der Rechnung zu ändern:
Arbeitsauftrag: Lösen Sie das Gleichungssystem
(1) 2x1 + 3x 2 − x 3 = −5
(2) 2x1 + 6x 2 + x 3 = −9
(3) 4x1 + 5x 2 + 4x 3 = −2
mit Gauß – Algorithmus.
Erster Rechenschritt:
1. Schreiben Sie die Gleichung (1) ab.
2. Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit −1 und addieren Sie diese Gleichung zur Gleichung (2).
3. Multiplizieren Sie die Gleichung (1) mit −2 und addieren Sie diese Gleichung zur Gleichung (3):
(1a) ………………………………………...
(2a) ………………………………………...
(3a) ………………………………………...
Zweiter Rechenschritt:
1. Schreiben Sie die Gleichung (1a) ab.
2. Vertauschen Sie die Gleichungen (2a) und (3a):
(1b) ………………………………………...
(2b) ………………………………………...
(3b) ………………………………………...
Dritter Rechenschritt:
1. Schreiben Sie die Gleichungen (1b) und (2b) ab.
2. Multiplizieren Sie die Gleichung (2b) mit 3 und addieren Sie diese Gleichung zur Gleichung (3b):
(1c) ………………………………………...
(2c) ………………………………………...
(3c) ………………………………………...
Vierter Rechenschritt:
Geben Sie die Lösungsmenge {x1 , x 2 , x 3} des Gleichungssystems an:
(4)
x 3 = .......... ; x 2 = .......... ; x1 = ..........
6
Aufgabe 1: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus:
1.
x1 − x 2 − 2x 3 = 2
x1 + x 2 + 3x 3 = 12
2.
3x1 − 2x 2 + x 3 = 4
2x1 − x 2
3.
x1 + 3x 2 + x 3 = 10
=2
x1 − x 2 − x 3 = 1
3x1 + x 2 + x 3 = 8
4.
x1 +
x2 +
x3 = 6
2x1 − x 2 + x 3 = 6
0, 2 x1 + 0,3 x 2 + 0,3 x 3 = 1, 7
3x1 − x 2 + 3x 3 = 11
0, 4 x1 + 0, 2 x 2 + 0, 2 x 3 = 1, 4
Hinweise:
a) Für die ersten beiden Gleichungssysteme lassen sich eindeutig bestimmte
Lösungen x 3 , x 2 und x1 angeben.
b) Das dritte Gleichungssystem erfordert beim Gauß – Algorithmus nur einen
Rechenschritt, es hat unendlich viele Lösungen. Sie können diese Lösungen
aufschreiben, indem Sie x 3 „setzen“ und x1 und x 2 durch x 3 ausdrücken.
c) Beim vierten Gleichungssystem ist es sinnvoll, die zweite und die dritte
Gleichung zunächst mit 10 zu multiplizieren. Dieses Gleichungssystem hat
ebenfalls unendlich viele Lösungen. Sie können diese Lösungen aufschreiben, indem Sie x 3 „setzen“ und x 2 durch x 3 ausdrücken; für x1 ergibt sich
ein konkreter Wert.
Aufgabe 2: Kai und Jens kaufen Proviant für eine Klassenfahrt ein: Kai kauft zwei Tafeln
Schokolade, drei Müsli – Riegel und drei Flaschen Mineralwasser; Jens kauft
vier Tafeln Schokolade, vier Müsli – Riegel und vier Flaschen Mineralwasser.
Sven möchte ebenfalls noch für die Klassenfahrt einkaufen und fragt Kai und
Jens nach den Preisen. Beide erinnern sich nicht mehr an die Einzelpreise. Kai
erinnert sich jedoch, dass er insgesamt 7 € ausgegeben hat, und Jens erinnert
sich, dass er insgesamt 10 € ausgegeben hat.
1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für den Preis x1 einer Tafel Schokolade,
den Preis x 2 eines Müsli – Riegels und den Preis x 3 einer Flasche Mineralwasser auf.
2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus. (Es ist nur ein
Rechenschritt erforderlich.)
3. Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, wenn der Preis
eines Müsli – Riegels bekannt ist.
Aufgabe 3: (Magische Quadrate) Überprüfen Sie, ob es reelle Zahlen x1 , ... , x 4 gibt, so
dass
x1
x2
x3
x4
a) die Zeilen- und Spaltensummen den Wert 0 haben
b) die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen den Wert 0 haben
c) die Zeilen- und Spaltensummen einen Wert k ≠ 0 haben.
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2. Die Vektor – Schreibweise für lineare Gleichungssysteme
Wir haben in Abschnitt 1 die einzelnen Gleichungen der linearen Gleichungssysteme in der
Form
a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b
geschrieben. Alle Gleichungen sind von diesem Typ, d.h. die Terme auf der linken Seite sind
sog. Linearkombinationen von x1 , ... , x n . Die Terme unterscheiden sich nur in den Koeffizienten a1 , ... , a n . Diese gleichartige Struktur der Terme wird in der folgenden Schreibweise
deutlicher zum Ausdruck gebracht:
 a11 L

 M

 a m1 L
a1n   x1   b1 
    
M  ⋅  M =  M
    
a mn   x n   b m 
a11x1 + ... + a1n x n = b1
⇔
M
a m1x1 + ... + a mn x n = b m
Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten lässt sich also in der
Form
A⋅x = b
schreiben.
Dabei ist A eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, kurz (m; n) – Matrix, und x und b sind
Spaltenvektoren mit n bzw. m Komponenten; Schreibweise: x ∈ n , b ∈ m .
Bei zahlreichen Anwendungsaufgaben in den folgenden Kapiteln wird A eine quadratische
Matrix sein, so dass m = n.
In den beiden folgenden Aufgaben soll zunächst nur der formale Umgang mit Matrizen und
Spaltenvektoren geübt werden. Das eigentliche Lösungsverfahren, nämlich der Gauß – Algorithmus, ist aus Abschnitt 1 bekannt und vertraut:
Aufgabe 1: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:
 1 2  ⋅  x1  =  5  ;
 −3 1   x   −8 

  2  
 3 1  ⋅  x1  =  0 
 6 4   x   −6 

  2  
Arbeitsanleitungen:
1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme.
2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus.
3. Schreiben Sie die Lösungen als Spaltenvektoren, also in der Form
x
x =  1 
 x2 
Aufgabe 2: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:
 1 2 −4   x1   −6 
 2 1 3  ⋅  x2  =  5  ;
 3 3 −2   x   −2 

