r2 ]v2 r2 ]v2 - Prof. Dr. Johannes Wandinger
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4.3 Systeme von starren Körpern Lösungen Aufgabe 1: a) Geschwindigkeit als Funktion des Weges: Die einzige Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die Gewichtskraft. Daher lässt sich die Aufgabe am einfachsten mit dem Energieerhaltungssatz lösen. Das Nullniveau für die Lageenergie wird in den Startpunkt gelegt. Dann sind die kinetische und die potenzielle Energie beim Start null. Der Energieerhaltungssatz lautet: E K sE G s=0 Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der translatorischen kinetischen Energie der Seifenkiste und der Räder sowie der rotatorischen kinetischen Energie der Räder: E K s= 1 1 G S 4G R v 2 s ⋅4 G R i 2R 2 s 2g 2g Da die Räder rollen, gilt die Rollbedingung v s=r s s= v s . r Damit gilt für die kinetische Energie: [ ] i 2R 2 1 E s= G 4G R 1 2 v s 2g S r K Für die Lageenergie gilt: E G s=− G S 4G R s sin Damit lautet der Energieerhaltungssatz: [ ] i 2R 2 1 G 4 G R 1 2 v s− G S 4G R s sin =0 2g S r Technische Mechanik 2 4.3-1 Prof. Dr. Wandinger Daraus folgt: v s= 2 g s GS 4 G R sin 2 G S4 G R 1 i R /r b) Geschwindigkeit für s = s1: Nach Zurücklegen von 30m hat die Seifenkiste die Geschwindigkeit 550 N 4⋅25 N sin 30 ° v 1= 2⋅9,81 m/s 2⋅30 m⋅ =16,70 m / s 2 550 N 100 N⋅ 1 0,09/ 0,15 c) Beschleunigung: Für die Beschleunigung gilt: a= 1 d 2 v s 2 ds Aus 2 v s=2 g s G S 4 G R sin 2 G S 4G R 1 i R / r folgt: a= G S 4G R sin g 2 G S4 G R 1 i R /r Zahlenwert: a= 550 N100 N sin 30 ° g=0,4738g=4,648 m / s 2 2 550 N 100 N 1 0,09 /0,15 Aufgabe 2: ω1 a) Kinematik: Die Rolle 2 rollt auf dem Seilstück CD ab. Daher gilt: 0=v C =v−2 r 2 2= D v r2 Da das Seil dehnstarr ist, gilt v A =v B . Mit v A =v2 r 2 r1 B ω2 r2 C v A und Technische Mechanik 2 4.3-2 Prof. Dr. Wandinger v B=1 r 1 folgt: r2 v v r2 v v 2 = =2 r1 r 1 r 1 r2 r 1 r1 v2 r 2 =1 r 1 1= b) Geschwindigkeit der Rolle 2: Die einzige am System angreifende äußere Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die Gewichtskraft. Die Geschwindigkeit kann daher mit dem Energieerhaltungssatz bestimmt werden. Dazu wird das Nullniveau für die Lageenergie von Rolle 2 in die Ruhelage gelegt. Dann gilt für die einzelnen Energien: Ruhelage Ausgelenkte Lage Lageenergie: E G0 =0 E G s=−m2 g s Kinetische Energie: E K0 =0 E K s= 1 J 1 12m2 v 2 J 2 22 2 Mit den kinematischen Beziehungen folgt für die kinetische Energie: E K s= J1 J2 1 m2 4 2 2 v 2 s 2 r1 r2 K G K G Der Energieerhaltungssatz lautet: E sE s=E 0 E 0 Einsetzen ergibt: J1 J2 1 m 24 2 2 v 2 s−m 2 g s=0 2 r1 r 2 Daraus folgt: 2 m2 g s v 2 s= m 24 J1 J2 r1 r 22 2 v s= 2 m2 g s m24 J1 J2 r1 r 22 2 c) Beschleunigung der Rolle 2: Die Beschleunigung der Rolle 2 berechnet sich zu 1 dv 2 a= = 2 ds m2 m 24 Technische Mechanik 2 J1 r 21 J2 g. r 22 4.3-3 Prof. Dr. Wandinger d) Seilkräfte: Schwerpunktsatz in x-Richtung: ∑ F s=m a SCD : −S CD −S ABm 2 g=m 2 a Drallsatz bezüglich Schwerpunkt S: ∑ M S =J S ̈ φ r2 : r 2 S CD−S AB =J 2 ̇2 C Kinematik: ̇2= SAB S v̇ a = r2 r2 A s m2g Damit stehen zur Ermittlung der beiden Seilkräfte die folgenden beiden Gleichungen zur Verfügung: −SCD −S AB = m2 a−g J2 S CD−S AB = a 2 r2 Addition der beiden Gleichungen ergibt −2 S AB=m2 a−g J2 r 2 2 a , woraus J2 1 1 S AB= m2 g− m2 2 a 2 2 r2 folgt. Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt 2 S CD = J2 2 r2 a−m2 am2 g , woraus J2 1 1 S CD= m2 g− m2− 2 a 2 2 r2 folgt. Einsetzen des Ergebnisses für die Beschleunigung führt auf Technische Mechanik 2 4.3-4 m2 J 2 /r 22 2 J 1 / r 12 1 S AB= m2 g 1− =m 2 g 2 2 2 m 24 J 1 /r 1 J 2 / r 2 m 24 J 1/r 21 J 2 / r 22 Prof. Dr. Wandinger und m2− J 2 / r 22 2 J 1 / r 21 J 2 /r 22 1 S CD= m2 g 1− =m2 g . 2 m2 4 J 1 /r 21 J 2 /r 22 m2 4 J 1 /r 21J 2 / r 22 Aufgabe 3: Kinematische Beziehungen: Geschwindigkeiten am Planetenrad: vB v P =r T T v A =v P −r P P=r T T −r P P v B=v Pr P P =r T T r P P ωP vP Im Punkt A ist das Planetenrad im Kontakt mit dem Sonnenrad: B vA v A =r S S r T T −r P P=r S S A Daraus folgt für die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrads: P = rT rP T − rS rP S Im Punkt B ist das Planetenrad im Kontakt mit dem Hohlrad: v B=r H H r T T r P P =r H H Daraus folgt für die Winkelgeschwindigkeit des Hohlrads: r H H =r T T r P rT rP T − rS rP S =2 r T T −r S S Für die Winkelbeschleunigungen gilt entsprechend: r H ̇ H =2r T ̇T −r S ̇S ̇P = rT rP ̇T − rS rP ̇S Für die Beschleunigung des Planetenrads gilt: a P =r T ̇T Bemerkung: Die Vorgabe der Winkelgeschwindigkeit H des Hohlrads alleine genügt nicht, um die übrigen kinematischen Größen festzulegen. Um die Kinematik Technische Mechanik 2 4.3-5 Prof. Dr. Wandinger eindeutig festzulegen, müssen zwei Winkelgeschwindigkeiten angegeben werden. Daher kann die Aufgabe nicht mit dem Arbeitssatz gelöst werden. Sonnenrad: Am Sonnenrad greifen in tangentialer Richtung die Kontaktkräfte A der drei Planetenräder an. A A Drallsatz um Punkt S: J s ̇S =M S−3r S A MS Planetenrad: A C B rP A S rS P x Am Planetenrad greift die Kontaktkraft A des Sonnenrads, die Kontaktkraft C des Hohlrads sowie die Kraft B des Planetenträgers an. Schwerpunktsatz: m P a P = AB−C Drallsatz um Punkt P: J P ̇P =−r P C A Planetenträger: B Am Planetenträger greifen in tangentialer Richtung die Kräfte B der Planetenräder an. B MT T rT Drallsatz um Punkt T: J T ̇T = M T −3 r T B B Hohlrad: Am Hohlrad greifen in tangentialer Richtung die Kontaktkräfte C der drei Planetenräder an. C C Drallsatz um Punkt H: J H ̇H =M H 3r H C MH H rH C Auflösen der Gleichungen: Mit den vier Drallsätzen, dem Schwerpunktsatz und den drei kinematischen Beziehungen für die Winkelbeschleunigungen und die Beschleunigung stehen acht Gleichungen zur Verfügung, um die vier unbekannten WinkelbeTechnische Mechanik 2 4.3-6 Prof. Dr. Wandinger schleunigungen, die unbekannte Beschleunigung