Atomphysik II (Quantenmechanik) 2. Welche Anforderungen

Atomphysik I: Fragen zur Quantenmechanik
1. Was ist der fundamentale Unterschied von Quantenmechanik und
klassischer Mechanik? -- fassen sie die Antwort in maximal 3 Sätzen
zusammen.
Diskutieren sie an folgenden Beispielen wann die quantemechanische
Behandlung erforderlich ist und wann die klassische Beschreibung ausreicht.
1.1 ein Elektron mit einer Energie von 10 eV fliegt durch ein abbildendes
System (Flugbahn ist durch Blenden etc. begrenzt )
1.2 ein atomares Gas hat die Dichte n und die Temperatur T
- wann ist Quantenmechanik erforderlich, welche statistische
Verteilungsfunktion wird wann gebraucht
(Beispiel: Na (A=23), n=1011 cm-3 )
1.3 ein eindimensionaler Oszillator mit (red. Masse) m und Eigenfrequenz ω
-diskutieren sie den Uebergang von der QM zur klassischen Beschreibung
1.4 ein starrer Rotator mit Trägheitsmoment I (um eine Drehachse)
Antworten 1.
a)Fuer ein klassisches Teilchen lassen sich Ort und Impuls zu jedem Zeitpunkt
exakt angeben d.h. sein Ort im Phasenraum. In der Quantenmechanik ist dies
durch die Unschaerferelation eingeschraenkt: Δq Δp ≥ h/2 (q,p)= (verallg.
Ort, Impuls)
px
px
Flaeche
h/2
x
Beispiel: Klass. Oszillator
x
Oszillator in der QM
b) Folgen: -Drehimpulse sind gequantelt L2 = J(J+1) h 2
- Energien sind gequantelt sobald ein Teilchen auf ein endliches
Raumgebiet begrenzt ist
Sobald die durch die Unschaerferelation gegebene Flaeche klein gegen die
Bahnkurve im Phasenraum ist reicht die klassische Beschreibung
1.1 Elektron Ekin = 10 eV -Æ
p= √2 m E = h/λ
Quantenmechanik wird gebraucht sobald sich die ‘Wellennatur des Elektrons
Bemerkbar macht das heisst seine de Broglie-Wellenlaenge
λ = h/p ~ 3* 10-10 m = 3 Å
Sobald eine Strahlbegrenzung d auftritt, die vergleichbar mit der Wellenlaenge ist
Sind quantenmechanische Effekte zu beobachten. Wo diese grenze liegt haengt
Von der Genauigkeit der Beobachtung ab!! Die Aufloesung auch des groessten
Teleskops ist beugungsbegrenzt!
Beispiel: Beugung von Fullerenen (Zeilinger et al.)
λ ~ 2.5 pm
1.2
Mittlerer Abstand d~1/ n3
De Broglie Wellenlaenge:
λ = h/ √2 m E =h/ √3m kT
d
Sobald λ ~ d ueberlappen die
Wellenfunktionen und das Gas muss
QM behandelt werden
Beispiel: Na-Dampf n= 1011 cm-3
Æλ = 5*10-9 m * T-1/2 (T in K)
d = 2 10-6 m
d= λ fuer Tk = 6.2 μK
Fuer T>> Tk reicht die Boltzmann-Verteilung (verduennte Gase und hohes T)
Fuer T~ Tk brauchen wir Bose-Einstein fuer Bosonen oder
Fermi-Dirac fuer Fermionen
Was ist das Na –Atom??
1.3 Oszillator
En = (n + ½) ω h
Fuer grosse n ist ω h << En Æ klassische Beschreibung genuegt
0 0
Klass. Aufenthaltwahrswcheinlichkeit
QM: n=0 und n=18
Bsp.: m=1 g, Frequenz= 100 Hz, Amplitude – 1 mm Æ E=9.6 10-5 J
hω = 6.2 10-32 J
n = 1.5 1027 !
1.4 Rotator
Drehimpuls ist gequantelt!
L = √ J(J+1) h
=Iω
Æ Erot = L2 /2 I = J(J+1) h2 / 2 I
Abstand zweier benachbarter Rotationsniveaus: ΔE = J* h2/I
Relativer Abstand ΔE /E = 2/J Æ 0
Hohe J Æ uebergang zur klassischen Physik
Atomphysik II (Quantenmechanik)
2. Welche Anforderungen muessen an eine Wellenfunktion gestellt werden
Æ Liste
• Sie muss normierbar sein: ∫Ψ* Ψ dV= 1
Æ Wellenfunktion muss im ∞ verschwinden (meist exponentiell)
• sie muss stetig sein! (Teilchenerhaltung)
• sie muss stetig differenzierbar sein (Erhaltung des Teilchenstroms)
• sie muss eindeutig sein! ( z.B. bei Drehung um 2π um eine Achse im Zentralpotential)
3. Wie koennen Messwerte einer Variablen aus der Wellenfunktion berechnet
werden? Wann haben die feste Werte, wann koennen nur Mittelwerte bestimmt
Werden?
Messgroesse O Æ Operator Ô Æ Erwartungswert <O> = ∫Ψ* Ô Ψ dV
Vertauscht Ô mit dem Hamiltonoperator, dann ist Ψ Eigenfunktion von Ô
Ô Ψ = o Ψ mit Eigenwert o
Eine Messung der Messgroesse O ergibt dann immer den Wert o
Beispiel: kinetische Energie: Ekin = h2/2m Δ
5. Welche Variable sind gleichzeitig messbar
Beispiel: Zentralpotential , wie sehen Eigenfunktionen und
Eigenwerte aus?
Drehimpuls:
[L2,Lz] =0 Æ L2, Lz gleichzeitig messbar
Ylm = Plm(θ)* eimφ
L2 Ylm = l(l+1)h2 Ylm
Lz Ylm= m Ylm
Reines Coulombpotential:
[H,L2]=[H,Lz]=0
HΨn,l,lz = ERy/(nr+l)2 Ψ ; n=nr+l
Parität ist erhalten (solange nur el.magn WW
Berücksichtigt wird: [H,P]=0 p=(-1)l
Regeln:
l=0,…,n-1
m= -l,…,0,….l ; 2l+1 Werte
Multiplizität eines Energieniveaus: 2 n2 (inklusive Spinfreiheitsgrad)
6. Durch welchen vollstaendigen Satz von Quantenzahlen wird ein
H-Niveau (inkl aller Korrekturen) beschrieben
fuer welche Erhaltungsgroessen stehen welche QZ
n: Energie der
‘Schale’
L: Bahndrehimpuls
und Paritaet (-1)L
J: Gesamtdrehimpuls
S: Gesamtspin
(bestimmt Multiplizitaet der Aufspaltung)
des Niveaus zu L
Beispiel:
2 2p3/2 im H-Atom
Stat. Gewicht des
Niveaus (= Zahl der
Niveaus im
Magnetfeld): 2J + 1