8. ¨Ubung “Operatoralgebren”

Prof. Dr. Thomas Timmermann
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8. Übung “Operatoralgebren”
Achtung: Das Blatt hat 2 Seiten.
Sei A eine C ∗ -Algebra.
1. Sei τ eine Spur auf A (d.h. ein positives Funktional mit τ (ab) = τ (ba) für
alle a, b ∈ A) und π : A → L(H) eine zugehörige GNS-Darstellung mit
zyklischem Vektor ζ. Zeige:
(a) Es existiert eine konjugiert-lineare isometrische Bijektion J : H → H
mit Jπ(a)ζ = π(a)∗ ζ für alle a ∈ A.
(b) Es existieren eine C ∗ -Algebra Aop und ein Banachraum-Isomorphismus
A → Aop , a 7→ aop , mit aop · bop = (ba)op und (aop )∗ = (a∗ )op für alle
a, b ∈ A.
(c) Die Abbildung τ op : Aop → C, aop 7→ τ (a), ist eine Spur, und die Abbildung π op : Aop → L(H), aop 7→ Jπ(a)∗ J, ist eine GNS-Darstellung
für τ op mit zyklischem Vektor ζ.
(d) Für alle a, b ∈ A gilt π(a)π op (bop ) = π op (bop )π(a).
2. Sei n ∈ N, ω ein positives Funktional auf der C ∗ -Algebra A := Mn (C)
und π : A → L(H) eine zugehörige GNS-Darstellung mit zyklischem Vektor
ζ. Wir nehmen an, dass π treu ist, und bezeichnen mit Tr : A → C die
normalisierte Spur. Zeige:
(a) Es gibt eine positive invertierbare Matrix δ ∈ A mit ω(a) = Tr(aδ) für
alle a ∈ A.
(b) Für jedes t ∈ R ist die Abbildung σt : A → A, a 7→ δ it aδ −it , ein ∗Isomorphismus, und für alle s, t ∈ R gilt σs ◦ σt = σst .
(c) Für jedes a ∈ A besitzt die Abbildung R → A, t 7→ σt (a), genau eine
komplex differenzierbare Fortsetzung C → A, z 7→ σz (a).
(d) Es gilt ω(aa∗ ) = ω(σ−i/2 (a)∗ σ−i/2 (a)) für alle a ∈ A.
(e) Es existiert eine konjugiert-lineare isometrische Bijektion J : H → H
so, dass die Abbildung π op : Aop → L(H), aop 7→ Jπ(a)∗ J, eine GNSDarstellung mit zyklischem Vektor ζ für die Abbildung ω op : Aop → C,
aop 7→ ω(A), ist.
3. Beweise Folgerung 3.18: Ist A kommutativ, so ist jede irreduzible Darstellung von A eindimensional und es gilt Ω(A) = P S(A).
4. Sei π : A → L(H) eine irreduzible Darstellung. Zeige:
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(a) Für jedes abgeschlossene Ideal I ⊆ A gilt entweder I ⊆ ker π oder
π|I : I → L(H) ist irreduzibel.
(b) ker π ist ein Primideal, d.h. falls I1 , I2 ⊆ A Ideale sind und I1 I2 ⊆ ker π,
so gilt I1 ⊆ ker π oder I2 ⊆ ker π.
5. Sei H ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis (ξi )i∈I . Für jedes i, j ∈
I sei eij ∈ K(H) definiert durch eij ξl = ξi δl,j für alle l ∈ I. Ferner sei
π : K(H) → L(K) eine irreduzible Darstellung. Zeige:
(a) span{eij | i, j ∈ I} = K(H).
(b) dim π(eii )K = 1 für jedes i ∈ I.
(c) Es existiert ein Unitäres U : H → K mit π(x) = U xU ∗ für alle x ∈
K(H), und dieses Unitäre U ist eindeutig bis auf Multiplikation mit
komplexen Zahlen von Betrag 1.
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