7. ¨Ubung Differentialgleichungen 1 Woche vom 13. 12.

7. Übung
Differentialgleichungen 1
Woche vom 13. 12.
1. Gegeben ist die DG
1
ẋ =
t
1 2t2
0 1
!
x + e−t
2t
t+1
t
!
,
x ∈ IR2 , t > 0
a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem und eine Fundamentalmatrix
Y (t).
b) Berechnen Sie die Wronski-Determinante von Y (t) und verifizieren
Sie die Aussage des Satzes von Liouville.
c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DG mittels Variation der
Konstanten.
2. Es seien X(t) und Y (t) zwei Fundamentalmatrizen für das System linearer DG x′ = A(t)x, t ∈ I.
Zeigen Sie, dass eine invertierbare Matrix C existiert mit X(t) = Y (t)C,
∀t ∈ I.
3. a) Sei A eine reelle n × n Matrix. Man zeige
i) det eA = espur(A)
T
ii) eA = (eA )T
iii) A schiefsymmetrisch, d.h. AT = −A, impliziert etA ist orthogonal
und det etA = 1.
b) Sei A(t), t ∈ I eine reelle schiefsymmetrische Matrix, d.h. AT = −A.
Zeigen Sie, dass dann für Lösungen der DG x′ = A(t)x gilt: |x(t)|2 ist
konstant.
4. Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem für die DG
x′ =








2 1 0 0
0 2 0 0
0 −1 2 0
0 0 0 2
0 0 0 −2
0
0
0
2
0




 x.



Hinweis: hier ist die explizite Berechnung des Fundamentalsystems verlangt.
5. Gegeben ist das System von DG
ẋ = Ax + f (t)
mit einer konstanten n × n Matrix A und einer T periodischen stetigen
Funktion f . Für alle Eigenwerte λ der Matrix A gelte Reλ 6= 0.
Zeigen Sie, dass die DG eine eindeutige T -periodische Lösung besitzt.
Hinweis: Stellen Sie die allgemeine Lösung der DG mittels Variation
der Konstanten dar und betrachten Sie die Gleichung x(0) = x(T ).
6. Gegeben sei die skalare DG
x′′ + q(t)x = 0
mit einer stetigen Funktion q : IR → IR.
Es seien x(t) und y(t) zwei Lösungen der DG. Ihre Wronskideterminante ist durch
W (t) := x(t)y ′ (t) − x′ (t)y(t)
definiert. Die Lösungen x(t) und y(t) sind l.u. wenn W (t) 6= 0, ∀t ∈ IR
gilt.
a) Zeigen Sie, dass W (t) konstant ist.
b) Zeigen Sie unter Verwendung von a), dass für l.u. Lösungen x(t) und
y(t) gilt:
i) Aus x(t1 ) = 0 folgt x′ (t1 ) 6= 0 und y(t1 ) 6= 0.
ii) Falls x(t1 ) = x(t2 ) = 0 gilt und x(t) 6= 0 für t ∈ (t1 , t2 ) dann hat
y(t) in (t1 , t2 ) genau eine Nullstelle.
Bemerkung: Die Eigenschaft ii) ist die sogenannte Trennungseigenschaft für die Nullstellen der Lösungen solcher DG. Daraus folgt z.B,
dass wenn eine Lösung oszilliert alle anderen Lösungen ebenfalls oszillieren. Ein einfaches Beispiel dafür sind im Fall q(t) = 1 die Funktionen
cos t und sin t.