womit klar ist, dass die in 29.3 angegebenen φj Lösungen von (H

~ j Lösungen von (H) sind.
womit klar ist, dass die in 29.3 angegebenen φ
0 ω
Beispiele: 1) A =
: Es gilt A2 = −ω 2 I, also für k ∈ N:
−ω 0
A2k+1 = (−1)k ω 2k A,
Ende
Woche 9
A2k = (−1)k ω 2k I.
Somit ist für jedes t ∈ R:
(−1)k
2k
k=0 (2k)! (ωt)
P
(−1)k
2k+1
− ∞
k=0 (2k+1)! (ωt)
(−1)k
2k+1
k=0 (2k+1)! (ωt)
P∞ (−1)k
2k
k=0 (2k)! (ωt)
P∞
tA
e
=
!
P∞
=
cos(ωt) sin(ωt)
− sin(ωt) cos(ωt)
.
Beachte e0A = I und
d tA
(e ) =
dt




2) J = 



λ
1
..
.
..
.
0
..
.
..
.
0 ···
−ω sin(ωt) ω cos(ωt)
−ω cos(ωt) −ω sin(ωt)
0 ··· 0
.
..
. . . . ..
..
. ... 0
..
. λ 1
··· 0 λ
= A etA ,
t ∈ R.




 ∈ Cn×n . Es gilt




1
0 ··· 0

..
.
. . . . . ...
.
 0
 . .
..
J = λI + 
. ... 0
 .. . .
 .
...
 ..
0 1
0 ··· ··· 0 0
0




 = λI + N.



Wegen (λI)N = N (λI) ist also
etJ = etλI etN = eλt etN .
Nun hat N k für k = 1, . . . , n − 1 auf der k-ten Nebendiagonalen Einsen und sonst Nullen,
und N k ist die Nullmatrix für k ≥ n. Somit ist


tn−1
t2
· · · (n−1)!
1 t
2

.. 
 0 ... ... ...
. 


tJ
λt  .
.
.
.
.
t2
..
..
e = e  .. . .

2

 .
.
 ..
.. 1
t 
0 ··· ··· 0
1
30
3) Zu jeder Matrix A ∈ Cn×n gibt es eine reguläre Matrix S so, dass S −1 AS die folgende
Blockmatrix-Struktur (Jordan-Normalform, siehe HM II, 16.9) hat


J1 0 · · · 0
. . . . . . .. 

. 
 0
−1
S AS =  . .
,
.. ... 0 
 ..
0 · · · 0 Jl
wobei jedes Jj , j = 1 . . . , l, die Form wie in Beispiel 2) hat (mit λj statt λ und Dimension
nj statt n, wobei n1 + . . . + nl = n). Man erhält dann
0
tA
e
0 ··· 0
. . . . . . ..
.
..
.
.. 0
.
· · · 0 tJl
tJ1
B
B
B
B
B
B
B
B
@
= Se
0
..
.
0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A


