Untersuchung der Zeitabhängigkeit bei der Messung geladener

Untersuchung der Zeitabhängigkeit bei
der Messung geladener Teilchen in
ALICE
Bachelorarbeit
von
Svenja Pflitsch
Betreuer:
Prof. Dr. Henner Büsching
August 2012
JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT
FRANKFURT
FACHBEREICH 13
INSTITUT FÜR KERNPHYSIK
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation
4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Das Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Das Quark Gluon Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
3 ALICE
3.1 Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Inner Tracking System(ITS) . . . .
3.1.2 Time Projection Chamber (TPC) .
3.2 Runs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
8
8
8
9
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
12
14
19
19
19
19
20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Analyse
4.1 Verwendete Runs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Die Transversalimpulsspektren . . . . . . .
4.2 Konstante Verhältnisfunktion . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Verschiebung der unteren Grenze . . . . . .
4.3 Lineare Verhältnisfunktion . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Konsistenztest der Methode . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Zufällige Aufteilung der Runs . . . . . . . .
4.4.2 Aufteilung der Runs nach Eventzahl . . . .
4.4.3 Vergleich mit durchschnittlichem Spektrum
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Ergebnisse
21
5.1 Konstante Verhältnisfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Lineare Verhältnisfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Fazit und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Anhang
6.1 Die χ2 −Verteilung . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Die χ2 − Quantile . . . . . . . . . . .
6.1.2 Aufteilung der Runs nach Eventzahl
6.1.3 Zufällige Aufteilung der Runs . . . .
Abbildungsverzeichnis36 Tabellenverzeichnis37
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . .
Eidesstattliche Erklärung . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
30
32
33
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
1 Motivation
Im Forschungsgebiet der Kern und Teilchenphysik sucht man nach den kleinsten Bausteinen der Materie und den Kräften, die sie zusammenhalten. Um die bestehenden
Theorien weiter zu präzisieren und neue Phänomene zu entdecken, werden vielfältige Experimente auf der ganzen Welt durchgeführt. Dabei handelt es sich oftmals um
Collider-Experimente, die an Ringbeschleunigern stattfinden, in denen zwei Teilchen gegenläufig beschleunigt und an einem bestimmten Punkt zu Kollision gebracht werden.
Der zur Zeit leistungsstärkste Ringbeschleuniger ist der LHC (Large Hadron Collider)
des CERN bei Genf, welcher 2008 in Betrieb genommen wurde und einzelne Protonen
auf bis zu 7 TeV und Bleiionen auf bis zu 2,76 TeV/Nukleon beschleunigen kann. Bei
einer solchen Kollision zweier Teilchen entstehen neue Teilchen, deren Eigenschaften wie
Masse, Impuls oder elektrische Ladung von Detektoren erfasst werden und Aufschluss
darüber geben können, welche Wechselwirkungen stattgefunden haben.
Eines der am CERN stattfindenden Experimente ist ALICE. Durch Schwerionenkollisionen wird dort versucht ein Quark-Gluon-Plasma zu erzeugen. Das Quark Gluon
Plasma ist ein Zustand, der etwa 10−12 Sekunden nach dem Urknall geherrscht haben
soll. In diesem liegen Quarks und Gluonen noch als freie Telchen vor, bevor sie sich
zu Hadronen zusammenschließen. Eine der bei diesem Experiment gewonnenen Größen
ist der Transversalimpuls der in einer Kollision entstandenen Teilchen, welche für jede
Messreihe, genannt Run, in einem Spektrum zusammengefasst werden.
Gegenstand der Untersuchung dieser Arbeit ist der Vergleich dieser Spektren untereinander, um festzustellen, welche dieser Spektren große Abweichungen zu den restlichen
aufweisen und deshalb nicht für weitere Analysen verwendet werden sollten. Dazu werden alle Spektren einzeln miteinander verglichen und jeweils χ2 als Maßzahl für die
Abweichung berechnet, um anschließend diejenigen mit der größten durchschnittlichen
Abweichung aussortieren zu können. Nach einer kurzen Einführung in die dem ALICE
Experiment zugrunde liegende Physik und zwei der wichtigsten im Experiment verwendeten Detektoren, wird die Verwendete Analysemethode vorgestellt. Zum Schluss erfolgt
die Auswertung der gewonnenen Daten und ein Fazit darüber, wie verlässlich diese Methode ist. [1]
4
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Das Standardmodell
Im Standardmodell der Teilchenphysik sind drei von vier bekannten Kernkräften enthalten, die ihre Wirkung durch Vektorbosonen übertragen. Bosonen sind Teilchen mit
ganzzahligem Spin und werden durch die Bose-Einstein-Statistik beschrieben. Teilchen
mit halbzahligem Spin werden Fermionen genannt und durch die Fermi-Dirac-Statistik
beschrieben. Das Standardmodell umfasst die starke Kraft, die mit Hilfe der Quantenchromodynamik (QCD) erklärt wird, die elektromagnetische (EM) Kraft, welche durch
die Quantenelektrodynamik (QED) beschrieben wird, und die schwache Kraft mit deren zugehöriger Theorie. Die schwache und die EM Kraft werden in der vereinheitlichten
Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung zusammengefasst. Es ist bisher noch nicht
gelungen die Gravitation innerhalb des Standardmodells zu beschreiben.
Kraft
relative Stärke
Kräfte
Austauschteilchen
stark
schwach
EM
Gravitation
1
10−5
10−2
10−39
Gluonen
W +, W −, Z 0
Photonen
(Gravitonen)
Masse
(GeV/c2 )
0
102
0
?
wirkt auf
Quarks, Gluonen
Quarks, Leptonen
geladene Teilchen
massive Teilchen
Tab. 2.1: Die Wechselwirkungen des Standardmodells und die Gravitation. Die relative Stärke ist normiert auf die Stärke der Starken Kraft. [2]
Zu den zuvor erwähnten Fermionen mit halbzahligem Spin gehören die Quarks und
Leptonen. Es existieren jeweils 6 Quarks und 6 Leptonen, die in 3 Familien oder Generationen eingeteilt werden. Durch die oben genannten Kräfte können sie miteinander wechselwirken. Die Austauschteilchen der EM-Kraft, die Photonen, sind masselos,
weswegen sie eine unendliche Reichweite haben. Dagegen beträgt die Reichweite der
Schwachen Wechselwirkung aufgrund der hohen Masse der Austauschteilchen nur ca.
