Materials WS 2014/15 Vorlesungr: undreas Will, will@tu

Master Umweltingenieur, 1. Semester, Modul 42439, „Strömungsmechanik“,
420607, VL, Do. 11:30-13:00, R. 3.21
420608, UE, Do. 13:45-15:15, R. 3.17
Materials WS 2014/15
Vorlesungr: undreas Will, [email protected]
◦ Massenerhaltung in Flüssigkeiten
◦ Lagrange und Euler Bild
◦ Deformationsoperatoren
◦ Kontinuitätsgleichung
◦ Inkompressibilität
◦ Übung
A. Will
Strömungsmechanik
Vorlesung 2: Massenerhaltung in Flüssigkeiten
(dM/dt=0) ohne Quellen und Senken
Es gibt zwei grundlegende Beschreibungen der Bewegung von Flüssigkeiten:
1. Lagrange-Bild: Beschreibung der zeitlichen Entwicklung der Position und der Form eines
Volumenelements.
Die Masse M ist zeitunabhängig (dM/dt=0), wenn sie über ein
materielles Volumen integriert wird. Es wird zur Beschreibung
von Trajektorien in Flüssigkeiten benutzt, wenn die Position
zum Anfangszeitpunkt bekannt ist, z.B. Vulkanaschenausbreitung. Das Verfahren ist geeignet für kurze Vorhersagezeiten,
wenn das mittlere Strömungsfeld bekannt ist.
2. Euler-Bild: Beschreibung der zeitlichen Entwickung der Massendichte in einem Volumenelement dessen
Posion und Volumen im Koordinatensystem konstant ist.
Die Massenänderung ∂M/∂t im Volumen V ist gegeben
durch den Massenfluß vρ durch die Oberfläche des Volumenelements. Das Eulerbild wird verwendet zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung des Feldes, z. B. in der
numerischen Wettervorhersage , Klimamodellierung oder
Umströmung von Gegenständen.
A. Will
Strömungsmechanik
Im Folgenden wird das Euler-Bild weitgehend verwendet !!
Vorlesung 2: Räumliche Ableitungen und Deformation
Die Deformation der Flüssigkeitsvolumina mit der Zeit wird beschrieben mithilfe von räumlichen
Ablietungen. Ihre geometrische Interpretation zeigt dies anschaulich
Wir betrachten ein quadratisches 2-dimensionales Flüssigkeitsteilchen , welches sich mit der
Geschwindigkeit V(x,y) bewegt. Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystem befinde sich in
dessen Zentrum (Lange, Physik des Wetters und des Klimas, S.79)
Wir bestimmen nun die Geschwindigkeiten der 4 Ecken relativ zum Koordinatenursprung. Hierbei
werden unterschiedliche Geschwindigkeitsänderungen angenommen. Die Relativgeschwindigkeiten
werden durch vektorielle Geschwindigkeitspfeile dargestellt.
• Wir betrachten den Fall ∂xvx > 0 : Die Die linke Abbildung zeigt das Koordinatensystem. Die rechte
Abbildung gibt die Geschwindigkeiten der Ecken an. Hierbei wurde ein konstanter räumlicher
Geschwindigkeitsgradient angenommen. Die folgende Differenzenrechnung gibt eine
mathematische Ableitung des Ergebnisses.
vx(Δx/2, Δy/2)
= vx (0, Δy/2) + vx(Δx/2, Δy/2)-vx(0, Δy/2)
= vx (0, Δy/2) + 0.5 Δx { [vx(Δx/2, Δy/2)-vx(0, Δy/2)]/(0.5 Δx) }
y
x
= vx (0, Δy/2) + 0.5 Δx ∂xvx > 0
vx(-Δx/2, Δy/2)
A. Will
Strömungsmechanik
= vx (0, Δy/2) + vx(-Δx/2, Δy/2)-vx(0, Δy/2)
= vx (0, Δy/2) + 0.5 Δx[vx(-Δx/2, Δy/2)-vx(0, Δy/2)]/(0.5 Δx)
= vx (0, Δy/2) - 0.5 Δx{ [vx(0, Δy/2) - vx(-Δx/2, Δy/2)]/(0.5 Δx) }
= vx (0, Δy/2) - 0.5 Δx ∂xvx > 0
Vorlesung 2: Räumliche Ableitungen und Deformation
Die 1. Zeile der Abbildung zeigt die Relativgeschwindigkeiten bei Annahme
unterschiedlicher räumlicher Geschwindigkeitsänderungen.
