Folie 1 - Institut für Risikomanagement und Versicherung

Übung zu Risiko und Versicherung
Entscheidungstheoretische Grundlagen
Christoph Lex
Dominik Lohmaier
http://www.inriver.bwl.lmu.de
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Institut für Risikomanagement
und Versicherung
Auf der Homepage unter
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1
Das Grundmodell der
Entscheidungstheorie
Institut für Risikomanagement
und Versicherung
Komponenten
• Aktionsraum A: die Menge aller zur Verfügung stehenden
Handlungsalternativen ai, i  {1,…,n}
• Zustandsraum S: die Menge aller vom Entscheidungsträger für
möglich gehaltenen und für die Entscheidung relevanten
Umweltzustände sj , j  {1,…,m}
• Ergebnisraum E: die Menge aller für möglich erachteten Ergebnisse
eij , i  {1,…,n}, j  {1,…,m}
• Ergebnisfunktion f ordnet jedem Paar (ai, sj) mit ai  A, sj  S ein
Ergebnis eij  E zu
• (vollständige, transitive) Präferenzrelation
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2
Das Grundmodell der
Entscheidungstheorie
Institut für Risikomanagement
und Versicherung
S
A
s1
s2
...
sj
...
sm
a1
e11
e12
...
e1j
...
e1m
a2
e21
e22
...
e2j
...
e2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai
ei1
ei2
...
eij
...
eim
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an
en1
en2
...
enj
...
enm
E
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3
Einige Aussagen über
Wahrscheinlichkeiten
Institut für Risikomanagement
und Versicherung
• Eine Wahrscheinlichkeit (meist mit dem Buchstaben „p“ bezeichnet)
ist eine Zahl zwischen 0 und 1.
• Schließen sich die einzelnen Ereignisse gegenseitig aus (es kann
entweder Ereignis 1 oder Ereignis 2 oder ... eintreten), so ist die
Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle möglichen Ereignisse
gleich 1.
• Schließen sich die einzelnen Ereignisse gegenseitig aus, so ergibt
sich die Wahrscheinlichkeit für ein “kombiniertes” Ereignis aus der
Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Additionssatz).
• Beispiel Würfeln:
P("1 oder 2" ) 
1 1

6 6
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4
Einige Aussagen über
Wahrscheinlichkeiten
Institut für Risikomanagement
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• Bei unabhängiger Wiederholung eines Zufallsexperiments ergibt
sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis der Form „erste
Durchführung des Experiments führt zu Ergebnis 1, zweite
Durchführung führt zu Ergebnis 2” durch Multiplikation der
Einzelwahrscheinlichkeiten.
• Beispiel Würfeln: P(„1.Wurf = 1 und 2.Wurf = 2“) 
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1 1 1
 
6 6 36
5
Definition Wahrscheinlichkeits-Maß
(Axiome)
•
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Eine Funktion P, die jedem Ereignis Z  S eine reelle Zahl
zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, und P(Z) heißt
Wahrscheinlichkeit von Z, wenn gilt:
1.
2.
3.
0  P (Z )  1
P(S )  1
für jedes
ZS
Für abzählbar viele Ereignisse Z1, Z2, .... mit
Z i  Z j =   i  j gilt:
  
P   Z i    P ( Z i )
 i 1  i 1
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6
Rechenregeln und grundlegende
Definitionen
Es gilt:
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P ( ) = 0 , P ( S ) = 1
P(Z )  P(Z C )  1 mit Z C  S \ Z
(Komplement von Z)
P (Z1  Z 2 ) = P (Z1) + P (Z 2 ) - P (Z1  Z 2 )
Zwei Ereignisse Z1 und Z2 heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:
P (Z1  Z 2 ) = P (Z1)  P (Z 2 )
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P (Z 1 | Z 2 ) wird definiert als
P ( Z 1 | Z 2 ) :
P ( Z1  Z 2 )
,
P(Z 2 )
sofern P ( Z 2 )  0 .
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Institut für Risikomanagement
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Beispiel: Roulette
stochastisch unabhängig:
Kugel fiel auf „rot“ in den letzten drei Runden.
P(rot | „rot“ in den letzten drei Runden) = 18/37
stochastisch abhängig:
P(gerade) = 18/37
Kugel fällt auf „rot“:
P(gerade | „rot“ in aktueller Runde) = 8/18
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8
Rechenregeln und grundlegende
Definitionen
Institut für Risikomanagement
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Für stochastisch unabhängige Ereignisse Z1 und Z2 gilt:
P ( Z1  Z 2 ) P ( Z1 )  P ( Z 2 )
P ( Z 1 | Z 2 ) :

 P ( Z1 )
P(Z 2 )
P(Z 2 )
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
Zi mit i = 1, 2, ... seien abzählbar viele paarweise disjunkte Ereignisse
positiver Wahrscheinlichkeit.