10−3 fm. Gluonen (eng. to glue) können, genau wie die geladenen Austauschteilchen der
Schwachen Wechselwirkung, untereinander koppeln, da sie selbst Farb-, bzw. Schwache
Ladung tragen. Dies ist auch der Grund dafür, dass die Starke Kraft nur eine geringe
Reichweite besitzt, obwohl Gluonen keine Masse haben. Die Farbladung der Gluonen
wurde entdeckt, als man Teilchen beobachtete, die es nach dem damaligen Verständnis
des Pauli Prinzips nicht geben dürfte, da sie anscheinend aus drei identischen Quarks bestanden. Deshalb wurde eine weitere Quantenzahl eingeführt, die Farbe. Quarks können
5
2 Physikalische Grundlagen
Name
u
d
c
s
t
b
(flavour)
(up)
(down)
(charm)
(strange)
(top)
(bottom)
Quarks
el. Ladung
Masse
2/3 e
1, 7 − 3, 0 MeV/c2
−1/3 e
4, 5 − 5, 5 MeV/c2
2/3 e
1, 275 ± 0, 025 GeV/c2
−1/3 e
95 ± 5 MeV/c2
2/3 e
173, 5 ± 0, 06 ± 0, 8 GeV/c2
−1/3 e
4, 18 ± 0, 03 GeV/c2
Tab. 2.2: Die Quarkfamilien mit ihren zugehörigen Ruhemassen und elektrischen Ladungen im Standardmodell. [4]
Name
e−
νe
µ−
νµ
τ−
ντ
Leptonen
el. Ladung
Masse
−e
0, 511 MeV/c2
0
< 2 eV/c2
−e
105, 7 MeV/c2
0
< 0, 19 MeV/c2
−e
1776, 8 ± 0, 16 MeV/c2
0
< 18, 2 MeV/c2
Tab. 2.3: Die Leptonenfamilien mit ihren zugehörigen Ruhemassen und elektrischen Ladungen im Standardmodell. [4]
die Farbladung Rot, Blau oder Grün tragen und Antiquarks analog die Farbladung
Antirot, Antiblau und Antigrün. Gluonen tragen jeweils eine Farbe und eine davon verschiedene Antifarbe. Hadronen müssen immer farbneutral vorliegen, weswegen es nicht
möglich ist einzelne Quarks zu beobachten. Bei Abständen einzelner Quarks von mehr
als 1 fm ist die Energie des Farbfeldes so groß, dass sie ausreicht, um reelle, farbneutrale Quark-Antiquark Paare zu erzeugen. Diese Eigenschaft wird als Confinement oder
Farbeinschluss bezeichnet.
Zu allen Fermionen existieren entsprechende Antiteilchen, welche die gleiche Masse
haben, jedoch die entgegengesetzte elektrische Ladung und Farbe besitzen. Quarks und
Antiquarks koppeln durch die Starke Kraft zu Hadronen. Bestehen diese aus drei Quarks
oder drei Antiquarks, werden sie Baryonen genannt (z.B. Protonen oder Neutronen). Bestehen sie aus einem Quark und einem Antiquark, heißen sie Mesonen (z.B. π, J/ψ). Es
wird immer wieder spekuliert, dass es noch weitere Arten von Hadronen gibt, wie zum
Beispiel das Pentaquark, welches aus vier Quarks und einem Antiquark bestehen soll.
Bis jetzt konnte jedoch noch keines nachgewiesen werden. [2,3]
6
2.2 Das Quark Gluon Plasma
2.2 Das Quark Gluon Plasma
Temperatur
Normalerweise liegen Quarks und Gluonen immer in einem gebundenen Zustand vor, welcher als Confinement bezeichnet wird. Es gibt jedoch eine Ausnahme. Werden Hadronen
stark genug verdichtet oder erhitzt, so entsteht eine neue Phase, genannt Quark-GluonPlasma (QGP), in dem Quarks und Gluonen als freie Teilchen vorliegen. Die Bedingungen für die Entstehung eines QGP sind in Abblildung 2.1 schematisch dargestellt.
Dabei ist die Temperatur T gegen die Nukleonendichte ρ aufgetragen. ρN M bezeichnet
die Kombination aus Temperatur und Nukleonendichte, die Materie normalerweise auf
der Erde annimmt.
frühes Universum
Quark-Gluon Plasma
Tc
Hadronische Materie
ρNM
Neutronensterne
Baryonendichte ρ
Abb. 2.1: Schematische Darstellung eines QCD Phasendiagramms [5].
Ein einzelnes Nukleon innerhalb eines Kerns nimmt im Allgemeinen ein Volumen von
ca. 6 fm3 ein, wobei sein Eigenvolumen nur etwa ein Zehntel dessen beträgt. Wird ein
kalter Kern nun auf das zehnfache seiner normalen Dichte verdichtet, so beginnen die
Nukleonen sich zu überlappen und hören auf als individuelle Teilchen zu existieren, sodass die Quarks und Gluonen nicht mehr auf ein Nukleon beschränkt sind und sich frei
bewegen können. Diese enormen Dichten können jedoch nur in Neutronensternen herrschen.
Versucht man ein Quark-Gluon-Plasma durch eine starke Temperaturerhöhung ohne
Verdichtung zu erzeugen, muss mindestens die kritische Temperatur (Tc ) erreicht werden. Diese liegt etwa bei 200 MeV, was einigen Billionen Kelvin entspricht. Bei so hohen Temperaturen stehen den Nukleon-Nukleon Wechselwirkungen so viel Energie zur
Verfügung, dass sich die benötigte Hadronendichte durch Pion-Produktion erreicht wird
und die Häufigkeit der Stöße zwischen den Teilchen so hoch ist, dass die Zuordnung von
Quarks und Gluonen zu einem bestimmten Hadron nicht mehr möglich ist. [2,6]
7
3 ALICE
ALICE (A Large Ion Collider Experiment) ist eines der vier großen Experimente, die
am LHC des CERN durchgeführt werden. CERN steht für Conseil Européen pour la
Recherche Nucléaire und ist eine der größten Forschungseinrichtungen der Welt. Mit
Hilfe des LHC sollen dort fundamentale Fragen der Kernphysik geklärt werden. Der
LHC ist ein 27 km langer Ringbeschleuniger, mit dem Teilchen auf sehr hohe Energien
beschleunigt und zur Kollision gebracht werden können.
Das Ziel von ALICE ist es, durch Schwerionenkollisionen mit Bleikernen ein QuarkGluon-Plasma zu erzeugen. Dies soll dazu beitragen offene Fragen des Standardmodells
der Kernphysik zu klären und im besonderen die Physik stark wechselwirkender Teilchen
bei sehr hohen Energiedichten zu erforschen.
3.1 Detektoren
Die meisten Detektoren sind zylinderförmig um den Kollisionspunkt (Vertex) angeordnet
und von einem Solenoidmagneten umgeben, wie in Abblildung 3.1 dargestellt. Dieser Magnet wurde für das L3 Experiment am LEP (Large Electron-Positron Collider) benutzt
und wird hier wiederverwendet. Im Folgenden werden zwei der wichtigsten Detektoren
kurz vorgestellt, die dabei helfen, dreidimensionale Abblider der Spuren der Teilchen zu
erhalten, die in Schwerionenkollisionen entstehen.
