Lineare Algebra (für PhysikerInnen) WS 11/12

KFU Graz
TU Graz
V. Mader, W. Schweiger
D. Berger, A. Glowatschnig
Lineare Algebra (für PhysikerInnen)
WS 11/12
Aufgabe 59: Betrachten Sie den Vektorraum V der reellen, symmetrischen 2 × 2–Matrizen (also solche mit  = ÂT ) über dem Körper der
reellen Zahlen R. Vektoraddition und skalare Multiplikation seien durch
die üblichen Rechenregeln für Matrizen definiert. Auf diesem Vektorraum
sei ein Skalarprodukt durch:
8. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 15.12.2011)
(Â, B̂) = Sp(ÂB̂)
Aufgabe 56: In der Vorlesung wurde ein Skalarprodukt für Vektoren aus dem
R3 geometrisch durch
a · b = ||a|| ||b|| cos ϕ
definiert, wobei ϕ der Winkel zwischen a und b ist. Drückt man dasselbe
Skalarprodukt durch die Vektorkomponenten aus,
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ,
√
und definiert die Länge dieser Vektoren durch ||a|| = a · a bzw. ||b|| =
b · b, so lässt sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren ermitteln.
Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren
⎛ ⎞
⎛ ⎞
−2
3
a = ⎝6⎠ und b = ⎝ 3 ⎠
1
9
||a|| :=
a21 − 2a1 a2 + 3a22
a1
∈ R2
a =
a2
die Eigenschaften einer Norm besitzt, die in der Vorlesung besprochen wurden.
Aufgabe 58: Zeigen Sie, dass
(a, b) := a1 b1 − a1 b2 − a2 b1 + 3a2 b2
für Vektoren
a =
a) Stellen Sie fest, ob die 2 Matrizen
1 0
0 1
 =
,
B̂ =
,
0 1
1 1
orthogonal zueinander sind, d.h. (Â, B̂) = 0 gilt.
b) Falls nicht, versuchen Sie eine Linearkombination Ĉ = α + β B̂ dieser beiden Matrizen zu finden, die orthogonal zu  ist und auf Eins
normiert ist (d.h. ||Ĉ||2 = (Ĉ, Ĉ) = 1).
c) Wie viele linear unabhängige Matrizen kann man im Vektorraum V
maximal finden?
Hinweis: Wie sieht eine reelle symmetrische 2 × 2–Matrix allgemein
aus?
d) Geben Sie ein Beispiel für eine Basis von V an.
Aufgabe 57: Zeigen Sie, dass
für Vektoren
erklärt, wobei Sp(Ĉ) = c11 + c22 die Spur der Matrix Ĉ bedeutet.
a1
a2
und b =
b1
∈ R2
b2
die Eigenschaften eines Skalarproduktes besitzt, die in der Vorlesung besprochen wurden.
Aufgabe 60: Zeigen Sie, dass die 3 Vektoren
⎞
⎛
⎛ √ ⎞
√
−1
3
1⎝
2⎝ √ ⎠
, v2 = −
v1 =
1 ⎠,
3
4
2
0
2
⎞
⎛
1
2⎝ √ ⎠
v3 =
,
− 3
4
2
√
bezüglich des üblichen Skalarproduktes im R3 , a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ,
normal aufeinander stehen und bezüglich der üblichen Norm ||a||2 = a ·a =
a21 + a22 + a23 die Länge 1 besitzen, d.h. vi · vj = δij gilt.
Diese 3 Vektoren stellen eine Basis des R3 dar, d.h. jeder beliebige Vektor
aus R3 lässt sich als Linearkombination dieser 3 Vektoren ausdrücken. Wie
sehen die Komponenten (α, β, γ) eines beliebigen Vektors r ∈ R3 aus, wenn
man ihn auf diese 3 Vektoren aufspannt, d.h. in der Form
⎛ ⎞
x
r = ⎝ y ⎠ = αv1 + βv2 + γv3
z
schreibt?
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Aufgabe 61: Eine andere
⎛
1 ⎝
e1 = √
2
Basis des R3 ist durch die 3 Vektoren
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎞
0
1
1
1
1 ⎠ , e2 = √ ⎝ −1 ⎠ , e3 = ⎝ 0 ⎠
2
0
1
0
gegeben.
Berechnen Sie für diese neue Basis die Komponenten der Vektoren
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛
1
2
−1
a = ⎝ 0 ⎠ , b = ⎝ 2 ⎠ , c = ⎝ 1 ⎠ ,
1
2
1
d.h. drücken Sie diese Vektoren als Linearkombination der ei , i = 1, 2, 3,
aus.
Wie sieht ein allgemeiner Vektor r = (x, y, z)T in dieser Basis aus?
Aufgabe 62: Auf dem Vektorraum der reellen Polynome 2.ten Grades seien ein
Skalarprodukt durch
1
(f, g) :=
dx f (x)g(x)
0
und eine Norm durch
||f ||2 = (f, f )
definiert. Betrachten Sie nun die Polynome
f (x) = x + 2 ,
g(x) = 3x − 2 ,
h(x) = x2 − 2x − 3 .
a) Berechnen Sie (f, g) und (f, h).
b) Berechnen Sie ||f || und ||g||.
c) Normieren Sie f und g auf 1, d.h. berechnen Sie f˜ = f /||f || und
g̃ = g/||g||.
Aufgabe 63: Im R2 seien folgende Normen definiert:
||a||1 := |a1 | + |a2 | , ||a||2 := a21 + a22 , ||a||∞ := max(|a1 |, |a2 |) .
Welches geometrische Gebilde stellt die Menge der Punkte dar, für die
a) ||a||1 = 1,
b) ||a||2 = 1,
gilt?
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c) ||a||∞ = 1