  3  
 −1 1 2   x1   −2 
 3 −2 1  ⋅  x 2  =  4 
 2 −1 0   x   2 

  3  
−1
−1   x1   0 
 1
 0, 2 0,1 0, 2  ⋅  x 2  =  0, 7  ;
 0, 2 −0,1 −0,1  x   0, 2 

  3 

 1 −1 2   x1   1 
 0, 2 0,1 0,1  ⋅  x 2  =  −0,1
 0,3 0 0, 4   x   0,1 

  3 

8
3. Rechnen mit Vektoren
Wir haben in Abschnitt 2 gesehen, dass die Gleichung
 1 2  ⋅  x1  =  5 
 −3 1   x   −8 

  2  
den Lösungsvektor
3
x =  
1
 
besitzt. Die Komponenten x1 = 3 und x 2 = 1 dieses Vektors x ∈
Koordinatensystem den Punkt P(3 /1) .
Unter dem Vektor x wollen wir geometrisch denjenigen Pfeil im
punkt zum Punkt P(3/1) zeigt:
3
x =  
1
 
2
2
beschreiben in einem
verstehen, der vom Null-
P(3/1)
Wir haben also eine eindeutige Zuordnung zwischen einem Punkt und einem Spaltenvektor:
x
P(x1 / x 2 ) ↔ x =  1 
 x2 
Auf der Grundlage dieser Zuordnung werden wir in der Lage sein, geometrische Probleme
algebraisch zu lösen, indem wir
a) das geometrische Problem in ein algebraisches Problem übersetzen
b) das algebraische Problem lösen
c) die algebraische Lösung geometrisch interpretieren.
Das folgende Diagramm veranschaulicht diese Arbeitsweise:
geometrisches
Problem
algebraisches
Problem
Lösung des
geometrischen
Problems
Lösung des
algebraischen
Problems
Wenn wir geometrische Probleme algebraisch lösen wollen, müssen wir in der Lage sein, mit
Vektoren zu rechnen:
9
Definition: Vektoren
x 
y 
x = 1, y= 1
x
 2
 y2 
werden addiert, indem die Komponenten addiert werden:
x  y   x +y 
x + y = 1 + 1  = 1 1 
 x 2   y2   x 2 + y2 
Die folgende Aufgabe erklärt geometrisch, wie zwei Vektoren addiert werden:
Aufgabe 1: Sei
6
 −3 
x = ; y= 
 2
2
Berechnen Sie die Summe x + y der Vektoren x und y und bestätigen Sie, dass
die folgende Skizze die Addition der Vektoren geometrisch beschreibt.
y
x+y
x
Auf der Grundlage dieses Resultats kann jetzt die folgende Aufgabe zur Addition von Vektoren bearbeitet werden:
Aufgabe 2: Sei
3
1
a) x =   ; y =  
1
 
 4
8
−5
b) x =   ; y =  
3
 
 2
3
1
c) x =   ; y =  
8
−
 
 5
Berechnen Sie die Summe x + y der Vektoren x und y und veranschaulichen Sie
die Addition geometrisch.
Für die Addition von Vektoren gelten Rechengesetze, die wir in dem folgenden Satz zusammenfassen:
Satz 1.1: Für Vektoren x, y und z gilt:
x+y = y+x
(x + y) + z = x + (y + z)
(Kommutativgesetz)
(Assoziativgesetz)
Beweis: Schreiben Sie die Vektoren als Spaltenvektoren und wenden Sie die Definition der
Addition an.
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Die Definition der Addition von Vektoren können wir ohne weiteres auf die Subtraktion von
Vektoren übertragen:
Definition: Vektoren
x 
y 
x = 1, y= 1
 x2 
 y2 
werden subtrahiert, indem die Komponenten subtrahiert werden:
x  y   x −y 
x − y =  1 − 1  =  1 1 
 x 2   y2   x 2 − y2 
Aus dieser Definition wird allerdings nicht sofort ersichtlich, wie die Subtraktion geometrisch
zu erklären ist. Zu diesem Zweck müssen wir die Subtraktion auf die Addition zurückführen.
Dabei hilft uns die folgende
Definition: Der Vektor
 −x 
−x =  1 
 −x 2 
heißt der Gegenvektor des Vektors
x 
x = 1
 x2 
Die folgende Skizze zeigt den Gegenvektor − x eines Vektors x im Koordinatensystem:
x
−x
Mithilfe eines solchen Gegenvektors können wir jetzt die Subtraktion zweier Vektoren geometrisch erklären:
Aufgabe 3: Erklären Sie geometrisch
a) anhand eines geeigneten Beispiels
b) allgemein
den Differenzvektor x − y zweier Vektoren x und y, indem Sie den Gegenvektor
von y zu x addieren.
Aufgabe 4: Berechnen Sie die Differenz x − y der Vektoren x und y und veranschaulichen
Sie die Ergebnisse in einem Koordinatensystem:
2
3
a) x =   ; y =  
1
6
 
 
6
1
b) x =   ; y =  
2
 
5
−2
5
c) x =   ; y =  
1
 
 3
11
Die folgende Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition des Gegenvektors:
Definition: Ein Vektor
x 
x = 1
 x2 
wird mit einer reellen Zahl t multipliziert, indem die Komponenten von x
mit t multipliziert werden:
 x   t ⋅ x1 
t ⋅ x = t ⋅ 1  = 

 x2   t ⋅ x2 
Die folgenden Skizzen veranschaulichen die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen
Zahl:
t⋅x
t⋅x
x
t >1
x
0 < t <1
Aufgabe 5: Berechnen Sie die folgenden Summen und Differenzen von Vektoren und veranschaulichen Sie die Ergebnisse in einem Koordinatensystem:
 4 +  2 ;
 2  3
   
5 −  2 ;
 3  1 
   
 5  +  −3  ; 2 ⋅  2  + 3 ⋅  1 
1
 2
1  2 
 
 
   
 4  −  −1  ; 2 ⋅  1  − 3 ⋅  −1
 −2   −3 
 −1
2
   
 
 