Abb. 3.1: Aufbau des ALICE Detektors[7]
8
3.2 Runs
3.1.1 Inner Tracking System(ITS)
Das Inner Tracking System ist der innerste Detektor und verantwortlich für die Lokalisierung des primären Vertex, der Rekonstruktion sekundärer Vertices aus Mesonenzerfällen
und der Identifikation von Teilchen mit einem Transversalimpuls unter 200 MeV/c.
Zusätzlich dient er der Verbesserung der Auflösung des Impulses und des Winkels der
TPC (Time Projection Chamber). Das ITS besteht aus drei Halbleiter-Subdetektoren
die in jeweils zwei Lagen wie folgt angeordnet sind:
Die ersten beiden Schichten aus Silicon-Pixel-Detectors (SPD) sind am nächsten am Kollisionspunkt und müssen dementsprechend Spurdichten von 50 Spuren/cm2 verarbeiten
können. Zusätzlich ist die Strahlenbelastung in dieser Region sehr hoch. Über den SPDs
befinden sich zwei Schichten aus Silicon-Drift-Detectors (SDD). SDDs können mehrere
Teilchenspuren auf einmal erfassen und liefern Informationen über den spezifischen Engergieverlust, die zur Identifizierung von in der Kollision entstandenen Teilchen wichtig
sind.
Die Äußeren beiden Schichten des ITS bestehen aus Silicon-Strip-Detectors (SSDs). Diese sind wichtig für den Übergang vom ITS zur TPC. Durch die SSDs lässt sich die
x-y-Koordinate der Teilchen bestimmen und sie liefern zusätzliche Informationen über
den spezifischen Energieverlust der Teilchen. Die z-Koordinate wird separat durch die
Messung der Flugzeit bestimmt.
3.1.2 Time Projection Chamber (TPC)
An das ITS schließt sich die TPC an. Die TPC ist ein Gasdetektor, der mit einem
Gasgemisch aus Ne(85,7%), CO2 (9,5%) und N2 (4,8%) gefüllt ist. Durchfliegt ein geladenes Teilchen die TPC, ionisiert es Gasmoleküle auf seinem Weg. Die dabei von ihren
Molekülen getrennten Elektronen werden durch ein angelegtes elektrisches Feld zu den
Endkappen des Detektors beschleunigt. Das Signal der Ionisationselektronen ist proportional zum spezifischen Energieverlust der durchfliegenden Teilchen. Dadurch, dass
sich die Detektoren in einem Magnetfeld befinden, bewegen sich die Teilchen auf einer
gekrümmten Bahn, wodurch sich ihr Impuls bestimmen lässt. Mit Hilfe dieser Informationen ist es möglich die in der Kollision entstandenen Teilchen zu identifizieren. Mit
der ALICE TPC ist es möglich, mehrere tausend Teilchenspuren zu separieren und eine
gute Auflösung des Impulses in den Regionen von 0, 1 GeV/c bis 100 GeV/c zu erhalten.
[8,9]
3.2 Runs
Die mit den ALICE Detektoren durchgeführten Messungen werden in sogenannte Runs
eingeteilt. Innerhalb eines Runs werden die Einstellungen der Detektoren nicht geändert.
Die Werte dieser Detektoreinstellungen sind für die spätere Rekonstruktion der einzlnen
Teilchenspuren wichtig. Die Signale jeder Kollision innerhalb eines Runs werden zu einem
Event zusammengefasst. Jeder Run wird in eine Qualitätskategorie (“Global Quality“)
9
3 ALICE
eingeordnet. Jedem Run wird eine Zahl zugeordet, die angibt, in welche Qualitätskategorie (“Global Quality“) dieser fällt. Die Bedeutung der verschiedenen “Global Qualitiesı̈st
bei der Auflistung der verwendeten Runs aufgeführt (Tabelle ?? auf Seite ??). Die Mehrheit der hier verwendeten Runs verfügen über eine gute Qualität. Aus den Daten eines
Runs kann ein Transversalimpulsspektrum erstellt werden. Der Transversalimpuls ist
der Impuls senkrecht zur Strahlachse und kann nur bei Teilchen gemessen werden, die
in einer Kollision entstanden sind. Bei einem Transversalimpulsspektrum wird die Anzahl an Teilchen mit einem bestimmten Transversalimpuls gegen den Transversalimpuls
aufgetragen. Es wird jedoch kein kontinuierliches Spektrum erstellt, sondern Abschnitte
des betrachteten pT -Bereichs zu Bins zusammengefasst. Jedes Spektrum verfügt über
das gleiche Binning, jedoch kann die Größe einzelner Bins innerhalb eines Spektrum
variieren. Der jedem Bin zugeordnete Transversalimpulswert ist der Mittelwert des betrachteten Bereichs eines Bins. [10,11]
10
4 Analyse
Im Weiteren gilt es herauszufinden, wie ähnlich sich die Transversalimpulspektren der zu
betrachtenden Runs sind, um am Ende diejenigen aussortieren zu können, deren Spektren zu sehr abweichen. Abweichung bezieht sich hier auf Abweichungen in der Form der
Spektren, und nicht auf generelle Größenunterschiede, die durch einen Normierungsfaktor ausgeglichen werden können. Dazu wird im Folgenden das Verhältnis der einzelnen
Datenpunkte von jeweils zwei Runs zueinander gebildet und diese zuerst mit einer konstanten Funktion und im Anschluss mit einer linearen Funktion gefittet. Weichen die
Punkte des Verhältnisses zu sehr von der gefitteten Funktion ab, so muss der Run aussortiert werden.
4.1 Verwendete Runs
Bei den zu betrachtenden Runs werden die Transversalimpulsspektren analysiert, welche
√
auf Pb-Pb Kollisionen beruhen, die mit einer Strahlenergie von s = 2, 76 TeV im
Zeitraum vom 09.11 bis 06.12 2010 am CERN aufgenommen wurden (Periode LHC10h).
Ab dem Run mit der Nummer 138359 wurde die Richtung des Magnetfeldes umgekehrt,
in dem sich die meisten Detektoren befinden, was zur Folge hat, dass die Spektren bis Run
138359 nicht mit denen vergleichbar sind, die danach aufgenommen wurden. Deswegen
werden die Runs in zwei Blöcke eingeteilt, die jeweils einzeln analysiert werden. Die
Liste mit den verwendeten Runs befindet sich in In den Tabellen ?? und ?? auf der
nächsten Seite. Jedem Run wurde ein Qualitätsfaktor (Global Quality) zugeordnet. Für
fehlerhafte Runs ist die Art des Fehlers im Run Condition Table angegeben 1 .