 0
=S .
 ..
0
−1
S
etJ1
0 ··· 0
..
... ...
.
..
.
.. 0
.
· · · 0 etJl


 −1
S ,

wobei die Matrizen etJj ∈ Cnj ×nj in Beispiel 2) berechnet wurden.
Man sieht hier deutlich, woher die polynomialen Anteile in den Fundamentalsystemen aus
29.3 kommen, nämlich von den Einsen auf der Nebendiagonalen in den Jordanblöcken Jj .
Variation der Konstanten: Ist I ⊂ R ein Intervall, A ∈ Cn×n , t0 ∈ I, ~b : I → Cn stetig
und ~y0 ∈ Cn , so ist die eindeutige Lösung von
~y 0 = A~y + ~b(t),
t ∈ I,
mit ~y (t0 ) = ~y0 gegeben durch
(t−t0 )A
~y (t) = e
t
Z
e(t−τ )A~b(τ ) dτ,
~y0 +
t ∈ I.
t0
Bemerkung: Wir betrachten diese Formel für I = [0, ∞) und t0 = 0. Dann ist der zweite
Term die Faltung der matrixwertigen Funktion t 7→ etA mit der vektorwertigen Funktion
~b. Nehmen wir weiter an, dass die Komponenten von ~b Laplace-transformierbar sind, so
ergibt sich für s ∈ C mit genügend großem Realteil
L {~y (t)}(s) = L {etA }(s)~y0 + L {etA }(s)L {~b(t)}(s)
und
L {e }(s) =
tA
∞
Z
Z
−st tA
e
e dt =
0
=
1
s
∞ X
k=0
∞
A
s
k
=
1
s
−st
e
∞ k k
X
t A
0
k=0
−1
I−
31
A
s
k!
dt =
∞ Z
X
k=0
|0
= (sI − A)−1 .
∞
tk
e−st dt Ak
k!
{z
}
=s−(k+1)
Die matrixwertige Funktion s 7→ (sI − A)−1 heißt Resolvente von A, sie existiert für
s ∈ C \ {Ewe von A} und ist holomorph (→ HM II bzw. KAI) in dem Sinne, dass jeder
Matrixeintrag eine holomorphe Funktion von s ist. Die obigen Rechnungen stimmen jedenfalls formal, können für Re s groß aber auch mathematisch exakt begründet werden. Für
die Laplacetransformierte der Lösung erhalten wir so z.B.
L {~y (t)}(s) = (sI − A)−1 ~y0 + (sI − A)−1 L {~b(t)}(s),
was die Bedeutung der Resolvente bei der Lösung linearer Systeme unterstreicht.
32
Partielle Differentialgleichungen
Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung, welche Ableitungen einer gesuchten
Funktion u : D → R enthält, wobei D eine offene Teilmenge des Rn und n ≥ 2 ist.
Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es bei partiellen Differentialgleichungen je nach Art der vorliegenden Gleichung viele verschiedene Theorien. Partielle
Differentialgleichungen können nach verschiedenen Aspekten klassifiziert werden, zB nach
der Ordnung der höchsten auftretenden Ableitung der gesuchten Funktion oder algebraisch:
Lineare Gleichungen enthalten die gesuchte Funktion u und ihre Ableitungen nur linear,
quasilineare Gleichungen sind linear in den höchsten Ableitungen von u. Gleichungen, die
nicht quasilinear sind heißen voll nicht-linear. Solche Gleichungen können durch Differenzieren in quasilineare Gleichungen überführt werden.
Das Gebiet ist riesig, und wir werden einige typische Vertreter kennenlernen.
Beispiele: 1) ∂t u + ∂x u = 0 ist von erster Ordnung und linear.
2) ∂t u + u∂x u = 0 ist von erster Ordnung und quasilinear.
3) uxx uyy − (ux y)2 = f ist von zweiter Ordnung und voll nicht-linear. Leitet man nach x
ab, erhält man die Gleichung
uxxx uyy + uxx uxyy − 2uxy uxxy = fx ,
die von dritter Ordnung und quasilinear ist.
4) Die Gleichungen ∆u = 0 (Laplacegleichung), ut = uxx (Wärmeleitungsgleichung) und
utt = uxx (Wellengleichung) sind von zweiter Ordnung und linear.
30
Transportgleichungen und Charakteristiken
30.1 Lineare Transportgleichung mit konstanten Koeffizienten
Wir betrachten die Gleichung
∂t u + a∂x u = g(x, t),
(x, t) ∈ R2 ,
(1)
für eine Funktion u = u(x, t), die wir mit der Anfangsbedingung
u(x, 0) = f (x),
x ∈ R,
(2)
lösen wollen. Hierbei sind g : R2 → R, f : R → R und a ∈ R gegeben. Eine Lösung soll
eine Funktion u ∈ C 1 (R2 ) sein, die (1) und (2) genügt. Man ersieht hieraus schon, dass
g ∈ C(R2 ) und f ∈ C 1 (R) gelten muss.
Bemerkung: Die Abbildung u 7→ ∂t u + a∂x u, wobei hier Funktionen u abgebildet werden,
ist linear. Deshalb erhält man die Lösung von (1), (2) durch Addition der Lösungen für
die Fälle g = 0 und f = 0.
33
Die
linke Seite von (1) ist in der (x, t)-Ebene die Richtungsableitung von u in Richtung
a
.
1
Fall g = 0: Dann bedeutet (1), dass u auf Geraden xt + r a1 , r∈ R, konstant ist. Ist xt
fixiert, so trifft diese Gerade die Achse R × {0} im Punkt x−at
(setze r = −t). Aus (2)
0
erhält man also
u(x, t) = f (x − at), (x, t) ∈ R2 ,
dh der Anfangswert wird mit Geschwindigkeit a nach rechts transportiert. Für f ∈ C 1 (R2 )
ist dies tatsächlich die eindeutige Lösung von (1), (2) im Fall g = 0.
Fall f = 0: Dann bedeutet (1):
∂u
(x, t) = g(x, t),
∂(a, 1)
(x, t) ∈ R2 ,
und wir erhalten u durch Integration von g auf der Geraden xt + R a1 :
Z t
Z t
x − at
a
a
(Du)
u(x, t) = u(x, t)−u(x − at, 0) =
+r
dr =
g(x−(t−r)a, r) dr.
{z
}
|
0
1
1
0
0
=0
Beachte, dass f = 0 ist und dass wir Du für die Ableitung von u geschrieben haben. Ist g
stetig partiell nach x differenzierbar, so ist hierdurch tatsächlich eine Lösung von (1) mit
u(x, 0) = 0, x ∈ R, gegeben (verwende 22.2 aus HM II).
Ende
Woche 10
Satz: Ist f : R → R stetig differenzierbar und g : R2 → R stetig und stetig partiell nach x
differenzierbar, so ist die eindeutige Lösung von (1), (2) gegeben durch
Z t
u(x, t) = f (x − at) +
g(x − a(t − r), r) dr, (x, t) ∈ R2 .
(3)
0
30.2 Lineare Transportgleichung im Rn
Sei n ∈ N, ~a ∈ Rn und seien f : Rn → R, g : Rn ×R → R gegeben. Das Anfangswertproblem
∂t u + ~a · ∇u = g(~x, t), (~x, t) ∈ Rn × R
u(~x, 0) = f (~x), ~x ∈ Rn ,
(1)
lässt sich wie in 30.1 behandeln.
Satz: Ist f : Rn → R stetig differenzierbar und g : Rn × R → R stetig und nach jedem xj ,
j = 1, . . . , n, stetig partiell differenzierbar, so ist die eindeutige Lösung von (1) gegeben
durch
Z t
g(~x − (t − r)~a, r) dr, (~x, t) ∈ Rn × R.
(2)
u(~x, t) = f (~x − t~a) +
0
34