der Planetenräder sowie die drei unbekannten Kräfte zu ermitteln. Aus den Drallsätzen für das Sonnenrad, den Planetenträger und das Hohlrad folgt für die Kräfte: A= 1 M S− J S ̇S 3r S B= 1 M T −J T ̇T 3 rT C=− 1 M H −J H ̇H 3r H Einsetzen in den Schwerpunktsatz für das Planetenrad führt auf mP aP = JT JH 1 MS M T M H 1 J S − ̇S ̇T ̇H 3 rS rT rH 3 rS rT rH . Einsetzen der Gleichungen für die Kräfte in den Drallsatz für das Planetenrad ergibt J P ̇P = rP M H 3 rH − MS rS − rP JH 3 rH ̇H − JS rS ̇S . Mit den kinematischen Beziehungen für a P und ̇P folgt: mP r T ̇T = 3 mP JP rT rP 3 JT r 2T ̇T − JP r 2P JT JH 1 M S MT M H 1 J S − ̇S ̇T ̇H 3 rS rT rH 3 rS rT rH rS rP r T ̇T r 2S ̇S = r T ̇T − JS r S ̇S rP M H 3 rH JS JP rS r 2P 3 2 − JH r 2H MS rS r S ̇S r H ̇H = − JH r 2H rP J H 3 rH MS rS ̇H − r H ̇H = MH rH MT rT JS rS − ̇S MH rH MS rS Zusammen mit der kinematischen Beziehung 2 r T ̇T −r S ̇S −r H ̇H =0 liegen drei Gleichungen vor, aus denen die drei Winkelbeschleunigungen bestimmt werden können. Zunächst wird die kinematische Beziehung benutzt, um aus beiden GleichunTechnische Mechanik 2 4.3-7 Prof. Dr. Wandinger gen die Winkelbeschleunigung ̇S zu eliminieren. Mit r S ̇S =2 r T ̇T −r H ̇H folgt: 3 mP 3 JT JS rT r 2S 2 2 JP JS JP rP rS r 2P −2 2 −3 −6 2 JP JS rP r 2S 2 2 JH r T ̇T − r 2H JH r T ̇T r 2H r H ̇ H = r 2S r 2H JH r T ̇T JS JS JP rS r 2P 3 2 JS JP rS r 2P 3 2 MS rS MT rT r H ̇H = r H ̇H = MH rH MH rH MH rH − − MS rS MS rS Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich die gesuchte Winkelbeschleunigung z. B. mit der Cramerschen Regel ermitteln: ∣ 3 m P −3 ̇ H = ∣ JS rT r 2S 2 2 JP r 3 mP −3 JT 2 P 2 2 S JT JS rT r 2S 2 2 JP JS rP r 2S 2 2 rS JS r MS rT JH rT r 2H MT rT MH rH MH MS − rH rS rT rT JH r 2H − JS r 2S JP rS r 2P MS 3 2 ∣ rH JS ∣ rH Ausrechnen der Determinanten ergibt: r T 3 m P ̇ H = JT JS rT r 2S 2 2 rT r H 3 mP Mit 3 mP JT JS rT r 2S 2 2 = 3 mP JT r 2T Technische Mechanik 2 r 2H rH − JS JH rT r 2S r 2H 2 2 JH r 2H JS 3 2 rS JS JP rS r 2P 3 2 rS rT 3 JP r 2P 2 JS r 2S MS rS MT rT JT JH MH JP r 2P 4 JS JP rS r 2P 3 2 3 JP JS JH rP r 2S r 2H 2 2 J S JH r 2S r 2H 4.3-8 r T r H 3 3 JP JH r 2P r 2H JP JS JH rP r 2S r 2H 2 2 − MH rH − JS r 2S JS r 2S JS r 2S Prof. Dr. Wandinger folgt: 1 ̇ H = rH 3 m P JT JS rT r 2S 2 2 3 m P JT r T2 MH rH JH r 2H − MS rS 3 JS JP rS r 2P 3 2 JP JS rP r 2S 4 2 2 JS J H r 2S r 2H 3 MS rS MT rT JP JH r 2P r 2H JS r 2S MH rH Stationärer Lauf: Im stationären Lauf sind die Winkelbeschleunigungen null, d.h. ̇H =0 und ̇T =0 . Bei vorgegebenem Moment M H lassen sich die übrigen beiden Momente berechnen. Aus den beiden Gleichungen für die Winkelbeschleunigungen ̇T und ̇H folgt: 0= MS rS MT rT MH rH , 0= MH rH − MS rS Aus der zweiten Gleichung folgt MS rS = MH rH MS= rS rH MH . Damit folgt aus der ersten Gleichung: MT rT =− MS rS − Technische Mechanik 2 MH rH =−2 MH rH M T =−2 4.3-9 rT rH MH Prof. Dr. Wandinger