Für die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen gelten ebenfalls Rechengesetze, die
wir in dem folgenden Satz zusammenfassen:
Satz 1.2: Für Vektoren x, y und reelle Zahlen s, t gilt:
s(tx) = (st) x
(Assoziativgesetz)
s(x + y) = sx + sy
(Distributivgesetz)
(s + t) x = sx + tx
(Distributivgesetz)
Beweis: Schreiben Sie wie beim Beweis von Satz 1.1 die Vektoren wieder als Spaltenvektoren und wenden Sie die Definitionen der Addition von Vektoren und der Skalarmultiplikation an.
Die in diesem Abschnitt formulierten Definitionen und Rechengesetze für Vektoren sind allgemeingültig; sie gelten für Vektoren im n . Die Beschränkung auf zwei Komponenten hatte
lediglich den Vorteil der einfachen geometrischen Veranschaulichung (die für n > 3 ohnehin
nicht mehr möglich ist).
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4. Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme
Wir sind jetzt in der Lage, die Lösungsvektoren solcher Gleichungen aufzuschreiben, die unendlich viele Lösungen besitzen:
Aufgabe 1: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:
 3 −1  ⋅  x1  =  0  ;
 6 −2   x   0 

  2  
 2 −1 ⋅  x1  =  3 
 −4 2   x   −6 

  2  
Arbeitsanleitungen:
1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme.
2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus.
3. „Setzen“ Sie x1 , drücken Sie jeweils x 2 durch x1 aus und zeigen Sie, dass
sich die Lösungsvektoren in der Form
x
x
1
1
0
x =  1  = x1   bzw. x =  1  = x1   −  
x
3
x
2
 
   3
 2
 2
schreiben lassen.
Da x1 dabei frei wählbar ist (x1 ∈ ¡ , falls keine zusätzlichen Einschränkungen vorgegeben
sind), kann x1 durch eine neutrale Notation ersetzt werden, z.B. durch t. Mit dieser Notation
sind dann
1
1
0
x = t   bzw. x = t   −   ; t ∈ ¡
3
2
 
  3
die Lösungsvektoren der beiden Gleichungen.
In dieser Form lassen sich auch Lösungsvektoren schreiben, die mehr als zwei Komponenten
besitzen:
Aufgabe 2: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:
 1 −1 1   x1   0 
 2 −1 0  ⋅  x  =  0  ;
 0 2 −4   x 2   0 

  3  
 1 0 −1   x1   0 
 0 1 −2  ⋅  x  =  2 
 2 2 −6   x 2   4 

  3  
Arbeitsanleitungen:
1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme.
2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus.
3. „Setzen“ Sie x 3 , drücken Sie jeweils x 2 und x1 durch x 3 aus und zeigen
Sie, dass sich die Lösungsvektoren in der Form
1
0
1
x = x 3  2  bzw. x =  2  + x 3  2 
1
0
1
 
 
 
schreiben lassen.
4. Ersetzen Sie x 3 durch eine neutrale Notation, z.B. durch t.
In diesen Aufgaben wurde also jeweils eine Variable „gesetzt“, und die beiden übrigen Variablen wurden durch diese Variable ausgedrückt.
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Aufgabe 3: Berechnen Sie die Lösungsvektoren der folgenden Gleichungen:
 1 −2 1   x1   0 
 −1 2 −1  ⋅  x  =  0  ;
 2 −4 2   x 2   0 

  3  
 −1 3 −1   x1   1 
 3 −9 3  ⋅  x 2  =  −3 
 −2 6 −2   x   2 

  3  
Arbeitsanleitungen:
1. Schreiben Sie die Gleichungen als Gleichungssysteme.
2. Lösen Sie die Gleichungssysteme mit Gauß – Algorithmus.
3. „Setzen“ Sie x 2 und x 3 , drücken Sie jeweils x1 durch x 2 und x 3 aus und
zeigen Sie, dass sich die Lösungsvektoren in der Form
 2
 −1
 −1
 3
 −1
x = x 2  1  + x 3  0  bzw. x =  0  + x 2  1  + x 3  0 
0
1
0
0
1
 
 
 
 
 
schreiben lassen.
4. Ersetzen Sie x 2 und x 3 durch neutrale Notationen, z.B. durch r und s.
In dieser Aufgabe wurden also jeweils zwei Variable „gesetzt“, und die dritte Variable wurde
durch diese beiden Variablen ausgedrückt.
Aufgabe 4: Ein Metall verarbeitender Betrieb möchte 100 kg einer Aluminium – Legierung
herstellen, die 2,5 % Chrom und 4 % Titan enthält. Da reines Chrom und Titan
sehr teuer sind, will der Betrieb versuchen, aus bereits erhältlichen Legierungen
die gewünschte Mischung herzustellen.
Auf dem Markt werden vier Legierungen angeboten, deren Chrom- und Titangehalt der folgenden Tabelle zu entnehmen sind:
L1
L2
Chrom
1%
2%
Titan
5%
1%
L3
L4
4%
4%
3%
1. Stellen Sie ein (aus drei Gleichungen bestehendes) Gleichungssystem für
die benötigten Mengen x1 ,  , x 4 der einzelnen Legierungen auf (in kg)
und schreiben Sie dieses Gleichungssystem in der Form A ⋅ x = b .
2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und zeigen Sie,
dass sich der Lösungsvektor x in der Form
 150   −2 
 50   −1 
x =
+t
−100   2 
 0  1

