8.¨Ubung zur Statistischen Mechanik (WS 2015

Prof. Michael Lässig
Dr. Fernanda Pinheiro
Dr. Simone Pompei
Universität zu Köln
Institut für theoretische Physik
8. Übung zur Statistischen Mechanik (WS 2015/16)
Aufgabe 14: Gleichgewichtsstatistik eines Polymers
Betrachten Sie ein System aus N Molekülen (Monomere), dessen Temperatur konstant gehalten
wird. Die Monomere können sich zu einer eindimensionalen Polymerkette verbinden, wie in
Abb. 1 gezeigt ist. Jedes Monomer befindet sich in einem von zwei möglichen Zuständen:
Gebunden in der Kette oder frei in der Lösung. Wir betrachten hier ein einfaches Modell
der Polymerkette, in dem jedes gebundene (ungebundene) Monomer die freie Energie b (0 )
beiträgt. Die Differenz der freien Energien = b − 0 ist die Summe der Bindungsenergie und
der Entropiedifferenz zwischen den beiden Zuständen; Wir nehmen an, dass < 0 ist. In der
folgenden Rechnung wird als die effektive Energie eines gebundenen Monomers angesehen.
(a) Berechnen Sie die (effektive) Energie E eines Systemzustands mit L gebundenen Monomeren
(d.h., einer Kette der Länge L), sowie die Anzahl dieser Zustände.
(b) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme des Systems Z.
(c) Zeigen Sie, dass ein gegebenes Monomer mit der Wahrscheinlichkeit
pb =
e−β
1 + e−β
(1)
in der Kette gebunden ist, wobei β ≡ 1/(kB T ). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (L)
eine Kette der Länge L zu finden sowie hiermit die mittlere Länge hLi und die Varianz
h(L − hLi)2 i.
(d) Berechnen Sie nun die mittlere Länge hLi und die Varianz h(L − hLi)2 i aus der freien
Energie des Systems, F = −β −1 log Z.
Hinweis: Sie könnten zum Beispiel die einfache Relation zwischen L und E aus Aufgabenteil (a) benutzen. Andererseits könnten Sie ein chemisches Potential pro Monomer, µ,
einführen.
1 + 3 + 3 + 3 = 10 Punkte
1
Aufgabe 15: Seltene Ereignisse und Sanov-Theorem
Eine Messung sei durch eine Zufallsvariable X mit Ergebnismenge Ω = {x1 , . . . , xN } und
Wahrscheinlichkeitsverteilung
P : xν 7→ pν
(ν = 1, . . . , N )
(2)
beschrieben. Bei einem Experiment, das aus n unabhängigen Wiederholungen der Messung
besteht, erhalten wir eine Folge von Ergebnissen
x = (x(1) , x(2) , . . . , x(n) )
(3)
und damit eine empirische Verteilung relativer Häufigkeiten
P̂ : xν 7→ p̂ν =
kν
n
mit kν =
n
X
δ(x(i) , xν )
(ν = 1, . . . , N ).
(4)
i=1
Ist der Ausgang dieses Experiments “typisch” oder “atypisch”? Wir wissen, dass für genügend
grosse n ein typischer Ausgang des Experiments eine empirische Verteilung P̂ ≈ P (d.h. relative
Häufigkeiten p̂ν ≈ pν für ν = 1, . . . , N ) zeigt, während wesentliche Abweichungen zwischen den
Verteilungen P̂ und P selten sind. Das Sanov-Theorem beantwortet die Frage, wie selten solche
seltenen Ereignisse sind. Dabei werden Unterschiede zwischen der empirischen Verteilung P̂
und der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung P durch die relative Information oder
Kullback-Leibler-Distanz I(P̂ |P ) gemessen. Das Theorem bestimmt die Wahrscheinlichkeit für
einen Ausgang des Experiments mit einer empirischen Verteilung Q̂, die mindestens so weit
von P entfernt ist wie die tatsächlich beobachtete Verteilung P̂ :
Prob I(Q̂|P ) ≥ I(P̂ |P ) ' exp − n I(P̂ |P )
(5)
asymptotisch für genügend grosse n. Wir geben hier eine vereinfachte Herleitung des Theorems
(ein strenger Beweis findet sich in Thomas and Cover, Elements of Information Theory, John
Wiley & Sons, 2012).
(a) Berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Folge x mit einer Verteilung
P̂ relativer Häufigkeiten. Bringen Sie das Ergebnis auf eine Form, die der rechten Seite des
Theorems ähnelt.
(b) Zeigen Sie nun, dass die Anzahl der Folgen x mit gegebener Verteilung P̂ asymptotisch für
grosse n durch exp[n S(P̂ )] gegeben ist, wobei S(P̂ ) die Shannon-Entropie der Verteilung
P̂ bezeichnet.
Hinweis: Nähern Sie die auftretende Multinomialverteilung mit Hilfe der Stirling-Formel
n! ' exp(n log n).
(c) Zeigen sie mit (a) und (b), dass Prob P̂ ' exp − nI(P̂ |P ) gilt. Der volle Beweis
zeigt zusätzlich, dass die Wahrscheinlichkeit Prob I(Q̂|P ) ≥ I(P̂ |P ) durch diesen Term
dominiert ist.
(d) Wir betrachten nun ein Experiment mit einem Würfel Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dessen Augenzahl mutmasslich gleichverteilt
ist (pν = 1/6 für ν = 1, . . . , 6). Berechnen Sie I(P̂ |P ) sowie
Prob I(Q̂|P ) ≥ I(P̂ |P ) nach dem Sanov-Theorem für folgende Fälle:
n k1 k2 k3 k4 k5 k6
100 20 15 18 22 17 8
1000 200 150 180 220 170 80
2
3 + 3 + 2 + 2 = 10 Punkte
Abgabetermin: Freitag, 11.12.2015, 10:00 im Kasten beim Prüfungsamt
Informationen zur Vorlesung: www.thp.uni-koeln.de/~pompei
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