Für ein Ereignis
A   Zi
i 1

gilt:
P ( A)   P ( Z i )  P ( A Z i )
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i 1
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Rechenregeln und grundlegende
Definitionen
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Bayes-Theorem:
Sei P(Zk) die a-priori und P(Zk | A) die a-posteriori Wahrscheinlichkeit von Zk
unter Kenntnis des Eintritts von Ereignis A. Unter den Voraussetzungen des
Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit gilt dann
P ( Z k A) 
P(Z k )  P( A Z k )

 P(Z )  P( A Z )
i 1
i
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i
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Wahrscheinlichkeitsinterpretationen
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1) logische (bzw. objektive a-priori-) Wahrscheinlichkeiten
2) frequentistische (bzw. objektive a-posteriori-) Wahrscheinlichkeiten
3) subjektive Wahrscheinlichkeiten
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Anpassung subjektiver
Wahrscheinlichkeiten
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• Urne mit 6 Kugeln:
- entweder sind alle rot (s1),
- zur Hälfte rot und zur Hälfte schwarz (s2)
- oder alle sind schwarz (s3).
• Der Entscheidungsträger hat folgende subjektive
Wahrscheinlichkeitseinschätzungen über die Umweltzustände:
1
p(s 1 ) = p(s 2 ) = p(s 3 ) =
3
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Anpassung subjektiver
Wahrscheinlichkeiten
Jetzt wird eine rote Kugel gezogen:
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subjektive Wkt.
1
1
p(s1 )  p(r | s1 )
2
3
p(s1 | r) = 3
=
=
1
1 1 1
3

1
+

+

0
p(s
)

p(r
|
s
)
i
i

3
3 2 3
i=1
1 1

1
3 2
p(s2 | r) =
=
1
1 1 1
1+  +  0 3
3
3 2 3
1
0
3
p(s3 | r) =
=0
1
1 1 1
1+  +  0
3
3 2 3
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Anpassung subjektiver
Wahrscheinlichkeiten
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Nach Zurücklegen wird noch eine rote Kugel gezogen:
angepasste Wkt.
2
1
p(s1 )  p(r | s1 )
4
3
p(s1 | r) = 3

=
2
1 1
5

1
+


0

0
p
(
s
)

p
(
r
|
s
)

i
i
3
3 2
i1
p(s 2 | r) =
1
5
Nach Zurücklegen wird zum dritten Mal eine rote Kugel gezogen:
4
1
8
5
p(s1 | r) =
=
4
1 1 9
1+ 
5
5 2
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1
p(s 2 | r) =
9
14
Entscheidungsproblem des
Versicherungsnehmers
s1
p(s1)
s2
p(s2)
w1
w2
a1
a2
w1   w 2    x 2
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...
sj
p(sj)
...
sm
p(sm)
...
wj
...
wm
...
wj   xj
...
wm    xm
s1, s2, …, sm
Umweltzustände (s1 = ungestörte Situation)
p(sj)
(subjektive) Wahrscheinlichkeitseinschätzung des
Versicherungsnehmers für den Eintritt des Umweltzustandes sj
a1
Handlungsmöglichkeit „nicht versichern“
a2
Handlungsmöglichkeit „Versicherungsvertrag mit der
Prämie  und den Versicherungsleistungen x2, ..., xm
abschließen“
w1, w2, ..., wm
Endvermögen des Versicherungsnehmers in
Abhängigkeit von möglichen Realisationen des zu
versichernden Risikos