  
schreiben lässt.
3. Zeigen Sie, dass der Lösungsvektor x nur für t = 50 definiert ist, und geben
Sie die Zusammensetzung der gesuchten Legierung an.
Anleitung:
Beachten Sie, dass t nicht alle reellen Zahlen annehmen kann. Vielmehr müssen die Voraussetzungen 0 ≤ x i ≤ 100 für alle x i erfüllt sein.
14
Aufgabe 5: Edelstahl ist eine Legierung, die sich aus Eisen, Nickel und Chrom zusammensetzt. Ein Unternehmen der Stahlindustrie möchte 400 Tonnen Edelstahl herstellen, der 8,5% Nickel und 19% Chrom enthält. Dazu kann es auf drei auf dem
Markt angebotene Legierungen zurückgreifen, deren Nickel- und Chromgehalt
der folgenden Tabelle zu entnehmen ist:
L1
L2
L3
Eisen
70 %
72 %
74 %
Nickel
6%
8%
10 %
Chrom
24 %
20 %
16 %
1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen x1 , x 2 und x 3
der einzelnen Legierungen auf (in t) und schreiben Sie das Gleichungssystem in der Form A ⋅ x = b .
2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und geben Sie
den Lösungsvektor x an.
3. Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Voraussetzungen 0 ≤ x i ≤ 400 .
4. Überprüfen Sie, ob sich der Edelstahl mit den gewünschten Nickel- und
Chromanteilen mit lediglich zwei Legierungen herstellen lässt.
Aufgabe 6: Ein Gartenbaubetrieb hat in den vergangenen Jahren mit einem Rasendünger
gearbeitet, der 10% Kalium und 18% Stickstoff enthielt. Mit diesem Dünger hat
der Betrieb gute Erfahrungen gemacht.
Der Lieferant hat die Herstellung dieses Düngers eingestellt. Der Betrieb erwägt
daher, aus anderen Sorten 1,5 Tonnen Dünger mit 10% Kalium und 18% Stickstoff zu mischen. Die Angaben der Hersteller dieser Sorten sind der folgenden
Tabelle zu entnehmen:
D1
D2
D3
D4
Kalium
6%
8%
14%
14%
Stickstoff
25%
20%
15%
10%
Phosphat
4%
5%
6%
12%
Magnesium
3%
2%
2%
1%
1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen x1 , ... , x 4 der
einzelnen Düngersorten auf (in kg) und schreiben Sie das Gleichungssystem
in der Form A ⋅ x = b .
2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und geben Sie
den Lösungsvektor x an.
3. Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Voraussetzungen 0 ≤ x i ≤ 1500 .
4. Überprüfen Sie, welche Lösungen den Einsatz von möglichst wenigen Düngersorten erfordern.
15
Aufgabe 7: Bei chemischen Prozessen wird häufig Wasserstoff als Reduktionsmittel eingesetzt, weil er sich leicht mit Sauerstoff verbindet.
Mithilfe von Wasserstoff lassen sich Metalloxide zu Metallen reduzieren. So
beschreibt z.B. die Reaktionsgleichung
Zn O + H 2 → Zn + H 2 O
wie Zinkoxid zu Zink reduziert wird: Wenn 1 mol Zinkoxid reduziert wird, entsteht 1 mol Zink; bei dieser Reduktion fällt Wasser als Rest an.
Die Gleichung x1 Zn O + x 2 H 2 → x 3 Zn + x 4 H 2 O hat also den Lösungsvektor
 x1  1
 x  1
x = 2= 
x
1
 x 3  1
 4  
1. Lösen Sie die Reaktionsgleichung
x1 Fe 2 O3 + x 2 H 2 → x 3 Fe + x 4 H 2 O
bei der Reduktion von Eisenoxid zu Eisen.
Anleitung: Beachten Sie, dass die Anzahlen der Fe − , H − und O – Atome
vor und nach der Reduktion gleich sind.
a) Formulieren Sie also drei Gleichungen (für Fe, H und O) mit
den vier Unbekannten x1 , ... , x 4 .
b) Schreiben Sie das Gleichungssystem in der Form A ⋅ x = b .
c) Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus
und zeigen Sie, dass sich der Lösungsvektor x in der Form
1
 3
x = t   ; t∈¥
2
 3 
 
schreiben lässt.
d) Begründen Sie die Bedingung t ∈ ¥ .
e) Geben Sie die Lösung der Reaktionsgleichung mit möglichst
kleinen natürlichen Zahlen an.
2. Lösen Sie die Reaktionsgleichung
x1 Cu O + x 2 H 2 → x 3 Cu + x 4 H 2 O
bei der Reduktion von Kupferoxid zu Kupfer.
Der Ausgangsstoff zur technischen Gewinnung des für diese Reduktionen benötigten Wasserstoffs ist entweder Wasser oder Erdgas:
3. Wird Wasserdampf über glühende Kohle geleitet oder mit Erdgas (Methan)
umgesetzt, dann wird Wasser zu Wasserstoff reduziert.
Lösen Sie die Reaktionsgleichungen
x1 C
+ x 2 H 2 O → x 3 H 2 + x 4 CO
x1 CH 4 + x 2 H 2 O → x 3 H 2 + x 4 CO
16
5. Homogene lineare Gleichungssysteme
Inzwischen wissen wir, dass sich lineare Gleichungssysteme entweder in der Form A ⋅ x = 0
oder in der Form A ⋅ x = b mit b ≠ 0 schreiben lassen. In diesem Abschnitt wollen wir die
linearen Gleichungssysteme vom Typ A ⋅ x = 0 theoretisch etwas näher betrachten.
Definition: Ein lineares Gleichungssystem vom Typ A ⋅ x = 0 heißt homogenes lineares
Gleichungssystem.
Die Struktur der Lösungsvektoren homogener Gleichungssysteme ergibt sich entscheidend
aus den sog. Linearitätseigenschaften der Matrix – Vektor – Multiplikation:
Satz 1.3: Sei A eine (m; n) – Matrix. Seien x, y ∈
n
; sei t ∈ . Dann gilt:
(1) A ⋅ (x + y) = A ⋅ x + A ⋅ y
(2)
A ⋅ (tx) = t ⋅ (A ⋅ x)
Beweis von (1): Sei also A eine (m; n) – Matrix, seien x, y ∈
n
. Dann gilt:
 a11  a1n    x1   y1  

    
A ⋅ (x + y) =  
  ⋅    +   

      
 a m1  a mn    x n   y n  
 a11  a1n   x1 + y1 

 

= 
 ⋅  

 

 a m1  a mn   x n + y n 
 a11 (x1 + y1 ) +  + a1n (x n + y n ) 


=




 a m1 (x1 + y1 ) +  + a mn (x n + y n ) 
 (a11x1 +  + a1n x n ) + (a11y1 +  + a1n y n ) 


=




 (a m1x1 +  + a mn x n ) + (a m1y1 +  + a mn y n ) 
 a11x1 +  + a1n x n   a11y1 +  + a1n y n 

 

=


+


 

 a m1x1 +  + a mn x n   a m1y1 +  + a mn y n 
 a11  a1n   x1 
 a11  a1n   y1 
  

  