Status
1
2
3
4
5
Beschreibung
Guter Run
Schlechter Run
Laufende Qualitätssicherung
Luminositätsscan
Geringe Statistik
Tab. 4.1: Erklärung der verschiedenen Qualitätsfaktoren. [10]
1
http://alimonitor.cern.ch
11
4 Analyse
Runnummer
137161
137162
137231
137232
137235
137236
137243
137366
137430
137431
137432
137434
137439
137440
137441
137443
137530
137531
137539
137541
137544
137546
137549
137595
137608
137638
137639
137685
137686
137691
137692
137693
137704
137718
137722
137724
137751
137752
137844
137848
138190
138192
138197
138200
138201
138225
138275
Block 1
Events
Global Quality
61.683
1
48.682
1
150.744
1
53.779
1
15.094
1
32.389
1
29.728
1
203.370
1
39.509
1
194.498
1
85.438
1
71.920
1
10.558
1
38.748
1
89.165
1
18.654
1
2.583
1
2.749
1
338.277
1
187.655
1
172.160
1
1.051
1
321.534
1
251.179
1
259.495
1
141.390
1
32.582
1
8.236
1
242.500
1
221.536
1
117.698
1
15.057
1
155.235
1
54.382
1
361.362
1
57.711
1
135.285
1
204.879
1
906.250
1
74.677
1
172.075
1
432.491
1
139.697
1
451.709
2
247.281
1
259.217
1
1,63E+009
1
Tab. 4.2: Für die Analyse verwendete Runs
Block 1
Runnummer
138359
138396
138438
138439
138442
138469
138534
138578
138579
138582
138583
138621
138624
138638
138652
138653
138662
138666
138730
138731
138732
138837
138870
138871
138872
139028
139029
139036
139037
139038
139042
139107
139172
139173
139309
139310
139311
139314
139316
139328
139329
139360
139437
139438
139439
139440
139465
139503
139505
139507
139510
Block 2
Events
Global Quality
338.755
2
477.483
1
66.417
1
206.982
1
443.888
1
160.613
1
1.501.660
1
292.281
1
264.740
1
45.469
1
227.625
1
184.619
1
168.390
1
211.187
1
23.399
1
446.404
1
239.305
1
266.938
1
46.126
1
20.658
2
18.375
1
269.093
1
80.470
1
39.575
1
16.207
1
36.780
1
112.572
1
140.877
1
119.747
1
383.378
1
114.455
1
527.801
1
495.808
2
325.505
1
122.718
1
112.965
1
6.247
5
233.223
1
4.897
2
156.369
1
270.860
1
26.394
1
510.389
1
133.249
1
6.912
5
70.559
3
652.162
1
24.562
1
42.873
1
331.140
1
148.400
1
Tab. 4.3: Für die Analyse verwendete Runs
Block 2
12
4.2 Konstante Verhältnisfunktion
4.1.1 Die Transversalimpulsspektren
Jedes Spektrum eines hier betrachteten Runs enthält 73 Datenpunkte, deren Transversalimpulse, jeweils zwischen 0 GeV/c und 100 GeV/c liegen (Abb. 4.1 und 4.2). Da die
Runs unterschiedlich viele Events besitzen, werden sie mit der Zahl der Events skaliert,
um sie vergleichbarer zu machen. Um nun den Verlauf aller Runs miteinander zu vergleichen, wird von jeder möglichen Kombination aus zwei Runs das Verhältnis der einzelnen
Datenpunkte zueinander gebildet. Dieses Vorgehen hat den Vorteil gegenüber dem direkten Vergleich der Datenpunkte zweier Spektren, dass trotz Skalierung noch vorhandene
generelle Größenunterschiede von einem konstanten Faktor in der späteren Auswertung
nicht ins Gewicht fallen. Außerdem können so Unterschiede in einzelnen Punkten besser
wahrgenommen werden, und die Fehler der Datenpunkte beider Runs werden jeweils
kombiniert. Dies ist in den Abbildungen 4.3 und 4.4 gut zu erkennen. Es ist jedoch zu
beachten, dass nur statistiche, keine systematischen, Fehler in den Spektren angegeben
sind. Im weiteren Verlauf der Analyse werden nur Datenpunkte mit einem pT -Wert zwischen 0,175 GeV/c und 4,75 GeV/c verwendet, da die Werte oberhalb von pT =5 GeV/c
sehr große statistische Fehler haben und die Datenpunkte unterhalb von 0,175 GeV nur
ungenau messbar sind und deshalb für jeden Run auf null gesetzt wurden (siehe 4.3 und
4.4). Würden sie berücksichtigt, so könnte es zu Verzerrungen in den Ergebnissen kommen. Durch diese Beschränkung reduziert sich die Anzahl der verwendeten Datenpunkte
auf 39.
4.2 Konstante Verhältnisfunktion
Die Wahl einer Konstanten Funktion (f (x) = c) zur Beschreibung des Verhältnisses zweier Runs bedeutet, dass angenommen wird, dass sich die Runs nur um einen konstanten
Faktor (c) unterscheiden, also von der Struktur her gleich sind, und keine pT -Abhängigen Effekte auftreten. Der Fit der Funktion an die Daten erfolgt numerisch durch Root1 .
Dabei wird für jede Iteration des Fits der gesuchten Funktion die Maßzahl χ2 berechnet,
um die Qualität zu überprüfen.
