Geometrie und Topologie

Geometrie und Topologie
Übungszettel 07
Abgabe: Donnerstag, 8.6., 10:00 Uhr
(ins Postfach Ihres Tutors)
Jede Aufgabe ist fünf Punkte wert. Paarweise Abgabe ist gestattet. In diesem Fall soll
jeder Partner die Hälfte der Aufgaben aufschreiben. Es ist für jede Aufgabe kenntlich
zu machen, wer die redaktionelle Verantwortung trägt.
Sei M ⊆ Rm eine eingebettete Untermannigfaltigkeit. Sei x ∈ M ein Punkt und
ϕ : D → U eine Karte um x mit u := ϕ(x). Der eingebettete Tangentialraum von M
im Punkt x ist definiert als
eTx M := im Du ϕ−1
das Bild der Ableitung einer Parametrisierung. In der Vorlesung haben wir gesehen,
daß dieser Raum unabhängig von der Parametrisierung ist.
Aufgabe 1. Sei M ⊆ Rm eine eingebettete Untermannigfaltigkeit. Zeige, daß das
Tangentialbündel T M sich wiefolgt als eingebettete Untermannigfaltigkeit von R2m
auffassen läßt: Sei ι : M ,→ Rm die (nach Aufgabe 5-4 glatte) Inklusionsabbildung.
Dann ist
T ι : T M → T Rm = R2m
eine glatte Abbildung. Zeige, daß T ι injektiv ist, daß das Bild eT M := im(T ι) ⊆
R2m eine eingebettete Untermannigfaltigkeit ist und daß T ι : T M → eT M ein
Homöomorphismus ist.
a b
Aufgabe 2. Die Menge SL2 (R) := A :=
det(A) = 1 aller reellen 2×c d
Matrizen mit Determinante 1 fassen wir als Teilmenge des vierdimensionalen RVektorraum M2 aller 2 × 2-Matrizen auf. Zeige:
1. SL2 (R) ist eine eingebettete Untermannigfaltigkeit in M2 .
2. Die Abbildung
f : R3 −→ SL2 (R)
 
x
1
0
exp(x)
0
1
y
y  7→
z 1
0
exp(−x)
0 1
z
ist eine Parametrisierung.
1 0
Bestimme den eingebetteten Tangentialraum von SL2 (R) im Punkt
als Un0 1
terraum von M2 .
Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X nennen wir kompakt, wenn sie
bezüglich der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum ist. Beobachte,
daß das einfach nur heißt: jede Überdeckung von A durch (in X) offene Mengen hat
eine endliche Teilüberdeckung.
Aufgabe 3. Seien X und Y topologische Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Zeige, daß das Bild f (A) einer kompakten Teilmenge A ⊆ X stets kompakt
ist.
(Dies verallgemeinert den Satz, daß stetige reellwertige Abbildungen auf kompakten Räumen Maximum und Minimum annehmen.)