= 
 ⋅   +  
 ⋅  
  

  

 a m1  a mn   x n 
 a m1  a mn   y n 
= A⋅x + A⋅y
Beweis von (2): Übungsaufgabe.
17
Aus diesen Linearitätseigenschaften ergibt sich unmittelbar der folgende Satz über die Lösungsvektoren homogener linearer Gleichungssysteme:
Satz 1.4: Sind u und v Lösungsvektoren des homogenen linearen Gleichungssystems
A ⋅ x = 0, dann sind auch
(1) u + v
(2) t ⋅ u (t ∈ )
Lösungsvektoren.
Beweis von (1): Seien also u und v Lösungsvektoren des Gleichungssystems A ⋅ x = 0. Das
bedeutet, dass die Gleichungen A ⋅ u = 0 und A ⋅ v = 0 erfüllt sind. Satz 1.3
liefert dann
A ⋅ (u + v) = A ⋅ u + A ⋅ v = 0 + 0 = 0
so dass auch u + v ein Lösungsvektor des Gleichungssystems ist.
Beweis von (2): Übungsaufgabe.
Wenn wir die beiden einzelnen Aussagen von Satz 1.4 zusammenfassen, erhalten wir den
Satz 1.5: Sind u und v Lösungsvektoren des homogenen linearen Gleichungssystems
A ⋅ x = 0, dann ist auch r ⋅ u + s ⋅ v (r, s ∈ ) ein Lösungsvektor.
Sind also spezielle („partikuläre“) Lösungsvektoren eines homogenen linearen Gleichungssystems bekannt, dann ergeben sich zahlreiche weitere Lösungsvektoren. Wir veranschaulichen diese Situation in der folgenden
Aufgabe: Magische Quadrate
Sei
 a11 a12

A =  a 21 a 22
a
 31 a 32
a13 

a 23 
a 33 
eine Matrix, deren Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalensummen den
Wert 0 haben sollen.
1. Ermitteln Sie durch Probieren zwei Matrizen, die die geforderten Bedingungen
erfüllen.
Hinweis: Die gestellte Aufgabe lässt sich sehr leicht lösen, wenn man a 22 = 0 setzt.
2. Stellen Sie einen Zusammenhang mit Satz 1.5 her:
a) Stellen Sie zur Berechnung der a i j ein (aus acht Gleichungen mit neun Unbekannten bestehendes) Gleichungssystem auf.
b) Schreiben Sie dieses Gleichungssystem in der Form M ⋅ x = 0.
c) Geben Sie aufgrund der Kenntnisse aus (1) zwei Lösungsvektoren u und v
dieses homogenen linearen Gleichungssystems an.
d) Geben Sie mithilfe von Satz 1.5 einen beliebigen Lösungsvektor des Gleichungssystems M ⋅ x = 0 an.
3. Geben Sie eine allgemeine Form einer (3; 3) – Matrix an, deren Zeilensummen,
Spaltensummen und Diagonalensummen den Wert 0 haben.
18
6. Inhomogene lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 1: Eine Gärtnerei verkauft seit vielen Jahren Blumendünger, der in Kartons mit jeweils 3 kg Inhalt verpackt wird. Der Blumendünger wird von der Gärtnerei aus
drei bewährten Düngersorten mit hohen Kalium- und Stickstoffanteilen gemischt:
Kalium
Stickstoff
D1
D2
D3
50%
20%
40%
30%
35%
35%
Und zwar werden 1650 g von D1 mit 1050 g von D2 und 300 g von D3 vermischt.
Die Gärtnerei versichert, dass der Blumendünger bei diesem Mischungsverhältnis 45% Kalium und 25% Stickstoff enthält.
Teil A
Überprüfen Sie die Angaben der Gärtnerei.
Teil B
Die Gärtnerei erfährt, dass der Preis für die Düngersorte D2 steigen wird. Deshalb überlegt sie, ob die prozentualen Vorgaben für Kalium und Stickstoff auch
mit anderen Mischungsverhältnissen zu erzielen sind.
1. Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen x1 , x 2 und x 3
der einzelnen Düngersorten auf (in g) und schreiben Sie das Gleichungssystem in der Form A ⋅ x = b .
2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit Gauß – Algorithmus und zeigen Sie,
dass sich der Lösungsvektor x in der Form
1500   1 
x = 1500  + t  −3 
 0  2

  
schreiben lässt.
3. Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Voraussetzungen 0 ≤ x i ≤ 3000 .
4. Vervollständigen Sie für den in (3.) berechneten Lösungsvektor x die folgende Wertetabelle:
t
0
250
500
1500   1 
x = 1500  + t  −3 
 0  2

  
5. Überprüfen Sie, ob sich mit einem anderen Mischungsverhältnis die prozentualen Vorgaben für Kalium und Stickstoff erzielen lassen.
19
Teil C
1. Zeigen Sie, dass sich der Lösungsvektor des homogenen Gleichungssystems
A ⋅ x = 0 in der Form
1
x = t  −3 
2
 
schreiben lässt.
2. Vervollständigen Sie für den Vektor
1650   1 
x = 1050  + t  −3 
 300   2 

  
(also für den Vektor, der sich aus dem allgemeinen Lösungsvektor des Gleichungssystems A ⋅ x = 0 und dem aus Teil A bekannten speziellen Lösungsvektor des Gleichungssystems A ⋅ x = b zusammensetzt) die folgende Wertetabelle:
t
−150
100
350
1650   1 
x = 1050  + t  −3 
 300   2 

  
Teil D
Zeigen Sie allgemein, dass die in (B4) und (C2) auftretenden Vektoren identisch
sind.
Anleitung: Wählen Sie s = 150 + t und zeigen Sie, dass
1500   1  1650   1 
1500  + s  −3  = 1050  + t  −3 
 0   2   300   2 

   
  
