Theoretische Physik 5 Höhere Quantenmechanik und

Theoretische Physik 5
Höhere Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie
H. Spiesberger
5. Übungsblatt
Ausgabe: 17. 5. 2017
Abgabe: Montag, 29. 5. 2017
Besprechung: 31. 5., 2. 6. 2017
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Aufgabe 1: Dichteoperatoren (3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2)
Ein beliebiger (symmetrischer oder antisymmetrischer) N -Teilchenzustand |ψi ist in der Ortsdarstellung durch eine Wellenfunktion ψ(x1 , x2 , . . . , xN ) (mit entsprechender Symmetrie unter
Vertauschung der Argumente) gegeben:
Z
|ψi = dx1 . . . dxN ψ(x1 , . . . , xN )|x1 . . . xN i.
(1)
Der Ausdruck
Z
ρψ (x) = N
dx2 . . . dxN ψ ∗ (x, x2 , . . . , xN )ψ(x, x2 , . . . , xN )
(2)
beschreibt dann offensichtlich die auf die Gesamtzahl N der Teilchen normierte Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen am Ort x zu finden.
(a) Zeigen Sie, dass ρψ (x) der Erwartungswert des Operators ρ̂ψ (x) im Zustand |ψi ist, wenn
in der Ortsdarstellung
Z
ρ̂ψ (x) =
dx1 . . . dxN
N
X
δ(x − xi )|x1 . . . xN ihx1 . . . xN |
(3)
i=1
gilt.
(b) Zeigen Sie, dass ρ̂ψ (x) in der Besetzungszahldarstellung durch
ρ̂ψ (x) =
∞
X
ψk∗ (x)ψ` (x)a†k a`
(4)
k,`=1
gegeben ist. Dabei bezeichnen a†k , a` die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sowie ψi (x)
die zugehörigen Wellenfunktionen für 1-Teilchenzustände im Fock-Raum.
Hinweise: Übertragen Sie die in der Vorlesung hergeleiteten Ergebnisse für den 1-Teilchenbeitrag zum Hamilton-Operator. Welcher Ausdruck entspricht in dem hier betrachteten Fall
den H0,i (xi )? Welche Matrixelemente müssen also statt hk` berechnet werden und wie lautet
das Ergebnis?
(c) Zeigen Sie, dass ρ̂ψ (x) auch mit Hilfe von Feldoperatoren geschrieben werden kann und
dass folgende Gleichheit mit dem Operator der Gesamtteilchenzahl N̂ gilt:
Z
Z
dxρ̂ψ (x) = dx Ψ† (x)Ψ(x) = N̂ .
(5)
(d) Die zweite Möglichkeit, einen Dichteoperator zu definieren, ist in der Basis der 1-Teilchenzustände |ψk i durch
∞
X
n̂ψ =
nk` |ψk ihψ` |
(6)
k,`=1
hψ|a†` ak |ψi.
gegeben, wobei nk` =
Hier ist n̂ψ ein Operator, der im 1-Teilchen-Hilbert-Raum
wirkt. Die Koeffizienten nkl hängen vom betrachteten N -Teilchenzustand |ψi ab. Zeigen Sie,
dass sich mit dieser Definition und unter Beachtung von Gl. (4) die Dichte ρψ (x) aus Gl. (2)
als Erwartungswert von n̂ψ in den Eigenzuständen |xi der Ortsoperators ergibt:
ρψ (x) = hx|n̂ψ |xi .
(7)
(e) Zeigen Sie, dass die Spur des Operators n̂ψ mit der Teilchenzahl N übereinstimmt:
Sp(n̂ψ ) = N .
(f) Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert
eines beliebigen 1-Teilchenoperators mit der
P∞
†
Besetzungszahldarstellung F = k,`=1 fk` ak a` gilt:
hψ|F |ψi = Sp(F n̂ψ ) .
(8)
Aufgabe 2: (3 + 1 + 4)
In dieser Aufgabe sollen die Beiträge zum Hamilton-Operator eines in einem endlichen, quaderförmigen Volumen (Kantenlänge L) eingeschlossenen Gases von N Elektronen in der Besetzungszahldarstellung untersucht werden. Als Basiszustände können die auf das Volumen
L3 normierten ebenen Wellen |ψ~k i mit
1
(9)
h~x|ψ~k i = ψ~k (~x) = √ exp(i~k · ~x)
L3
zu quantisierten Impulsen (~ki = 2π~ni /L, ni ∈ N, i = 1, 2, 3) verwendet werden. Die zugehörigen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren seien mit a~†k und a~k bezeichnet. Der Spinfreiheitsgrad wird nicht berücksichtigt.
(a) Zeigen Sie, dass die kinetische Energie des Elektrongases (in der Ortsdarstellung: H0 =
P ~2 ~ 2 †
P
~2
− N
~k 2m k a~ a~k geschrieben werden kann.
i=1 2m ∆xi ) in der Form H0 =
k
(b) Zeigen Sie, dass diePWechselwirkung mit einem ortsunabhängigen äusseren Potenzial
u0 = const. durch He = ~k u0 a~†k a~k gegeben ist (homogenes Elektronengas).
(c) Die nur vom Abstand |~xi − ~xj | abhängige Wechselwirkung der Elektronen untereinander
sei in der Ortsdarstellung durch
N
1 X
HW =
V (|~xi − ~xj |)
(10)
2 i,j=1, i6=j
gegeben. Leiten Sie die folgende in der Besetzungszahldarstellung gültige Form her:
Z
1 XX
†
†
HW =
vq~ a~k+~qa~k0 −~qa~k0 a~k mit vq~ = d3 x exp(−i~q · ~x) V (|~x|) .
2V
0
~k,k~
(11)
q~
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