χ2 =
N
X
i=1
(f (xi ) − yi )2
eyi + exi · f 0 (xi )
f (xi ) = Vergleichsfunktion
eyi = Messfehler in y-Richtung
exi = Messfehler in x-Richtung [12]
χ2 ist das Maß für den Abstand zwischen den gemessenen Daten (xi ; yi ) und der
vermuteten Funktion an ihren Stützpunkten f (xi ). Der für jedes Runverhältnis optimale Wert für den Parameter c ist erreicht, wenn χ2 ein Minimum einnimmt. Es kann
jedoch trotz der Bestimmung des Minimums sein, dass χ2 die sogenannte “kritische
1
Für mehr Informationen: http://root.cern.ch
13
700
T
1/Nevt d2N/(dη dp )
T
1/Nevt d2N/(dη dp )
4 Analyse
600
500
600
500
400
400
200
200
100
100
0
0
1
2
3
138534
300
138359
300
4
0
0
5
p (GeV/c)
1
2
3
4
T
5
p (GeV/c)
T
1.2
Ratio
Ratio
Abb. 4.1: Beispiel für ein Transversalimpul- Abb. 4.2: Beispiel für ein Transversalimpulspektrum (1)
spektrum (2)
1.15
1.1
1.2
1.15
138359 / 138534
1.1
1.05
1.05
1
1
0.95
0.95
0.9
0.9
0.85
0.85
0.8
10-1
1
10
102
p (GeV/c)
T
0.8
10-1
138534 / 138359
1
10
102
p (GeV/c)
T
Abb. 4.3: Beispiel für das Verhältnis zweier Abb. 4.4: Beispiel für das Verhältnis zweier
Transversalimpulsspektren (1)
Transversalimpulsspektren (2)
Grenze“ überschreitet. Die kritische Grenze leitet sich von der χ2 -Verteilung ab (siehe
Anhang: Die χ2 -Verteilung) und ist von der Anzahl der Freiheitsgrade eines Fits und
der gewählten Signifikanzzahl α abhänging. α bezeichnet die Irrtumswahrscheinlichkeit,
welche bedeutet, dass eine an sich richtige Hypothese über den Verlauf der gefitteten
Funktion aufgrund des zu hohen χ2 abgelehnt wird. Die Freiheitsgrade für die konstante Vergleichsfunktion sind die Beteiligten Datenpunkte (39) der Verhältnishistogramme
minus zwei. Ein Freiheitsgrad muss für den gefitteten Parameter c abgezogen werden,
der andere aus Konvention. [12]
In diesem Fall wurde als Signifikanzzahl α = 1% gewählt, sodass die kritische Grenze
bei χ2 = 59, 893 liegt. Überschreitet das berechnete χ2 nun die kritische Grenze, so
bedeutet dies, dass die Annahme eines konstanten Verhältnisses falsch ist und sich die
Struktur der Runs zu stark von einander unterscheidet. [13]
Um nun die Runs auszusortieren, die von ihrer Struktur zu sehr von allen anderen
abweichen, wird für jeden Run das durchschnittliche χ2 für die Verhältnisse mit den
anderen berechnet. Derjenige mit dem größten durchschnittlichen χ2 wird anschließend
14
4.2 Konstante Verhältnisfunktion
aussortiert und das durchschnittliche χ2 der restlichen Runs ohne dessen Beteiligung
nochmals berechnet. Dies wird so lange wiederholt, bis nur noch einer übrig ist, dessen
χ2 mit sich selbst natürlich null ist. Dadurch ist gewährleistet, dass Runs, die in allen
Verhältnissen ein sehr hohes χ2 besitzen, nach ihrem Ausschluss nicht mehr das Ergebnis
der restlichen Runs beeinflussen. Im Anschluss werden die Runs gegen ihr durchschnittliches χ2 bei ihrem Ausschluss geplottet, um zu sehen, welche über der kritischen Grenze
liegen und somit aussortiert werden müssen. Zu Anschauungszwecken werden zusätzlich
die kritischen Grenzen für die Signifikanzzahlen α = 0, 1% und α = 5% eingezeichnet.
Es werden alle Runs ausgeschlossen, um den vollständigen Verlauf des durchschnittlichen χ2 darstellen zu können. Es kann sein, dass das durchschnittliche χ2 eines Runs bei
seinem Ausschluss unter der kritischen Grenze liegt, das des nächsten ausgeschlossenen
Runs jedoch wieder darüber. Das Verhältnis dieser beiden Runs kann ein kleineres χ2
besitzen, als die Verhältnisse mit den restlichen und hat deswegen einen großen Einfluss
auf das durchschnittliche χ2 .
4.2.1 Verschiebung der unteren Grenze
1.2
Ratio
Ratio
Bei der Betrachtung einzelner Verhältnishistogramme fällt auf, dass oftmals der erste
Datenpunkt bei 0, 175 GeV sehr stark von der gefitteten Linie abweicht. Da für diesen
Punkt nur geringe statistische Fehler angegeben sind, aber große Systematische Unsicherheiten im Vergleich mit höheren pT -Werten vorhanden sind, hat er einen großen Einfluss
auf die Größe von χ2 . Deshalb wird überprüft, was geschieht, wenn die untere Grenze
schrittweise verschoben wird. Durch die Änderung der Anzahl der betrachteten Punkte
der Verhältnishistogramme ändert sich auch jedes Mal die Anzahl der Freiheitsgrade,
weswegen die kritische Grenze bei jedem Schritt angepasst werden muss.
1.15
1.1
1.2
1.15
138666 / 138469
1.1
1.05
1.05
1
1
0.95
0.95
0.9
0.9
0.85
0.85
0.8
0
138731 / 138359
1
2
3
4
5
p (GeV/c)
T
0.8
0
1
2
3
4
5
p (GeV/c)
T
Abb. 4.5: Beispiel für eine starke Abweichung Abb. 4.6: Beispiel für eine starke Abweichung
des ersten Punkts (1)
des ersten Punkts (2)
15
⟨ χ2 ⟩
4 Analyse
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
160
140
Kritische Grenzen
α = 0,1%
120
α = 1%
α = 5%
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
137539
137161
137231
137162
137235
137232
138200
137243
137544
137639
137366
137530
138192
137236
138275
138190
N
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
137541
137430
137686
137752
137443
137549
137685
137441
137848
137844
137691
137432
137718
138201
137434
137638
N
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
137439
137704
137531
137595
137722
137692
137546
137431
137751
137724
138197
137608
137693
137440
138225
45
N
⟨ χ2 ⟩
Abb. 4.7: χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 1. Die untere Grenze befindet sich bei 0,175 GeV
und die kritische Grenze ist χ2 =59,893. N ist die Ausschlussreihenfolge. Alle Runs, deren
durchschnittliches χ2 über der kritischen Grenze liegt sind rot markiert.
100
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Kritische Grenzen
α = 0,1%
α = 1%
α = 5%
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
137539
137161
137231
137162
137235
137232
137243
137366
137530
137639
137236
137544
138190
137443
138200
137430
N
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
137541
137844
137718
137441
137685
137691
137434
137752
137439
137686
137549
138201
137638
137704
137432
137531
N
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
138275
137546
137724
137692
137431
137693
138192
138197
137595
137848
137722
137608
137751
137440
45
N
Abb. 4.8: χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 1. Die untere Grenze befindet sich bei 0,225 GeV
und die kritische Grenze ist χ2 =58,619. N ist die Ausschlussreihenfolge. Alle Runs, deren
durchschnittliches χ2 über der kritischen Grenze liegt sind rot markiert.
16
⟨ χ2 ⟩
4.2 Konstante Verhältnisfunktion
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
300
Kritische Grenzen
α = 0,1%
250
α = 1%
α = 5%
200
150
100
50
0
0
10
20
30
40
138666
138731
138653
138359
139510
138439
138579
138469
139172
139328
139037
138662
139329
138652
138534
138837
138582
N
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
138396
139314
138583
138438
139437
139310
138624
139029
139173
138442
138621
139311
138578
138732
139505
139465
139507
N
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
138638
139042
139036
139360
139028
139438
138872
138730
139440
139316
139503
138871
139309
139107
139439
138870
139038
50
N
⟨ χ2 ⟩
Abb. 4.9: χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 2. Die untere Grenze befindet sich bei 0,175 GeV
und die kritische Grenze ist χ2 =59,893. N ist die Ausschlussreihenfolge. Alle Runs, deren
durchschnittliches χ2 über der kritischen Grenze liegt sind rot markiert.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
180
160
Kritische Grenzen
α = 0,1%
α = 1%
α = 5%
140
120
100
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
138666
138731
138653
138359
139510
138439
138579
138469
139172
139328
139037
138662
139329
138652
138534
138837
138582
N
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
138396
139314
138583
138438
139437
139310
138624
139029
139173
138442
138621
139311
138578
138732
139505
139465
139507
N
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
138638
139042
139036
139360
139028
139438
138872
138730
139440
139316
139503
138871
139309
139107
139439
138870
139038
50
N
Abb. 4.10: χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 2. Die untere Grenze befindet sich bei 0,225
GeV und die kritische Grenze ist χ2 =58,619. N ist die Ausschlussreihenfolge. Alle Runs,
deren durchschnittliches χ2 über der kritischen Grenze liegt sind rot markiert.