Die 2. Zeile zeigt die Relativgeschwindigkeiten in einem um 90 ° rotierten
Koordinatensystem.
y
x
y
x
A. Will
Strömungsmechanik
Hausaufgabe:
Leite die Geschwindigkeitsänderung im rotierten
Koordinatensystem ab für ∂xvx > 0 und ∂yvx > 0 .
Vorlesung 2: : Divergenz- und Rotationsoperator
Geomentrische Interpretation der Deformationsoperatorkombinationen
y
x
Divergenz
D= v
Streckung
Schärung
Rotation
= v
A. Will
Strömungsmechanik
Hausaufgabe: Bestimme die Relativgeschwindigkeiten von Divergenz, Streckung, Scherung und
Rotation im rotierten Koordinatensystem.
Vorlesung 2: Kontinuitätsgleichung
• Volumen
[m3]
V
• Dichte
• Massenerhaltung
=m/V
[kg/m3]
m= dm=
(x,y,z,t) dV
hängt von Ort und Zeit ab.
= V
wenn konstant
• Ableitung der Kontinuitätsgleichung:
• Betrachte die zeitliche Entwicklung der Masse M in einem raumfesten Volumen. Da das
volumen V zeitunabhängig ist, muß nur die Änderung der Dichte betrachtet werden:
m/ t = t(
(x,y,z,t) dV) =
t
(x,y,z,t) d3x
• Massenerhaltung: Die Massenänderung in einem raumfesten Volumen ist gleich dem Fluß der
Masse durch die das Volumen begrenzende Oberfläche.
A. Will
Strömungsmechanik
Vorlesung 2: Kontinuitätsgleichung
Die Ableitung der Kontnuitätsgleichung erfolgt in zwei Schritten, die hier kurz skizziert werden.
Hierzu wird ein Positionsvektor x eingeführt. Offensichtlich giltdx/dx=1. Die zeitliche Ortsänderung ist
die Geschwindigkeit v=dx/dt=(x(t+dt)-x(t))/dt. Die Orientierung von dx bestimmt die Orientierung
von v.
1.
Wir betrachten ein Flüssigkeitselement mit der Fläche f = fn
= nd2x und der Geschwindigkeit:
v(x,y,z) = v(x,y,z)ev =dx/dtev: v f= - ev n dx/dt d2x= - ev n
d3x/dt.
2.
3
3
Thus:
ev dx/dt/dx
t (x,y,z,t) d x =
t dx/dx d x =
d3x = n v d2x
Gauss Theorem sagt aus, daß das Oberflächenintegral über
den Fluß einer Größe gleich dem Volumenintegral über die
Flußdivergenz ist:
(v ) d3x = - n v (x,y,z,t) d2x
Kontinuitätsgleichung erhält man durch Vergleich der Integranden:
A. Will
Strömungsmechanik
t
(x,y,z,t)= -
( v)
Vorlesung 2: Inkompressibilität
• Kontinuitätsgleichung:
t
(x,y,z,t)= -
(v )
1. Annahme konstanter Dichte führt zu
t (x,y,z,t) = t (x,y,z) = 0
und
( v)=
v
Wir erhalten die wichtige Eigenschaft von inkompressiblen Flüssigkeiten:
0= v
Inkompressible Flüssigkeiten sind divergenzfrei!
A. Will
Strömungsmechanik
Vorlesung 2: Übung: Kontinuitätsgleichung
Mathematik:
Wir betrachten ein quadratisches 2-dimensionales Flüssigkeitselement dessen Ecken auf den
Koordinatenachsen liegen.
1. Leite die Relativgeschwindigkeit einer Ecke des Flüssigkeitselements gegenüber dem
Koordinatenursprung ab für ∂xvx > 0 und ∂yvx > 0 .
2. Bestimme die Relativgeschwindigkeiten
Physik:
Konstruiere eine Geschwindigkeitsfeld, welches die folgenden Bedingungen erfüllt
1. ||v||>0
2. div v=0
Zeichne das Geschwindigkeits- und Dichtefeld.
A. Will
Strömungsmechanik