Statistik für Business Administration

Statistik für Business Administration
Lösungshinweise Serie 8
1. EX = 1, 25 ,

0




 0, 5
0, 6
F (x) =


0, 9



1
P (X < 2) = 0, 6 ,
SS 2008
V ar X = 2, 3625
x<0
0 ≤ x < 1, 5
1, 5 ≤ x < 2
2≤x<5
x≥5
P (1 ≤ X < 3) = 0, 4 ,
P (X > 1) = 0, 5
2. Erwartungswert der Augensumme: 7
3. EX = −500 (Euro), d.h. es ist Verlust zu erwarten.
1
4. X nimmt die Werte 1,9,16,25 und 36 an mit Wahrscheinlichkeit 36
.
2
X nimmt die Werte 2,3,5,8,10,15,18,20,24 und 30 an mit Wahrscheinlichkeit 36
.
3
X nimmt den Wert 4 mit Wahrscheinlichkeit 36 an und die Werte 6 und 12 mit
4
WSK 36
.
3
1
für 1 ≤ x < 2, F (x) = 36
für 2 ≤ x < 3, ... ,
F (x) = 0 für x < 1, F (x) = 36
35
F (x) = 36 für 30 ≤ x < 36, F (x) = 1 für x ≥ 36
5. X - Anzahl fehlerhafte Dioden, binomialverteilte Zufallsgröße mit n = 4 und
p = 0, 1:
(a) P (X = 0) = 0, 656 ;
(b) P (X = 1) = 0, 292 ;
(c) P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 9963
6. X - Anzahl Parteianhänger, binomialverteilte Zufallsgröße mit n = 5 und p = 0, 4:
(a) P (X = 0) = 0, 078 ;
(b) P (X = 2) = 0, 346 ;
(c) P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] = 0, 663
7. Lösungshinweis: Komplementäres Ereignis verwenden!
Wahrscheinlichkeit größer als 95% : n ≥ 110 Spiele
Wahrscheinlichkeit größer als 90% : n ≥ 85 Spiele
8. X zählt richtige Antworten, X ist binomialverteilt mit Parametern n = 9 und p =
P (X ≥ 5) = P (X = 5) + ... + P (X = 9) ≈ 0, 1444
9. X - Länge der Bretter, normalverteilte Zufallsgröße mit µ = 300 und σ = 4:
(a) P (298 < X < 305) = Φ( 305−300
) − Φ( 298−300
)
4
4
= Φ(1, 25) − [1 − Φ(0, 5)] = 0, 585812
(b) x (Mindestlänge) mit P (x ≤ X) = 0, 9 = 1 − P (X < x) = 1 − F (x)
d.h. Φ( x−300
) = 0, 1 bzw. 1 − Φ( 300−x
) = 0, 1 ,
4
4
300−x
300−x
d.h. Φ( 4 ) = 0, 9. Hieraus folgt 4 = 1, 28 und damit x = 294, 88
10. X - Kolbendurchmesser, normalverteilte Zufallsgröße mit µ = 48 und σ = 0, 1:
P (47, 8 ≤ X ≤ 48, 2) = Φ( 48,2−48
) − Φ( 47,8−48
) = 2 · Φ(2) − 1 = 0, 9545
0,1
0,1
1
3
11. X - Anzahl Passagiere, normalverteilte Zufallsgröße mit µ = 150 und σ = 25:
x (Mindestzahl Passagiere) mit : P (x ≤ X) = 0, 9 = 1 − P (X < x) = 1 − F (x)
d.h. Φ( x−150
) = 0, 1 bzw. 1 − Φ( 150−x
) = 0, 1 ,
25
25
150−x
150−x
d.h. Φ( 25 ) = 0, 9. Hieraus folgt 25 = 1, 28 und damit x = 118
12. X - Abfüllgewicht, normalverteilte Zufallsgröße
(a) σ = 10 g
gesucht ist Erwartungswert µ1 , so daß P (X < 450) = 0, 01
µ1 −450
d.h. Φ( 10 ) = 0, 99 und somit µ1 −450
= 2, 33
µ1 = 473, 30 g
10
(b) Rechnung analog (a) mit σ = 3 g, µ2 = 456, 99 g
(c) Differenz µ1 − µ2 = 473, 30 − 456, 99 = 16, 31 g
Einsparung bei 10000 Gläsern pro Tag: 163,1 kg
13. X - Anzahl Müllwagen pro Stunde, poissonverteilte Zufallsgröße
(a) EX = λ = 4 und P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] =
0, 90842
(b) Y - Anzahl Müllwagen pro 10 Minuten, poissonverteilte Zufallsgröße mit EY = 46
P (Y = 0) =
λ0
0!
2
· e−λ = e− 3 = 0, 5134
1
14. X - störungsfreie Laufzeit, exponentialverteilte Zufallsgröße mit EX = 2000
=
0, 0005
(a) P (X ≥ 2000) = 1−P (X < 2000) = 1−F (2000) = 1−(1−e−0,0005·2000 ) = 0, 3679
(b) P (X ≤ 1500) = F (1500) = 1 − e−0,0005·1500 = 0, 5276
(c) P (X ≥ x) = 0, 9 = 1 − P (X < x) = 1 − F (x), d.h. 1 − (1 − e−0,0005·x ) = 0, 9
ln 0,9
= 210, 72
d.h. x = −0,0005
15. (a) P (X ≤ 2) ≈ 0, 5507
(b) P (1 ≤ X ≤ 3) ≈ 0, 3691
16. (a) P (0, 3 ≤ X < 30) = 0, 0498 ,
(b) P (X ≥ 1) = 0, 4540 · 10−4 ,
P (X ≥ β) = 0, 05 =⇒ β = 0, 2996
17. p =
8·18
20·30
= 0, 24
18. EX = 1, 2
F (x) =



1
(x3
2
0
x<0
3 4
− 8x ) 0 ≤ x < 2
1
x≥2
P (X < 1) =
5
16