Universität des Saarlandes Lehrstab Statistik Dr. Rolf Hauser WS

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WS 2009/10
A
Universität des Saarlandes
Lehrstab Statistik
Dr. Rolf Hauser
A VIE N
8. Übungsblatt zu deskriptiver Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe 47
In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, die von 1 bis 5 numeriert sind. Es werden zufällig 3 Kugeln
gleichzeitig gezogen.
a) Schreiben Sie die möglichen Ausgänge dieses Zufallsexperimentes auf!
b) Ordnen Sie jedem Ausgang die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln zu. Welche Werte
kann die so definierte Zufallsvariable X annehmen?
c) Geben Sie die Punktwahrscheinlickeiten PX {xi } der Zufallsvariablen X an und stellen Sie die
Verteilung graphisch dar.
d) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(1) P({7, 8})
(2) P({6, 7, 9})
(3) P({8, 10})
(4) P({7, 9, 10, 11, 12})
Aufgabe 48
Gegeben sie die folgende Funktion:
fX (x) =
c · x(300 − x) für
0 ≤ x ≤ 300
0
sonst
a) Man bestimme die Konstante c so, dass fX (x) eine Dichtefunktion ist.
b) Man berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(1) P{100 < X ≤ 200}
(2) P{0 < X ≤ 150}
(3) P{−100 < X ≤ 250}
(4) P{0 < X ≤ 300}
Aufgabe 49
Eine diskrete Zufallsvariable X besitze die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
xi
p(xi ) = P {X = xi }
6
0.1
7
0.1
8
0.2
9
0.2
10
0.2
11
0.1
12
0.1
a) Zeigen Sie, dass X symmetrisch um 9 verteilt ist.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX (·) der Zufallsvariablen X und stellen Sie die Verteilungsfunktion graphisch dar.
c) Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
(1) P {7 < X < 10}
(4) P {7 < X ≤ 10}
(7) P {X > 7}
(2) P {7 ≤ X ≤ 10}
(5) P {X ≤ 10}
(8) P {X ≥ 7}
Aufgabe 50
Die diskrete Zufallsvariable X besitze die folgende

0




 1/8
3/8
FX (x) =


1/2



1
(3) P {7 ≤ X < 10}
(6) P {X < 10}
(9) P {X = 8}
Verteilungsfunktion:
für
für
für
für
für
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
x≥4
a) Geben Sie die Sprungstellen mit den entsprechenden Punktwahrscheinlichkeiten an.
b) Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(1) P {1 < X ≤ 3},
(2) P {1 ≤ X < 3},
(3) P {X ≥ 2}.
c) Welche Eigenschaften besitzt eine Verteilungsfunktion?
Aufgabe 51
Gegeben sei eine Funktion fX (x) mit:

für 0 ≤ x ≤ 2
 ax
1 − ax für 2 < x ≤ 4 , a ∈ R
fX (x) =

0
sonst
a) Bestimmen Sie die Konstante a so, dass fX (·) eine Wahrscheinlichkeitsdichte zu einer Zufallsvariablen X ist. Skizzieren Sie fX (·).
b) Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion FX (·).
c) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
(1) P {3 < X ≤ 4};
(3) P {1 ≤ X < 3};
(2) P {X = 3};
(4) P {X ≥ 3}.
d) Geben Sie die Grenze b an, unterhalb der 10% der Wahrscheinlichkeitsmasse liegt.
e) Ermitteln Sie den zum Symmetriezentrum von fX symmetrischen Bereich [c, d], in dem 50% der
Wahrscheinlichkeitsmasse liegt.
Aufgabe 52
Der monatliche Schmierölverbrauch X [kg] in einem Industriebetrieb sei eine Zufallsvariable mit der
folgenden Verteilungsfunktion:

0
für
x<0

10−6 · x2 · (300 − 2x) für 0 ≤ x ≤ 100
FX (x) =

1
für
x > 100
a) Geben Sie die Dichtefunktion fX (·) der Zufallsvariablen X an.
b) Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable X symmetrisch um 50 verteilt ist.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Industrieunternehmen monatlich mehr als 60
kg Schmieröl verbraucht werden?
Aufgabe 53
Die monatlichen Ausgaben X in EURO eines Haushaltes für Zeitungen und Zeitschriften seien eine
Zufallsvariable mit der folgenden Dichte:
c · x(40 − x) für 0 ≤ x ≤ 40
fX (x) =
0
sonst
a) Bestimmen Sie die Konstante c so, dass fX (.) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX (·) der Zuvallsvariablen X.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die monatlichen Ausgaben geringer als 20, − EURO sind?
d) Welche monatlichen Ausgaben werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 nicht überschritten?
(Hinweis: Es ist nur eine der 4 Zahlen −19, 08; 20, 00; 32, 17; 46, 92 näherungsweise richtig).