Die Lösung unserer Gärtnerei – Aufgabe bestand also in der Berechnung eines Lösungsvektors eines linearen Gleichungssystems vom Typ A ⋅ x = b.
Definition: Ein lineares Gleichungssystem vom Typ A ⋅ x = b , b ≠ 0, heißt inhomogenes
lineares Gleichungssystem.
In unserer Gärtnerei – Aufgabe war ein partikulärer Lösungsvektor x p des inhomogenen
Gleichungssystems A ⋅ x = b von vornherein bekannt, nämlich der Vektor
1650 
x p = 1050 
 300 


der für die Gärtnerei bisher die Grundlage für die Mischung der einzelnen Düngersorten war.
20
Das in Teil D erzielte Ergebnis zeigt jetzt, dass sich mithilfe dieses Vektors x p das Gleichungssystem A ⋅ x = b lösen lässt, indem man stattdessen „nur“ das homogene Gleichungssystem A ⋅ x = 0 löst. Diese Aussage formulieren wir in dem
Satz 1.6: Das inhomogene Gleichungssystem A ⋅ x = b hat den allgemeinen Lösungsvektor
x = xh + xp
Dabei ist xh der allgemeine Lösungsvektor des homogenen Gleichungssystems, und xp ist ein partikulärer Lösungsvektor des inhomogenen
Gleichungssystems.
Beweis: (1) Zunächst ist zu zeigen, dass x = x h + x p ein Lösungsvektor des Gleichungssystems A ⋅ x = b ist.
Anleitung: Wegen Satz 1.3 (Seite 16) ist
A ⋅ x = A ⋅ (x h + x p )
= A ⋅ xh + A ⋅ xp
Folgern Sie hieraus die Behauptung.
(2) Es ist ferner zu zeigen, dass es darüber hinaus keine weiteren Lösungsvektoren
gibt.
Anleitung: Sei also
x = xh + xp
ein Lösungsvektor von A ⋅ x = b . Sei x* irgendein weiterer Lösungsvektor von A ⋅ x = b , also ein Vektor, für den A ⋅ x* = b ist. Sei
y = x* − x
a) Zeigen Sie, dass A ⋅ y = 0 .
b) Folgern Sie hieraus, dass es Lösungsvektoren z h und z p des homogenen bzw. inhomogenen Gleichungssystems gibt, so dass
x∗ = z h + z p
Ist also ein Gleichungssystem A ⋅ x = b lösbar und ist nur ein einziger Lösungsvektor des
Gleichungssystems A ⋅ x = b bekannt, dann ergeben sich alle übrigen Lösungsvektoren mithilfe der Lösungsvektoren von A ⋅ x = 0 .
Der Gauß – Algorithmus lässt sich bei der Lösung des Gleichungssystems A ⋅ x = 0 natürlich
nicht vermeiden. So halten sich die Vorteile bei der Anwendung des Satzes in Grenzen.
Die Vorteile werden aber bei Matrizen deutlich, deren Elemente einfache Zahlen (also ganze
Zahlen oder Dezimalzahlen mit vielleicht einer Stelle hinter dem Komma) sind. Unabhängig
von Vektor b lässt sich das Gleichungssystem A ⋅ x = 0 nämlich sehr leicht lösen, weil aufwändige numerische Rechnungen in der Regel vollständig entfallen.
Die beiden folgenden Aufgaben behandeln Beispiele für solche Gleichungssysteme, deren
Koeffizientenmatrix A ausschließlich aus natürlichen Zahlen bzw. sehr einfachen Dezimalzahlen besteht:
21
Aufgabe 2: Das inhomogene Gleichungssystem
1
2

 2
3
1
1
3
1
1
1
4
2
1
 6,589 

 7, 007 
2
⋅x =

1
21, 221 

 9, 297 
2 


hat den partikulären Lösungsvektor
 0,132 
 4, 013 
xp = 

 2,158 
 0, 286 
Berechnen Sie mithilfe von Satz 1.6 (Seite 20) den allgemeinen Lösungsvektor
des inhomogenen Gleichungssystems.
Aufgabe 3: Im Fahrzeugbau werden in zunehmendem Maße möglichst leichte Werkstoffe
verwendet, um das Fahrzeuggewicht und damit den Benzinverbrauch zu senken.
Diese Werkstoffe sind vor allem Aluminiumlegierungen.
Ein Automobilhersteller fertigt Karosserieteile aus einer Aluminiumlegierung,
die 2,1% Magnesium und 2,1% Zink enthält. Und zwar erhält er diese Legierung
durch Mischung der folgenden Legierungen:
L1
L2
L3
L4
Aluminium
92%
93%
94%
94%
Magnesium
2%
3% 2,5%
1%
Kupfer
6%
3%
1%
2%
1%
2,5%
3%
Zink
1. Der Automobilhersteller verwendet seit mehreren Jahren 100 kg von Legierung L1 , 200 kg von Legierung L 2 , 400 kg von Legierung L3 und 300 kg
von Legierung L 4 , um 1000 kg der gewünschten Legierung herzustellen.
Bestätigen Sie, dass dieses Mischungsverhältnis eine Legierung ergibt, die
2,1% Magnesium und 2,1% Zink enthält.
2. Der Hersteller der Legierung L3 kann die gewünschten Mengen nicht mehr
produzieren. Deshalb soll der Anteil von L3 reduziert werden:
a) Stellen Sie ein Gleichungssystem für die benötigten Mengen der einzelnen Legierungen auf (in kg) und schreiben Sie dieses Gleichungssystem
in der Form A ⋅ x = b .
b) Lösen Sie das homogene Gleichungssystem A ⋅ x = 0 mit Gauß – Algorithmus und geben Sie mithilfe von Satz 1.6 (Seite 20) den allgemeinen
Lösungsvektor des inhomogenen Gleichungssystems A ⋅ x = b an.
c) Berechnen Sie den Lösungsvektor x unter Berücksichtigung der Voraussetzungen 0 ≤ x i ≤ 1000 .
d) Bestimmen Sie dasjenige Mischungsverhältnis, das mit einer möglichst
geringen Menge der Legierung L3 auskommt.
22
7. Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe von Computeralgebrasystemen
Ist eine Gleichung vom Typ A ⋅ x = b mit quadratischer Matrix A, also
 a11 L

 M
 a n1 L

a1n   x1   b1 
    
M  ⋅  M =  M
a nn   x n   b n 
    
zu lösen, dann besteht der erste Rechenschritt in der Umformung dieser Gleichung in eine
Gleichung vom Typ
 a11 a12 L

a 22 * L
 0
M
 M

a
 0
n2 * L
a1n   x1   b1 
a 2n *   x 2   b 2 * 
⋅  =

M   M  M 
a nn *   x n   b n * 
Die Berechnung der zweiten Zeile dieser Gleichung erfordert die folgenden Rechenoperationen:
a) Berechnung des Quozienten
q=
a 21
a11
b) Berechnung der Produkte
−q ⋅ a12 , ..., − q ⋅ a1n ; − q ⋅ b1
c) Berechnung der Summen
a 22 * = − q ⋅ a12 + a 22
M
a 2n * = − q ⋅ a1n + a 2n
b 2 * = − q ⋅ b1 + b 2
Dies sind insgesamt 1 + n + n = 2n + 1 Rechenoperationen. Da n − 1 Zeilen berechnet werden
müssen, sind beim ersten Rechenschritt insgesamt (2n + 1)(n − 1) Rechenoperationen erforderlich.
Der zweite Rechenschritt zur Berechnung der Gleichung
a13
 a11 a12