Anhand der Abblildungen 4.7 bis 4.10 ist bereits erkennbar dass das Verschieben der
unteren Grenze von 0,175 GeV/c auf 0,225 GeV/c einen großen Einfluss auf die Anzahl
der Runs hat, die über der kritischen Grenze liegen. In den Tabellen 4.1 und 4.2 auf den
nächsten beiden Seiten sind die Ergebnisse aller durchgeführten Verschiebungen aufgeführt. Es ist deutlich erkennbar, dass die erste Verschiebung einen wesentlich größeren
Einfluss hat, als jede weitere. Dieser Effekt ist, wie man sehen kann, bei den Runs aus
Block 2 noch viel stärker ausgeprägt als bei denen aus Block 1. Deswegen wird in der
weiteren Analyse nur der Wertebereich von 0, 225 GeV bis 4, 75 GeV betrachtet. Durch
die Reduzierung der verwendeten Datenpunkte verschiebt sich die kritische Grenze auf
χ2 =58,619. Der betrachtete Wertebereich gilt auch für die lineare Verhältnisfunktion,
damit beide Analysen vergleichbar bleiben.
17
4 Analyse
Block 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Runnummer
137539
137161
137231
137162
137235
137232
137243
137366
137530
137639
137236
137544
138190
137443
138200
137430
137541
137844
137718
137441
137685
137691
137434
137752
137439
137686
137549
138201
137638
137704
137432
137531
138275
137546
137724
137692
137431
137693
138192
138197
137595
137848
137722
137608
137751
137440
138225
0,175 GeV
161,790
90,584
89,559
85,930
71,355
68,925
58,072
54,183
52,746
55,380
50,922
56,195
48,629
45,482
61,447
46,572
46,927
42,325
40,473
42,520
43,058
41,393
38,979
45,960
38,223
46,627
43,399
40,243
38,808
36,782
41,109
36,131
48,856
31,721
28,459
33,323
30,933
20,401
51,387
26,924
35,727
42,494
33,673
24,341
29,988
11,411
0,000
0,225 GeV
112,086
89,174
87,149
84,615
69,766
67,663
56,659
52,837
52,812
51,331
50,670
50,063
47,164
45,424
44,654
43,966
42,235
41,384
41,193
40,720
40,516
40,342
39,728
39,423
39,361
38,377
38,346
37,962
38,596
37,576
36,149
34,927
33,241
32,689
32,396
32,011
31,517
30,654
29,726
28,040
27,955
25,866
23,744
22,556
20,844
11,119
0,000
0,275 GeV
98,863
87,374
84,130
79,771
69,403
63,71
55,783
50,229
47,604
48,264
48,757
48,993
46,524
45,076
35,449
44,082
41,042
41,666
39,305
40,619
38,342
40,267
39,846
37,264
37,112
38,963
38,081
37,906
38,482
36,971
34,507
33,931
31,429
32,804
32,540
28,445
32,047
30,574
29,562
19,085
21,522
27,524
25,139
24,644
27,632
11,062
0,000
0,325 GeV
95,823
86,334
80,018
76,843
69,053
57,225
54,771
49,505
42,299
47,710
47,489
48,295
45,475
44,448
34,595
43,673
39,887
40,795
36,906
39,246
38,435
39,567
38,478
35,919
36,617
38,000
37,622
37,431
37,379
35,998
33,834
32,801
29,906
32,588
30,713
28,747
30,856
27,799
17,790
26,491
27,041
28,983
22,906
22,273
19,804
9,399
0000
Tab. 4.4: Zusammenfassung der Ergebnisse für die Verschiebung der unteren Grenze für Block 1.
18
4.2 Konstante Verhältnisfunktion
Block 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Runnummer
138666
138731
138653
138359
139510
138439
138579
138469
139172
139328
139037
138662
139329
138652
138534
138837
138582
138396
139314
138583
138438
139437
139310
138624
139029
139173
138442
138621
139311
138578
138732
139505
139465
139507
138638
139042
139036
139360
139028
139438
138872
138730
139440
139316
139503
138871
139309
139107
139439
138870
139038
0,175 GeV
308,661
243,675
112,113
114,43
94,862
112,045
87,208
72,518
145,481
68,106
84,082
57,300
55,964
65,618
57,125
52,140
49,762
60,139
50,102
52,406
49,948
81,461
42,799
50,012
41,356
81.443
60.630
44,250
38,720
43,948
38,231
36,035
37,249
33,514
34,295
34,003
31,507
32,633
29,597
30,042
40,233
77,599
124,401
26,497
23,199
20,340
24,533
17,561
25,993
9,965
0,000
0,225 GeV
176,141
91,427
81,987
78,556
75,157
65,209
64,198
60,691
60,153
55,656
54,562
54,767
53,267
51,861
51,309
49,114
48,366
47,917
47,333
45,413
45,285
43,932
41,415
40,927
40,648
40,185
39,301
39,293
38,439
37,741
36,152
35,940
35,536
33,891
33,133
32,355
32,215
32,020
31,072
30,343
28,982
26,832
26,172
24,564
23,336
22,810
21,472
19,165
16,921
9,838
0,000
0,275 GeV
159,920
77,469
76,610
76,875
71,538
59,695
62,153
58,481
56,851
49,867
47,332
51,380
48,836
50,302
47,538
43,849
47,061
45,251
44,918
37,156
41,834
52,192
40,705
37,289
38,112
38,293
29,630
35,728
38,555
29,514
35,744
34,935
33,108
39,003
33,869
39,609
35,112
32,455
32,177
31,478
28,180
26,061
24,014
25,102
23,020
21,491
18,113
16,373
20,328
9,417
0,000
0,325 GeV
149,577
74,578
74,822
75,588
67,765
56,171
55,753
57,025
59,493
43,806
43,423
50,800
41,576
50,245
41,138
40,145
44,737
40,437
41,883
28,277
38,147
49,609
38,875
34,189
36,369
32,462
28,399
27,445
37,760
17,955
28,899
32,300
25,988
45,831
37,126
45,623
33,634
31,818
35,111
35,267
26,793
30.120
30,590
24,524
20,641
22,153
15,871
47,037
0,000
23,044
32,077
Tab. 4.5: Zusammenfassung der Ergebnisse für die Verschiebung der unteren Grenze von Block 2
19
4 Analyse
4.3 Lineare Verhältnisfunktion
Auf vielen Verhhältnishistogrammen ist eine Tendenz für eine Steigung zu erkennen,
weswegen untersucht wird, was passiert, wenn anstatt einer konstanten Vergleichsfunktion eine lineare (f (x) = m · x + b) verwendet wird. Das Verfahren zur Bestimmung
der nicht passenden Runs ist das gleiche, das auch für die Behandlung der konstanten
Vergleichsfunktion verwendet wird. Die Anzahl der Freiheitsgrade reduziert sich jedoch
noch einmal um eins, da für den Fit einer linearen Funktion zwei Parameter (m und b)
bestimmt werden müssen. Die kritische Grenze liegt deshalb bei χ2 =57,342.
