1 Portfoliotheorie - Hochschule Bochum

1Portfoliotheorie
1.1GrundlagenderPortfoliotheorie
1.1.1 Welche vier grundsätzlichen Anlageziele werden von Investoren verfolgt? 



Minimales Risiko Liquidation wenn nötig Hohe Rendite Gewinnmaximierung Konträr z.B. Sicherheit und Rendite 1.1.2 Wie können die beiden zentralen Anlageziele operationalisiert werden? Rendite: Vergleich Rückfluss mit Kapitaleinsatz. Sicherheit: Welche künftige Rendite soll der Investor erwarten? Informationsquellen: 
Historische Renditen, Experteninterviews, Analyse von Marktpreisen Erwartete Rendite =Erwartungswert der Renditeverteilung = E(
) = . Wertpapier 1: : 10%  25% Rendite; 45%  6%; 35%  ‐6%; 10%  ‐10%. ∑
Falls x diskret: Falls x stetig: E(
∗
∗
)= = 2,1%. Empirisch: ̂
̅
1
∗
Das ist der wahrscheinliche Wert. Aber: Risiko! Nur im Durchschnitt wird 2,1% erzielt. Wie sicher ist diese erwartete Rendite? WP1 zu WP2. WP2: 50%  4,2% Rendite; 50%  0% Rendite. Welches Wertpapier ist bei gleicher Rendite riskanter? Risiko: Streuung möglicher Renditen um die erwartete Rendite. Berechnung der Standartabweichung der Renditeverteilung: 2,1%;
20 Deskripttive (Beschreeibende) Stattistik: (Behanndlung von M
Methoden, m
mit deren Hillfe man Date
en übersich
htlich darstellen und kenn
nzeichnen kaann) Varianz ==
∑
Varianz == ∗
ffalls x stetig
∗
Standard
dabweichungg: falls x diskret Schließeende Statistikk (=Schätzen, wird bei kleeinen Datenreihen angew
wandt. Je gröößer die Datenmeenge, desto kleiner der U
Unterschied zw. deskriptiver und schließender Sttatistik) ∑
Empiriscche Varianz: ,
,
∗ ,
∑
̅
,
,
∗ ,
,
̅
,
∗ ,
,
∗
,
∗ ,
,
1.1.3 Zeiichnen und b
beschreiben sie die Dichttefunktion eiiner Normalvverteilung. Eigensch
haften der No
ormalverteilung: 


SSymmetrie (Schiefe = 0). Links und reechts von lliegt die gleicche Wahrschheinlichkeitsmasse. Normale Wö
ölbung. (Kurttosis =0). Flache Ränder. (Keine fat‐tails) 1.1.4 Waarum sind deer Erwartunggswert und ddie Standardaabweichung einer normaalverteilten Zufallsvaariable von b
besonderer B
Bedeutung?
Die Dichtefunktion eeiner normalvverteilten Zuufallsvariable
en kann allein durch unnd bestimm
mt werden. 1.1.5 Waas besagt diee Normalvertteilungsannaahme im Rah
hmen der Portfoliotheori e? Welche Konsequ
uenzen zieht diese Annah
hme nach sicch? Die Rend
diten aller reelevanten Vermögensgeggenstände sin
nd normalve
erteilt. Aber ddas stimmt n
nicht, z.B. bei D
Derivaten: Ess gibt keine V
Verluste. Ebeenso bei vielen mod. Fina
anzinstrumeenten 


Rendite‐Risikkoprofile derr Vermögenssgegenstände sind so verrgleichbar Die Renditevverteilung aller Vermögeensgegenstän
nde kann durrch zwei Paraameter un
nd vvollständig b
beschrieben werden. Das Bilden einer Rangfolge der Verm
mögensgegen
nstände gemäß der Invesstorenziele isst möglich. ‐
wendbar. o
‐ ‐Kalkül ist an

o
‐ ‐Investor ist nicht gesättigt, will immer höhere Rendite haben o
‐ ‐Investor ist risikoscheu (nimmt immer geringere Standardabweichung) Konsistent mit Bernoulli‐Prinzip (Erwartungs‐Nutzen‐Theorie) 1.2Portfoliobildung
1.2.1 Wie wird der Korrelationskoeffizient zweier Wertpapiere allgemein berechnet? Was beschreibt der Korrelationskoeffizient zweier Wertpapiere? ,
,
∈
∗
1; 1 1
,
∑
∑
̅ ∗
∈
∗ ∑
∗
1; 1 ∗
Schätzer: 1
,
1
1
1
∑
∑
̅ ∗
̅
∗
1
1
∑
Art des Zusammenhangs: 