a 22 * a 23 *
 0
a 33 **
0
 0
 M
M
M

a
**
0
0
n3

L
L
L
L
a1n   x1   b1 
a 2n *   x 2   b 2 * 
   

a 3n **  ⋅  x 3  =  b3 ** 
M   M  M 
a nn **   x n   b n ** 
erfordert dann noch ( 2(n − 1) + 1)( (n − 1) − 1) Rechenoperationen, der dritte Rechenschritt erfordert ( 2(n − 2) + 1)( (n − 2) − 1) Rechenoperationen usw.
23
Wegen
(2n + 1)(n − 1) = 2n 2 − n − 1
( 2(n − 1) + 1)( (n − 1) − 1) = 2(n − 1)2 − (n − 1) − 1
( 2(n − 2) + 1)( (n − 2) − 1) = 2(n − 2)2 − (n − 2) − 1
M
beträgt folglich die Anzahl S(n) der insgesamt erforderlichen Rechenoperationen
n
n
k =1
k =1
S(n) = 2  k 2 −  k − (1
+ ...4443
+ 1)
14442
= 2⋅
n − mal
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
−
−n
6
2
= 23 n 3 + 12 n 2 − 76 n
Diese Anzahl S(n) der erforderlichen Rechenoperationen ist, wie man durch vollständige Induktion überprüfen kann, (erwartungsgemäß) eine natürliche Zahl. Die Übersicht zeigt die mit
n
1
2
3
4
5
6
7
…
S(n)
0
5
19
46
90
155
245
…
der dritten Potenz von n stark anwachsenden Werte von S(n) für n ∈ {1; 2; ...; 7} .
Aufgabe 1: Bearbeiten Sie mithilfe der Gleichung
S(n) = 23 n 3 + 12 n 2 − 76 n
folgende Fragestellungen für einen Computer, der in einer Sekunde eine Million
Rechenoperationen durchführen kann:
1. Berechnen Sie die Rechenzeit für ein Gleichungssystem mit 10.000 Gleichungen und 10.000 Unbekannten.
2. Untersuchen Sie, wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte ein Gleichungssystem höchstens haben darf, wenn höchstens 10 Stunden Rechenzeit
zur Verfügung stehen.
Anleitung: Bestätigen Sie, dass die Gleichung
2
3
n 3 + 12 n 2 − 76 n = 3, 6 ⋅1010
zu lösen ist. Das bedeutet, dass ein Näherungswert für die Nullstelle der Funktion
f (n) = 23 n 3 + 12 n 2 − 76 n − 3, 6 ⋅1010
berechnet werden muss. Benutzen Sie dazu das Newton - Verfahren mit einem geeigneten Startwert.
Damit ist klar, dass Gleichungssysteme ab einer bestimmten Größe nur noch mithilfe von
Computer – Algebra – Systemen (Derive, Maple oder MuPad) zu lösen sind.
Wir erklären das Arbeiten mit Derive 6 an einem übersichtlichen Beispiel eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:
24
Arbeitsauftrag: Lösen Sie mit Derive 6 das Gleichungssystem A ⋅ x = b mit
 1 1 −1
1
A =  2 3 2  , b =  2


 
3 4 1 
 3
Arbeitsanweisungen:
a) Wählen Sie das Matrix – Symbol. Geben Sie die Anzahl der Zeilen und
Spalten der Matrix A ein und bestätigen Sie mit OK. Geben Sie die Elemente der Matrix A ein. (Benutzen Sie die Tabulator – Taste, um in das
nächste Matrix – Feld zu gelangen.) Bestätigen Sie mit OK.
b) Wählen Sie das Vektor – Symbol. Geben Sie die Anzahl der Elemente
des Vektors x ein und bestätigen Sie mit OK. Geben Sie (mithilfe der
Tabulator – Taste) die Elemente des Vektors x ein, also x1, x2 und x3,
und bestätigen Sie mit OK.
Hinweis: In Derive dürfen die Variablen in der Regel nur ein Zeichen
lang sein. Dementsprechend versteht Derive eine Eingabe wie
x1 als Produkt x ⋅1 .
Zur Eingabe von Variablen wie x1 müssen Sie deshalb unter
„Extras“ den Befehl „Einstellungen“ wählen und die Voreinstellung „Ausgabe“ durch „Eingabe“ ersetzen. Wählen Sie im
Eingabe – Modus „Wort“ und bestätigen Sie mit OK.
c) Wählen Sie das Vektor – Symbol. Geben Sie die Anzahl der Elemente
des Vektors b ein und bestätigen Sie mit OK. Geben Sie (wieder mithilfe
der Tabulator – Taste) die Elemente des Vektors b ein und bestätigen Sie
mit OK.
Der Bildschirm zeigt jetzt
 1 1 −1
#1:  2 3 2 
 3 4 1 
#2: Input Mode := Word
#3: [ x1, x2, x3]
#4: [1, 2, 3]
Die Matrix und die beiden Vektoren können jetzt miteinander verknüpft werden:
d) Dazu müssen Sie in der Eingabe – Zeile unterhalb des Bildschirms die
Gleichung #1.#3 = #4 schreiben. Wenn Sie jetzt den grünen Bestätigungshaken links neben der Eingabe − Zeile anklicken, erscheint die
Gleichung unter #5 auf dem Bildschirm.
e) Wählen Sie unter „Lösen“ den Befehl „Ausdruck“. Markieren Sie die
Lösungsvariablen und klicken Sie auf „Lösen“.
Unter #6 und #7 zeigt der Bildschirm jetzt die zu lösende Aufgabe und das
Endergebnis.
f) Schreiben Sie das angezeigte Endergebnis als Spaltenvektor.
25
Aufgabe 2: (CAS) Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:
3,1 −0,5 
 2, 4
 −4, 76 
 1, 2 −0, 4 2, 6  ⋅ x =  7, 4 
 −0,8 2,8 1, 4 
 −2, 6 