4.4 Konsistenztest der Methode
Da die Runs untereinander verglichen werden und nicht mit einem optimalen oder für
richtig befundenen Spektrum, kann es sein, dass die Ergebnisse nicht Konsistent sind,
wenn die Gruppe der untereinander verglichenen Runs variiert wird. Deswegen muss
überprüft werden, ob sich die Anzahl oder die Nummern der ausgeschlossenen Runs
ändern, wenn Block 1 und Block 2 wiederum in verschiedene Untergruppen eingeteilt
werden und diese einzeln analysiert werden. Im Idealfall wäre die Addition der ausgeschlossenen Runs der Untergruppen wieder die Gruppe von Runs, die ausgeschlossen wird, wenn ein Block vollständig betrachtet wird. Dies würde bedeuten, dass die
ausgeschlossenen Runs sich in ihrer Struktur nicht nur von einigen Runs signifikant
unterscheiden, sondern von allen. Zusätzlich werden die einzelnen Spektren noch mit
einem durchschnittlichen Spektrum verglichen. Die bisherigen Testeinstellungen werden
im Weiteren als “Original Test“ bezeichnet.
4.4.1 Zufällige Aufteilung der Runs
Bei diesem Test werden die Runs einmal in zwei und einmal in drei Untergruppen eingeteilt, die jeweils die Hälfte bzw. ein Drittel der Runs eines Blocks enthalten. Bei der
Aufteilung wurde einfach abgezählt und jeder zweite bzw. dritte Run auf der Liste einer
Untergruppe zugeteilt und der Rest nach dem gleichen Prinzip auf die anderen Untergruppen verteilt. Dadurch soll überprüft werden, ob Runs in einer Einteilung ein sehr
viel niedrigeres durchschnittliches χ2 besitzen, weil sie sich zufällig in einer Gruppe befinden, in der viele Runs sind, die einen ähnlichen Verlauf haben und die Runs, die sich
von diesem stark unterscheiden und das durchschnittliche χ2 erhöhen würden, sich in
einer anderen Gruppe befinden. Die genaue Einteilung der Untergruppen ist im Anhang
aufgeführt.
4.4.2 Aufteilung der Runs nach Eventzahl
Dieser Test prüft, ob Runs mit einer hohen Anzahl an Events sich von ihrer Struktur
her ähnlicher sind als Runs mit einer niedrigen Anzahl an Events und umgekehrt. Da die
statistischen Fehler weniger werden, je mehr Events innerhalb eines Runs stattfinden, ist
es wahrscheinlich, dass Verhältnisse von Runs mit einer niedrigen Anzahl an Events ein
20
4.4 Konsistenztest der Methode
kleineres χ2 haben, da absolute Abweichungen im Verlauf der Spektren durch die hohen
Messfehler kompensiert werden.
4.4.3 Vergleich mit durchschnittlichem Spektrum
Zum Schluss werden jeweils die Runs eines Blocks mit einem Spektrum verglichen, welches der Durchschnitt aus den Runs des Blocks ist, die für die Analysen des RAA verwendet werden. Diese Runs sind in den Tabellen 4.3 und 4.4 aufgeführt. Es ist jedoch
zu beachten, dass zwar die Runs für die RAA Analysen benutzt und für diesen Zweck
als gut eingestuft werden, die Daten jedoch anders ausgewertet werden als es für die
Erstellung der hier verwendeten Transversalimpulsspektren der Fall ist.
Block1
137161
137162
137231
137232
137235
137236
137243
137366
137430
137431
137432
137434
137439
137440
137441
137443
137530
137531
137539
137541
137544
137546
137549
137595
137608
137638
137639
137685
137686
137691
137692
137693
137704
137718
137722
137724
137751
137752
137848
138190
138192
138197
138201
138225
138275
Tab. 4.6: Runs die für das durchschnittliche Spektrum für Block 1 verwendet werden.
Block 2
138438
138439
138442
138469
138534
138578
138579
138582
138583
138621
138624
138638
138652
138653
138662
138666
138730
138732
138837
138870
138871
138872
139028
139029
139036
139037
139038
139042
139107
139173
139309
139310
139311
139314
139328
139329
139360
139437
139438
139439
139440
139465
139503
139505
139507
139510
Tab. 4.7: Runs, die für das durchschnittliche Spektrum von Block 2 verwendet werden.
21
5 Ergebnisse
Für die Auswertung der Tests werden alle Runs und das ihnen zugeordnete durchschnittliche χ2 in allen Tests in vier Tabellen zusammengefasst - je eine Tabelle pro verwendeter
Vergleichsfunktion und Block. Die Werte, die oberhalb der kritischen Grenze liegen, sind
rot markiert. Die Reihenfolge der aufgeführten Runs entspricht der Reihenfolge, mit der
diese im Original-Test ausgeschlossen werden.
5.1 Konstante Verhältnisfunktion
Für Block 1 (Tabelle 5.1 auf Seite 23) ergeben alle Tests, dass immer mindestens sechs
Runs ein zu hohes durchschnittliches χ2 besitzten und deshalb aussortiert werden sollten.
Bei diesen handelt es sich um die Runs mit den Nummern: 137539, 137161, 137231,
137162, 137235, 137232. Auf Abbildung 5.1 sind die einzelnen χ2 für alle Runverhältnisse von Runs aus Block 1 dargestellt, und es ist deutlich erkennbar, dass diese Runs ein
sehr hohes χ2 für fast alle Verhältnisse besitzen. Die einzige Abweichung, abgesehen vom
Vergleich mit dem durchschnittlichen Spektrum, auf das gesondert eingegangen wird, ist
der Test mit der Aufteilung der Runs in Untergruppen mit einer hohen und niedrigen
Eventzahl, bei der ein zusätzlicher Run ausgeschlossen wird. Diese Abweichung ist genau wie die Abweichungen innerhalb von Block 2 auf die verschiedenen Untergruppen
zurückzuführen. Man kann daran gut erkennen, dass die Annahme, dass sich Runs mit
einer hohen bzw. niedrigen Anzahl an Events ähnlicher sind als Runs mit stark variierenden Eventzahlen, nicht stimmt. Anstatt dass wie vermutet insgesamt weniger Runs
ausgeschlossen werden, sind es sogar mehr. Dies gilt auch für Block 2. Runs, die bei dieser
Aufteilung ausgeschlossen werden, aber ansonsten nicht, besitzen eine hohe Eventzahl
und somit auch nur geringe statistische Fehler. Werden also nur diese Runs untereinander verglichen, so haben schon sehr kleine Abweichungen einen großen Einfluss auf die
Höhe von χ2 .
