5.8cm Quantenphasenübergänge und Floquet

Quantenphasenübergänge und Floquet-Theorie in getriebenen
Quantensystemen im Nichtgleichgewicht
Stanislav Ax, Larissa Bauer, Alexander Klemt, Patrick Müller
Betreuer: Jan Totz, Anna Zakharova
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Getriebene Systeme und Kontrolle von
Quantenphasenübergängen
In der Vorlesung bisher:
I
Energieeigenwerte zu konservativen Hamiltonoperatoren berechnet
Was passiert, wenn wir stattdessen nichtkonservative Hamiltonoperatoren
betrachten?
→ Energien sind keine Erhaltungsgröße mehr
→ Quasienergien müssen definiert werden
I
Als Beispiel wird das Lipkin-Meshkov-Glick-Modell betrachtet
Ziel: Finden neuer Quantenphasenübergänge
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Gliederung
Quantenphasenübergänge
Bloch-Sphäre
Das Lipkin-Meshkov-Glick-Modell
Ungetriebener Fall
Schwierigkeit von getriebenen Systemen
Lösung des getriebenen LMG-Modells
Zusammenfassung und Ausblick
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Quantenphasenübergänge
Abbildung: Suprafluides Helium
als Beispiel für einen
Phasenübergang. Quelle: [Sup]
I
Phasenübergang: Überschreitung eines
kritischen Parameterwertes → Änderung
der Haupteigenschaft des Systems
I
1. Ordnung: Erste Ableitung des
thermodynamischen Potentials ist nicht
stetig → abrupter Übergang
I
2. Ordnung: Zweite Ableitung des
thermodynamischen Potentials ist nicht
stetig → kontinuierlicher Übergang
I
Nahe 0 K: fast keine thermischen
Fluktuationen →
Quantenphasenübergänge (QPÜ)
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Bloch-Kugel
I
Stellt Zustand eines
Zweizustandssystems in der QM
dar
I
Basisvektoren zeigen zu den
Polen
I
Punkte auf dem Äquator
bestehen zu gleichen Anteilen
aus den Basisvektoren
I
In folgenden Rechnungen wird
der Gesamtdrehimpuls in der
Bloch-Kugel dargestellt
ẑ = |0i
ŷ
x̂
−ẑ = |1i
Abbildung: Bloch-KugelDezentrales
mit Logo
optional
Basisvektoren
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Lipkin-Meshkov-Glick-Modell
I
1965 entwickelt um Phasenübergänge in Atomkernen zu beschreiben
I
N interagierende Spin-1/2-Teilchen in externem Magnetfeld
Hamiltonoperator:
HLMG = −hJz −
1
(γx Jx2 + γy Jy2 )
N
I
h: externes Magnetfeld
I
N: Teilchenanzahl
I
J: Gesamtdrehimpuls mit Komponenten Jx , Jy , Jz
I
γx , γy : Stärke der Wechselwirkung in x- und y -Richtung
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Energieeigenwerte des LMGM für zeitunabhängige γx , γy
Für den Fall, dass γ = γx = γy :
ELMG |j, mi = (−hJz −
γ 2
(J + J 2 + Jz2 −Jz2 ) |j, mi
N |x {zy
}
J2
mit J 2 |j, mi = ~2 j(j + 1) |j, mi und Jz |j, mi = ~m |j, mi
ELMG = −h~m −
1 2
γ~ (j(j + 1) − m2 )
N
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Energieeigenwerte des LMGM für zeitunabhängige γx , γy
Für den Fall, dass γx 6= γy :
Abschätzung der Energieminima durch Darstellung in Blochsphäre und
Beschreibung in Kugelkoordinaten mit γ = max(γx , γy )
(
−h,
falls γ < h
Ẽg =
1
h2
− 2 γ[1 + γ 2 ], falls γ > h
I
Genau ein Energieminimum → Zustand ist symmetrisch
I
Wenn zwei Energieminima entstehen → Symmetrie gebrochen →
Quantenphasenübergang
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Energieeigenwerte des LMGM für zeitunabhängige γx , γy
(
Ẽg =
−h,
+
− 21 γ[1
h2
],
γ2
falls γ < h
falls γ > h
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Abbildung: Blochsphäre für ungebrochene und gebrochene Symmetrie.