1,3
−2, 25 
 2, 65 1, 45
 1,525 
 2, 75 2,55 −2,35

 3,31 
1
 4,5 −1, 05 2, 05 3,35  ⋅ x =  4, 035 
 1, 05
 1,59 
2,1
2,15
−2,1 



Aufgabe 3: (CAS) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem und geben Sie den Lösungsvektor x an:
 2, 2 2,5 1, 2 −0,5 
 −3, 4 0, 4 1, 2
1,8 
 1, 6 −4, 2 −2,8 0, 6  ⋅ x = 0
 2, 6 1, 2
0,8 1, 4 

In Abschnitt 5 haben wir bereits magische Quadrate kennengelernt. In der folgenden Aufgabe
können wir die Erkenntnisse aus Abschnitt 5 theoretisch etwas vertiefen:
Aufgabe 4: (CAS) Magische Quadrate
Sei
 a11 a12
A =  a 21 a 22
a
 31 a 32
a13 
a 23 
a 33 
eine Matrix, deren Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalensummen den
Wert 0 haben sollen.
1. Stellen Sie ein (aus acht Gleichungen mit neun Unbekannten bestehendes)
Gleichungssystem auf.
2. Schreiben Sie dieses Gleichungssystem in der Form
M⋅x = 0
3. Ermitteln Sie den allgemeinen Lösungsvektor x dieses Gleichungssystems
und zeigen Sie, dass sich x in der Form
0
 −1 
 −1 
 0
1
1
1
 2
 
 
x = r  0  +s  0  ;
 −1 
 −2 
−
1
 
 −1 
1
 0
0
1
 
 
r, s ∈ ¡
schreiben lässt.
4. Ermitteln Sie hieraus die allgemeine Form der Matrix A.
5. Geben Sie mithilfe von Satz 1.6 (Seite 20) die allgemeine Form derjenigen
Matrix A an, deren Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalensummen
den Wert 15 haben sollen.
26
8. Rundungsfehler
Der Einsatz von Computeralgebrasystemen zur Lösung linearer Gleichungssysteme erfordert
bei praktischen Anwendungen einen feinfühligen Umgang mit den auftretenden Dezimalzahlen. Diese Dezimalzahlen müssen nämlich in der Regel bereits bei der Dateneingabe auf eine
bestimmte, von der geforderten Genauigkeit der Ergebnisse abhängige Anzahl von Dezimalstellen gerundet werden; und diese gerundeten, also „falschen“ Werte sind die Grundlage für
alle weiteren Berechnungen.
Es treten also zwei numerische Fehlerquellen auf:
− die Fehler bei der Dateneingabe
− die Fehlerfortpflanzung
Die folgende Aufgabe zeigt zunächst, wie sich Rundungsfehler bei der Dateneingabe auf die
Ergebnisse auswirken können:
Aufgabe 1: Gegeben ist das Gleichungssystem
1 
1
 200 
1 1, 015  ⋅ x =  201 




1. Berechnen Sie mit Gauß – Algorithmus den Lösungsvektor des Gleichungssystems in der vorliegenden Form mit drei Stellen hinter dem Komma.
2. Berechnen Sie mit Gauß – Algorithmus den Lösungsvektor des Gleichungssystems, indem Sie mit lediglich zwei Stellen hinter dem Komma rechnen:
a) Runden Sie 1,015 ab.
b) Runden Sie 1,015 auf.
Sie sehen, dass sich die Ergebnisse in Aufgabe 1 wirklich extrem unterscheiden. Eine einfache Erklärung ergibt sich geometrisch, wenn die einzelnen Gleichungen der Gleichungssysteme als Geraden in der Ebene dargestellt werden:
x2
x1
Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert den Lösungsvektor des zugehörigen Gleichungssystems. Diese Überlegung führt zu der
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Aufgabe 2: Gegeben ist wieder das Gleichungssystem
1 
1
 200 
1 1, 015  ⋅ x =  201 




1. Zeichnen Sie in einem gemeinsamen Koordinatensystem die Geraden, die zu
den folgenden Gleichungen gehören:
x1 +
x 2 = 200
x1 + 1, 015 x 2 = 201
2. Untersuchen Sie, wie sich der Verlauf der zweiten Geraden ändert, wenn der
Koeffizient 1,015 auf zwei Stellen hinter dem Komma abgerundet bzw. aufgerundet wird.
3. Erklären Sie die extremen Unterschiede der Lösungen in Aufgabe 1.
Die folgende Aufgaben zeigen, welche Auswirkungen die Fehlerfortpflanzung haben kann:
Aufgabe 3: Gegeben ist das Gleichungssystem
1 
 0, 0001
 1 
 0, 0001 0, 0001 ⋅ x =  0, 0002 




1. Führen Sie den Gauß – Algorithmus durch.
Hinweis: Wenn Sie die Gleichungen zunächst mit 10 000 multiplizieren, erhalten Sie das Gleichungssystem
(1)
(2)
x1 + 10 000 x 2 = 10 000
9999 x 2 = 9998
2. Berechnen Sie x 2 aus Gleichung (2), indem Sie mit vier Dezimalstellen arbeiten (also das Ergebnis für x 2 auf vier Stellen hinter dem Komma aufrunden), und berechnen Sie anschließend x1 aus Gleichung (1).
3. Berechnen Sie x 2 aus Gleichung (2), indem Sie mit drei Dezimalstellen arbeiten (also das Ergebnis für x 2 auf drei Stellen hinter dem Komma aufrunden), und berechnen Sie anschließend x1 aus Gleichung (1).
4. Erklären Sie die unterschiedlichen Ergebnisse der Aufgabenteile 2.) und 3.)
Aufgabe 4: Berechnen Sie den Lösungsvektor des Gleichungssystem
1, 2 2, 045 
 1527 
 1,8 3, 075  ⋅ x =  2295 




indem Sie
a) mit den exakten Werten rechnen
b) die Eingabe – Daten auf zwei Stellen hinter dem Komma runden und den
Gauß – Algorithmus konsequent mit zwei Stellen hinter dem Komma durchführen.
Die in diesem Abschnitt angesprochenen Rundungsfehler veranlassen uns, alle Aufgaben in
diesem Arbeitsbuch so zu konstruieren, dass die Ergebnisse (auch die Zwischenergebnisse)
endliche Dezimalzahlen mit nur wenigen Stellen hinter dem Komma oder übersichtliche
Bruchzahlen, oft sogar ganze Zahlen sind, so dass Rundungen nicht erforderlich werden.