Pos. Kovarianz  positiv ausgerichteter linearer Zusammenhang ( beide positive Rendite oder beide negative Rendite) Negative Kovarianz  negativ ausgerichteter linearer Zusammenhang (eine Aktie positive Rendite, eine Aktie negative Rendite oder andersherum) Mit neg. Kovarianz können zwei Aktien ihre Verluste ausgleichen. Problem: Wir brauchen die Stärke der Kovarianz/des linearen Zusammenhangs ,
1:
,
1:
,
0: 1.2.2 Wie berechnet man die erwartete Rendite und die Standardabweichung der erwarteten Rendite eines Portfolios allgemein? Erwartete Rendite ( P) eines Portfolios (P=x1, x2, …,xn): ∗
∗
Standardabweichung der Rendite ( P) eines Portfolios (P=x1, x2, …,xn): ∗
∗
2∗
∗
∗
,
Schätzer: ∗
2∗
∗
∗
,
1.2.3 Ein Portfolio bestehe aus zwei Wertpapieren: WP 1 und WP 2. In den letzten 4 Jahren betrug die jährliche Rendite der beiden Wertpapiere alternierend +9% und ‐4%. Jedoch erwirtschaftete WP 1 immer dann eine Rendite von +9%, wenn WP 2 eine Rendite von ‐4% aufwies. a) Bestimmen Sie ̂ und für beide WP sowie , und , b) Bestimmen Sie ̂ und , mit folgenden Anteilen: WP 1=80% und WP 2=20%. c) Bestimmen Sie analytisch die Anteile für WP 1 und WP 2, die die Varianz des Portfolios minimieren. a) 0,5*0,09+0,5*(‐0,04)=0,025 0,5*(‐0,04) +0,5*0,09=0,025 ,
0,09
0,025
∗ 0,5
0,04
0,025
∗ 0,5
0,065 0,09
0,025
∗ 0,5
0,04
0,025
∗ 0,5
0,065 (‐0,04*0,09)‐(0,025*0,025)=‐0,004225 ,
,
‐1 ,
b) ̂
0,8 ∗ 0,025
0,2 ∗ 0,025
0,8² ∗ 0,065
0,025 0,2 ∗ 0,065
0,001521
2 ∗ 0,2 ∗ 0,8 ∗
0,004225
0,002873
0,039 c) ∗ 0,065
⟺
w=0,5 7,69
1
∗ 0,065
! 2∗
∗ 1
∗
0,004225
! 0,001352
1.3Op
ptimalePo
ortfoliowa
ahl
1.3.1 Spaannen sie ein
nen beliebigen Raum vonn Portfolios iim ‐ ‐Diagrramm auf. Eiine Investitio
on in eine sich
here Anlage ssei zulässig. Ermitteln siee graphisch d
das Marktportfolio sowiee das optimale Portfolio
o. Tangentee von P3 (Kapitalm
marktlinie) IK ‐ Kurvven Sichere Rendite RS PP2
P3
Marktportfoolio = Tangentiaalportfolio P1 Wird nnicht realisieert; gleiche Renditte wie RS  aber RRISIKO! Die Kapittalmarktliniee veranschau
ulicht versch iedene Mischungsverhältnisse aus si cherer Anlagge und Marktpo
ortfolio! Lösung: Den eineen Teil des V
Vermögens in
n RS und den anderen in P
P3 investieren (hohes Rissiko).  A
Abhängig vo
on persönlich
her Risikoberreitschaft  SUBJEKTIV!
Indiffereenzkurven: im
mmer gleiche
er Nutzen  Beschränkun
ng durch KM‐Linie; nur d ie IK die die KM oberhalb
b schneidet ((rot) Ratio: Steigerung der Kap
pitalmarktlinnie! Sharpe‐R
1.3.2 Geegeben sind d
drei Portfolio
os P1, P2 und P3, die allesaamt auf dem
m effizienten Rand der Menge P der (ohn
ne risikolose Anlage) erre
eichbaren Poortfolios liege
en. Sie haben
n die Parameeter: P1: µ1=20%, dite betrage RS=1,5%. Ne
ehmen 1=35% / P2: µ2=9%,, 2=12% / P3: µ3=14%, 3=29%. Die sichere Rend
Sie an, Sie wüssten, d
dass eines der drei Portffolios das Tan
ngential‐Porttfolio ist. Erm
mitteln sie ess rechneriisch. Marktpo
ortfolio = Tan
ngentialportffolio = Portfoolio mit max. Sharpe‐Ratio (Steigung)) 2
20% 1,5%
%
35%
% , %
%
0,625 liegt auf KML 1
14% 1,5%
%
29%
0,529 0,431 1.3.3 Ein ‐ ‐Investor hält ein Portfolio P, welches zu genau 30% aus dem Marktportfolio und zu 70% aus der risikolosen Anlage besteht. Der ‐ ‐Investor hat die Nutzenfunktion U( , ) = 5*µ ‐ 1,5* . Die Gleichung der Kapitalmarktlinie lautet: ,
= 0,015 + ∗
,
. a) Ist es möglich, eine höhere erwartete Rendite als die des Marktportfolios zu erzielen? Geben Sie eine kurze Begründung an. b) Wie hoch sind die Standardabweichung des Marktportfolios und die Standardabweichung des Portfolios P? c) Für den Investor B gelte U( , ) = 0,25. Welchen Nutzen UP bringt das Portfolio P dem Investor B? a) Ja, es ist möglich: 


b) Verschuldung  mehr vom Marktportfolio kaufen  höher auf KM‐Linie Leerverkauf der risikolosen Anlage oder Kreditaufnahme Dann Kauf von >100% des Marktportfolios um auf KM‐Linie zu bleiben 0,6
c) ∗
0,3 ∗ 0,6
0,18 Für Investor B: U
,
0,25 
Gesucht: Nutzen von 
Benötigt in Nutzenfunktion: Standardabweichung und erwartete Rendite des Portfolios P  Standardabweichung schon berechnet (siehe b)  Verwendung der KML (P muss hier aufliegen, sonst darf sie nicht verwendet werden)  Benötigt: Rendite des Marktportfolios 

Gleichsetzten der Nutzenfunktion mit dem Nutzen des Marktportfolios 5∗
,
1,5 ∗
0,25 0,158 Berechnung der Rendite mittels KML: 0,158 0,015
0,015
∗ 0,18 0,0579 0,6
Einsetzen in Nutzenfunktion 5∗
,
1,5
5 ∗ 0,0579 1,5 ∗ 0,18
0,2409