Quelle:
optional
[Eng13]
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Schwierigkeit von getriebenen Systemen
Hamiltonoperator des LMG-Modells:
HLMG = −hJz −
1
(γx (t)Jx2 + γy (t)Jy2 )
N
I
γx und γy sind explizit zeitabhängig
I
Hamiltonoperator ist nicht einfach diagonalisierbar
I
Überführung in das Modell des harmonischen Oszillators mit
ĤHO =
p̂ 2
mω 2 x̂ 2
+
+c
2m
2
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LMG-Modell mit periodischem γx (t), γy (t)
(getriebener Fall)
Verwende ursprünglichen Hamiltonoperator mit bosonischer
Drehimpulsalgebra (Holstein-Primakoff-Darstellung)
p
p
N
Jz = b † b − ;
J+ = b† N − b† b;
J− = N − b† bb
2
und neuen Koordinaten:
s
r
h
γy
1
h
† + b̂);
(1
+
)(b̂† − b̂)
q̂ = − (
)(
b̂
p̂
=
i
−
2h h + γ y
2
h
Dann folgt ein parametrisch getriebener Hamiltonoperator:
Ĥs (t) =
p̂ 2 1 2
γy
Nh
+ ( + hγ1x (1 + ) cos(Ωt))q̂ 2 +
1̂1
2
2
h
2
r
wobei Ω = Frequenz, = −
1+
γy
h
1+
γ0x
h
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LMG-Modell mit periodischem γx (t), γy (t)
Rotating Wave Approximation ignoriert alle schnellen Oszillationen
→ Erstellung eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators
Unitäre Transformation des Hamiltonoperators mit:
Ûm (t) = exp[−iΘ(t)Ĵx2 ]exp[−iΘm (t)Ĵz ]
mΩt
γ x sinΩt
und Θm (t) =
mit Θ(t) = 1
NΩ
2
Ĥm (t) = Ûm (t)ĤÛm (t)
∂
wobei H der Floquet-Hamiltonoperator H = Ĥ(t) − i ∂t
ist.
Der neue Hamiltonoperator ist dann
Ĥm (t) =
∞
X
n=−∞
(m)
ĥn e inΩt
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Lösung für den Fall m = 0
Effektiver Hamiltonoperator mit m-Photonenresonanzen für m = 0:
x
x
h
γ1
γy
4γ1
(0)
2
ĥ0 = − (Ĵz − i Ĵy )J0
(2Ĵx + 1) +
(Ĵz − i Ĵy ) J0
(Ĵx + 1)
2
NΩ
4N
NΩ
γx
γy 2
+h.c. −
(Ĵz + Ĵy2 ) − 0 Ĵx2
2N
N
wobei Jl = die Besselfunktion l-ter Ordnung bezeichnet.
Rücktransformation aus der Holstein-Primakoff-Darstellung. Damit
berechnen sich die unteren Quasienergien.
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Untere Quasienergien für m = 0
x q
1
2γ1
(0)
EG (Q, P) = −h |α|2 −
J0
Q 1 − |α|2
2
Ω
q
2
1
4γ1x
γy
|α|2 −
− (1 − |α|2 )P 2 J0
Q 1 − |α|2
+
2
2
Ω
2
γy
1
−
|α|2 −
+ (1 − |α|2 )P 2 − γ0x (1 − |α|2 )Q 2
2
2
wobei α = Q + iP.
I
Niedrigste Quasienergie wird verwendet um Energielandschaft zu
untersuchen
I
Zustände sind in lokalen Energieminima gebunden
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Phasenraumdiagramm im LMG
(0)
Abbildung: Quasienergieoberfläche EG als Funktion von (a) γ y und γ1x für
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γ0y
γ0x
optional
x
x
|h| = 0.5 und (b) γ0 und γ1 für |h| = 0.2. Quelle: [EBEB13]
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Niedrigste Quasienergien im LMG
Abbildung: Niedrigste Quasienergien für
N = 100,
Ω
|h|
= 40,
h
|h|
1
x
y
x
|h| (h, γ1 , γ , γ0 )
= 1. Quelle: [EBEB13]
= (−1,Dezentrales
−1, 210,
2),
Logo
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Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung:
I
Energieeigenwerte für getriebenen und
ungetriebenen Fall des LMG-Modells
I
Berechnung der Quasienergien für den
nichtkonservativen Hamiltonoperator
Ausblick:
I
Je nach Treibung des Hamiltonoperators
entstehen verschiedene Energieminima →
Veränderung der Potentiallandschaft und
Fixierung bestimmter Zustände
I
Definition eines neuen Zeitstandards über
eine Rotation auf der Bloch-Kugel
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Wir danken Georg Engelhardt für die
zahlreichen Hilfestellungen.
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Quellen I
G. Engelhardt, V. M. Bastidas, C. Emary, and T. Brandes.
Ac-driven quantum phase transition in the lipkin-meshkov-glick model.
Phys. Rev. E, 87:052110, May 2013.
G. Engelhardt.
Transport in systems with quantum phase transitions, December 2013.
Suprafluidität.
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Helium-II-creep.svg.
Accessed: 2015-02-08.
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Backup
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Bose-Einstein-Kondensat (BEK)
I
Viele ununterscheidbare Bosonen bei tiefen Temperaturen → viele
Teilchen im selben Quantenzustand → können durch dieselbe
Wellenfunktion beschrieben werden
I
Phasenübergang von klassischem Gas zu BEK bei kritischer
Phasenraumdichte
I
Temperatur muss dazu gering sein und Dichte des Gases hoch
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Gauss States und Squeezed States
Gauss States: Kohärente Zustände, die
wellenförmig auftreten wie z.B. im HO
Squeezed States:
I
Nicht vertauschbare Operatoren
befinden sich im Phasenraum, der durch
die Heisenberg’sche Unschärferelation
gegeben ist
I
Falls dieser Phasenraumzustand zur
Ellipse verformt ist, wird von einem
Squeezed State gesprochen
Abbildung: Phasenraumellipse
für Vakuumzustand und
Squeezed State
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