Formelsammlung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Formelsammlung
F1
Formelsammlung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(Ω) = 1
3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) für disjunkte Ereignisse A und B
4. P(∅) = 0
5. P( A ) = 1 − P(A)
6. A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
7. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
P(AB) =
P(A ∩ B)
P(B)
P(A ∩ B) = P(AB) P(B) = P(A) P(BA)
n
P(A) = ∑ P(A | Bi )P(Bi )
i =1
P(Bi | A) =
P(A | Bi )P(Bi )
n
∑ P(A | B )P(B )
j
j
j=1
2.1 Diskrete Verteilungen
µ = E(X) = ∑ x i f ( x i )
i
σ2 = Var(X) = ∑ (x i − µ)2 f (x i ) = E(X − µ)2 = E(X 2 ) − µ 2
i
Formelsammlung
F2
2.2 Stetige Verteilungen
b
P(a < X < b) = ∫ f (x) dx = F(b) − F(a)
a
∞
µ = E(X) =
∫ x f (x) dx
−∞
∞
2
σ = Var(X) =
∫ (x − µ)
∞
2
∫x
f (x) dx =
−∞
2
f (x) dx − µ 2
−∞
σ2
P(| X − µ |> ε) ≤ 2
ε
3.1 Alternativverteilung A(p)
µ = E(X) = p, σ2 = Var(X) = pq
3.2 Binomialverteilung B(n,p)
()
f (k) = P(X = k) = n p k q n −k , k = 0,1,..., n
k
µ = np, σ2 = npq
3.3 Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,N,M)
M N−M
(
k )( n − k )
f (k) = P(X = k) =
,
N
(n)
µ=n
k = 0,1,..., n
M
N−n
= np, σ2 = n
pq
N
N −1
Formelsammlung
F3
3.4 Poisson-Verteilung Po(λ)
f (k ) = P(X = k ) =
λk −λ
e für k = 0,1,2,...
k!
µ = λ, σ2 = λ
3.5 Geometrische Verteilung Geo(p)
f (k) = P(X = k) = pq k für k = 0,1, 2,...
q
q
, σ2 = 2
p
p
µ=
3.6 Normalverteilung N(µ,σ2)
f (x) =
1
σ 2π
Z=
X ∼ B(n, p), np(1 − p) ≥ 9 :
e
1  x −µ 
− 

2 σ 
2
X−µ
σ
P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ (β) − Φ (α )
mit α =
a − 0,5 − np
b + 0,5 − np
, β=
np(1 − p)
np(1 − p)
3.7 Logarithmische Normalverteilung LN(µ,σ2)
F(x) = P(X ≤ x) = P(ln(X) ≤ ln(x)) = Φ(
2
2
ln(x) − µ
)
σ
2
E(X) = eµ+σ / 2 , Var(X) = e 2µ+σ (eσ − 1)
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F4
3.8 Lebensdauerverteilungen
S(t) = 1 − F(t) = P(T > t)
r(t) =
f (t)
S′(t)
=−
S(t)
S(t)
S(t) = P(T > t) = e−λt
f(t) = λe−λt
r(t) = λ
µɶ = x 0,5 =
ln 2
1
1
, µ = E(T) = , σ2 = Var(T) = 2
λ
λ
λ
S(t) = P(T > t) = e−λt
f(t) = λγt γ−1e −λt
r(t) = λγt γ−1
1/ γ
 ln 2 
µɶ = 

 λ 
γ
γ
Formelsammlung
F5
Formelsammlung zur Statistik
1.1 Punktschätzung
µˆ = x =
σˆ 2 = s 2 =
1
(x1 + ... + x n )
n
1
(x1 − x) 2 + ... + (x n − x) 2
n −1
(
)
p̂ = h = k / n
1.2 Intervallschätzung
σ
σ 
1+ γ
α

, x+c
x − c
 mit Φ(c) = 2 = 1 − 2
n
n

s
s 
1+ γ
α

, x+c
x − c
 mit F(c) = 2 = 1 − 2
n
n

2
1+ γ
α
 cσ 
n ≥   mit Φ(c) =
= 1−
2
2
 d 
 (n − 1)s 2
,

 c2
(n − 1)s 2 
1− γ α
1+ γ
α
= , F(c 2 ) =
= 1−
 mit F(c1 ) =
2
2
2
2
c1 

1+ γ
α
h(1 − h)
h(1 − h) 
= 1−
, h +c
h − c
 mit Φ(c) =
2
2
n
n 

c2
n≥ 2
4d
2.1 Parametrische Testverfahren
TG =
X − µ0
σ
n ∼ N(0,1)
Formelsammlung
F6
TG =
TG =
X − µ0
S
X1 − X 2
2
1
(n1 − 1)S + (n 2 − 1)S2
2
n ∼ t n −1
n1n 2 (n1 + n 2 − 2)
∼ t n1 + n 2 −2
n1 + n 2
H − p0
p0 (1 − p 0)
TG =
n ∼ N(0,1)
2.2 Nichtparametrische Testverfahren
TG = D+ ∼ B(n, p = 1/2)
n
+
2 = 2D − n ∼ N(0,1)
n
n
4
D+ −
TG =
TG = R + −
R + − n(n + 1) / 4
n(n + 1)(2n + 1) / 24
TG =
TG = R1 −
TG =
n(n + 1)
4
n1 (n1 + n 2 + 1)
2
R1 − n1 (n1 + n 2 + 1) / 2
∼ N(0,1)
n1n 2 (n1 + n 2 + 1) /12
k
TG = ∑
i =1
(n i − n i *) 2
∼ χ 2 k −1
ni *
3.1 Unabhängigkeit in Kontingenztafeln
n ij * = nh i.h . j =
n i.n . j
n
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F7
TG = ∑
(n ij − n ij *) 2
i, j
∼ χ 2(k −1)(m −1)
n ij *
3.2 Regressions- und Korrelationsanalyse
s xy =
1 n
1  n

( x i − x )( y i − y) =
 ∑ x i y i − nxy 
∑
n − 1 i =1
n − 1  i =1

y = a + bx mit b =
s xy
sx
2
, a = y − bx
Y(x) = α + βx + E(x), E(x) ∼ N(0,σ2)
S2 =
1 n
n −1 2
(Yi − A − Bx i ) 2 =
Sy − BSxy
∑
n − 2 i =1
n−2
(
TG1 =
A−α
1
x2
S
+
n (n − 1)s x 2
)
∼ t n −2
B−β
2
(n − 1)s x ∼ t n − 2
S
A + Bx − µ(x)
TG 3 =
∼ t n−2
1 (x − x)2
S
+
n (n − 1)s x 2
TG 2 =
TG 4 =
Y(x) − (A + Bx)
1 (x − x)2
S 1+ +
n (n − 1)s x 2
TG 5 =
(n − 2)S2
∼ χ 2n −2
2
σ
r=
Z=
1 1+ R
ln
2 1− R
∼
∼ t n−2
N(µ Z =
TG = R
s xy
s xs y
1 1+ ρ
ρ
1
2
ln
+
, σZ =
)
2 1 − ρ 2(n − 1)
n −3
n−2
∼ t n −2
1− R 2