x2, x3, ..., xm
Preis für Versicherungsschutz (Prämie)
Schadenzahlungen des Versicherers
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Entscheidungsproblem des
Versicherers
s1
q(s1)
a1
0
a2
 k
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s2
q(s2)
...
sj
q(sj)
0
...
0
...
...
  k  xj
...
  k  x2
...
sm
q(sm)
0
  k  xm
q(sj)
(subjektive) Wahrscheinlichkeitseinschätzung des
Versicherers für den Eintritt des Umweltzustandes sj
a1
Handlungsmöglichkeit „nicht versichern“
a2
Handlungsmöglichkeit „versichern“
k
Betriebskosten, die für den Versicherungsvertrag anfallen
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16
Institut für Risikomanagement
und Versicherung
Beispiel
• Simulation : Aus einer Urne, die 10 Kugeln enthält (1 davon rot, die restlichen
schwarz), wird dreimal jeweils eine Kugel gezogen, die anschließend wieder
zurückgelegt wird. Die Ziehung einer roten Kugel bedeutet jeweils einen
Schaden in Höhe von 10.000,- €.
• Wie sieht die (Gesamt-)„Schadenverteilung“ (xi, pi) aus?
„Schadenzahl“verteilung:
zi
„Schadenverteilung“:
pi
xi
pi
0
0.729
0€
0.729
1
0.243
10000 €
0.243
2
0.027
20000 €
0.027
3
0.001
30000 €
0.001
• Angemessene Prämie/Mindestprämie?
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Risikoaversion
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• Definition: Ein Entscheidungsträger heißt risikoavers (risikoscheu),
wenn er stets eine sichere Zahlung einer zufälligen Zahlung mit
identischem Erwartungswert vorzieht.
• Risikoaversion kann als das zentrale Motiv für die Nachfrage nach
Versicherungsschutz angesehen werden und ist deshalb in der
Versicherungsökonomie von besonderer Bedeutung.
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Sicherheitsäquivalent
• Das Sicherheitsäquivalent einer zufälligen Größe ist dasjenige
sichere Einkommen, für das ein Entscheidungsträger ein Risiko
gerade abgeben würde.
U(w+SÄ) = E(U(w+))
U(…) := Nutzenfunktion
E(...) := Erwartungswert
w := Anfangsvermögen
 := Risiko
SÄ := Sicherheitsäquivalent
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Sicherheitsäquivalent
Einfache Lotterie (25.000; 0,75; -8.000)
U(w)
U(w+25.000)
U[E(w+)]
U(w+SÄ) = E[U(w+)]
U(w)
U(w-8.000)
SÄ[]
RP[]
E[]
E[w+]
SÄ[]+w
w-8.000
w
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E[w+] w+25.000
w
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Risikoaversion versus Risikoneutralität
Institut für Risikomanagement
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• Ein Entscheidungsträger heißt risikoneutral, wenn er stets eine
zufällige Zahlung genauso beurteilt wie eine sichere Zahlung in Höhe
des Erwartungswertes.
• Risikoneutralität wird in ökonomischen Modellen häufig als Annahme
über die Risikoeinstellung von Versicherungsunternehmen
verwendet.
 warum?
• Es spricht aber auch vieles dafür, dass sich Versicherer – zumindest
in bestimmten Sparten – risikoscheu verhalten.
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21
Risikoprospekt im μ-σ-Diagramm
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
2
1
1 2
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
22
Risikoprospekt im μ-σ-Diagramm

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Indifferenzkurve VR
Netto-RP[1]
des VR
(µ1, 1)
Indifferenzkurve VN
SÄ1
1
1 =E [1]
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Preisuntergrenze des VR
= Mindest-BruttoRP

23
Stichworte zum Bernoulli-Prinzip
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• Bernoulli-Prinzip:
 Ein Entscheidungsträger besitzt eine auf dem Ergebnisraum
definierte beschränkte, streng monoton wachsende, reellwertige
Nutzenfunktion u (Bernoulli-Nutzenfunktion).
 Der Präferenzwert einer jeden Wahrscheinlichkeitsverteilung über
dem Ergebnisraum errechnet sich als Erwartungswert der mit ihrem
Nutzen bewerteten Ergebnisse (Erwartungsnutzen).
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Stichworte zum Bernoulli-Prinzip
Institut für Risikomanagement
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• Ein Entscheidungsverhalten, das im Einklang mit dem BernoulliPrinzip steht, kann als rational in dem Sinne betrachtet werden, dass
es bestimmte Postulate erfüllt, die Anforderungen an “vernünftiges”
Handeln formulieren.
• Umgekehrt impliziert das Anerkennen dieser Axiome als
Entscheidungskriterium bei Risiko das Bernoulli-Prinzip.
- Beispiel: Eine Handlungsalternative a, deren zufälliges Ergebnis
e eine endlich-diskrete Verteilung besitzt (mögliche Ergebnisse
e1,..., en, zugehörige Wahrscheinlichkeiten p1,..., pn), wird
beurteilt nach dem Kriterium
n
Eu(e)   p i  u(ei )
i1
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Stichworte zum Bernoulli-Prinzip
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• Bei Risikoaversion gilt Eu(e)  u(E[e ]) für eine nicht-degenerierte
Zufallsvariable e.
• Die Bernoulli-Nutzenfunktion eines risikoscheuen
Entscheidungsträgers ist streng konkav (Jensensche Ungleichung);
(u‘ > 0, u‘‘ < 0, wenn zweifach differenzierbar)
• Analog: Bernoulli-Nutzenfunktionen sind linear bei risikoneutralen
Entscheidungsträgern (und streng konvex bei risikofreudigen
Entscheidungsträgern)
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Risikoneutralität
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und Versicherung
• Ein Entscheidungsträger verhält sich risikoneutral, wenn er stets eine
zufällige Zahlung genauso beurteilt wie eine sichere Zahlung in Höhe
des Erwartungswertes.
• Risikoneutralität wird in ökonomischen Modellen häufig als Annahme
über die Risikoeinstellung von Unternehmen verwendet.
 Warum?
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Das Arrow-Lind-Theorem
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• Betrachtet wird ein Syndikat mit („unendlich“) vielen risikoaversen
Beteiligten, die gemeinsam eine riskante Investition tätigen.
• Außerdem gelten folgende Annahmen:
-
Keine Transaktionskosten,
-
Keine Steuern,
-
das übernommene Risiko ist vollkommen unkorreliert mit den
individuellen Einkommen der Beteiligten [Cov=0]
 Das Syndikat verhält sich so, als ob es risikoneutral wäre.
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