In Block 2 (Tabelle 5.2 auf Seite 24) sind die Abweichungen vom Original Test sehr viel
deutlicher. Nur vier Runs werden konsequent in allen Tests ausgeschlossen. Bei diesen
handelt es sich um die Runs mit den Nummern: 138666, 138731, 138653, 138359.
Dass dies für die restlichen Runs nicht mehr der Fall ist, ist der Tatsache geschuldet, dass
es bei dieser Methode darauf ankommt, welche Runs untereinander verglichen werden.
Es ist tatsächlich der Fall, dass Runs, die im Original Test aussortiert werden, sich in
einigen der anderen Tests in einer Untergruppe mit Runs befinden, die vom Verlauf her
gut zusammen passen und ein entsprechend kleines χ2 beim Verglich mit der Verhältnisfunktion haben. Die Runs, die nicht gut passen, befinden sich fast alle in einer anderen
Untergruppe. Dass dies zutrifft, kann anhand von Run 138469 deutlich gemacht wer-
22
5.2 Lineare Verhältnisfunktion
den. Dieser Run wird nur im Original Test und im Vergleich mit dem durchschnittlichen
Spektrum ausgeschlossen. Bei allen anderen Tests liegt das durchschnittliche χ2 unter
der kritischen Grenze. Abbildung 5.2 auf Seite 25 zeigt die einzelnen χ2 der Verhältnisse für jede mögliche Runkombination mit den Runs aus Block 2. Wie man daran sehen
kann, besitzt Run Nummer 138469(6)1 ein hohes χ2 für die Verhältnisfunktionen mit den
Runs 138396 (2), 138442(5), 138534(7), 138579(9), 138730(19), 138837(22), 139037(29),
von denen sich bei den Konsistenztests immer mindestens fünf in anderen Untergruppen
befinden, sodass dessen durchschnittliches χ2 in diesen Tests geringer ausfällt. Die Runs,
die bei jedem Test ausgeschlossen werden, wurden bei diesem Beispiel nicht mit einbezogen, da sie immer vor diesem Run ausgeschlossen werden und deshalb keinen Einfluss
auf dessen Ausschlussposition haben.
Beim Vergleich der Runs mit dem durchschnittlichen Spektrum werden überdurchschnittlich viele Runs aussortiert. Auch viele, die bei allen anderen Tests erst sehr spät
aussortiert werden. Dies ist wahrscheinlich der Durchschnittsbildung geschuldet, da bei
diesem Verfahren auch die statistischen Fehler gemittelt werden und diese einen großen
Einfluss auf die Höhe von χ2 haben. Zusätzlich sind in diesem Spektrum Runs noch
enthalten, die bei allen anderen Tests frühzeitig aussortiert werden.
5.2 Lineare Verhältnisfunktion
Bei der Verwendung einer linearen Vergleichsfunktion existiert in beiden Blöcken kein
Run, der bei allen Tests konsequent aussortiert wird. Dies hat die gleichen Gründe,
die auch für die Abweichungen in der Betrachtung der Konstanten Vergleichsfunktion
aufgeführt sind. Wie man an den Abbildungen 5.3 und 5.4 sehen kann, gibt es keinen
Run, der konsequent ein signifikant höheres χ2 als der Rest der Runs besitzt. Zusätzlich
liegen die durchschnittlichen χ2 , die aussortiert werden müssten in vielen Fällen auch
nur knapp über der kritischen Grenze von 57,342.
1
Die Nummern in den Klammern geben den Platz auf der Runliste in Abbildung 5.2 an
23
5 Ergebnisse
Block 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Runnummer
137539
137161
137231
137162
137235
137232
137243
137366
137530
137639
137236
137544
138190
137443
138200
137430
137541
137844
137718
137441
137685
137691
137434
137752
137439
137686
137549
138201
137638
137704
137432
137531
138275
137546
137724
137692
137431
137693
138192
138197
137595
137848
137722
137608
137751
137440
138225
Original
112,086
89,174
87,149
84,615
69,766
67,6629
56,659
52,837
52,812
51,331
50,670
50,063
47,1642
45,424
44,654
43,966
42,235
41,384
41,193
40,720
40,516
40,342
39,728
39,423
39,361
38,377
38,346
37,962
38,596
37,576
36,149
34,927
33,241
32,689
32,396
32,011
31,517
30,654
29,726
28,040
27,955
25,866
23,744
22,556
20,844
11,119
0,000
Jedes 2.
123,561
91,318
90,355
80,570
70,940
64,249
56,663
50,945
52,008
51,444
48,321
49,308
45,455
43,920
34,080
39,516
41,263
42,864
36,498
39,913
39,111
38,595
39,890
36,774
36,816
35,904
34,211
38,295
0,000
33,875
38,615
34,287
40,853
30,659
32,142
28,479
32,248
19,048
33,165
26,304
25,619
27,316
0,000
12,423
18,636
11,592
23,600
Jedes 3.
76,041
93,507
84,215
83,447
68,164
65,223
55,821
54,455
50,849
48,847
47,697
46,932
41,401
41,709
46,311
40,128
37,811
32,404
39,001
29,943
37,917
35,553
23,401
44,834
37,676
23,846
36,423
36,780
0,000
0,000
34,767
27,764
30,565
30,752
37,671
28,346
29,875
19,048
43,770
27,354
13,552
0,000
33,609
19,560
13,270
11,592
24.,664
Events
134,670
72,571
68,3135
70,4649
64,206
59,232
52,013
62,331
51,740
48,353
46,535
42,593
41,721
44,393
47,762
40,975
38,813
45,051
43,773
37,825
38,769
36,484
36,952
38,801
38,275
41,270
41,235
36,897
33,886
35,585
36,748
34,561
28,996
31,471
29,689
26,254
28,289
30,781
19,554
24,549
27,285
13,070
8,503
0,000
19,055
0,000
22,999
Durchschnittl.
248,591
103,079
109,515
93,475
72,705
67,291
55,329
42,101
52,811
55,111
39,849
60,048
45,656
49,957
81,878
43,985
28,795
82,451
55,512
35,485
38,989
58,539
38,865
58,472
37,006
52,479
48,873
43,980
48,240
50,289
31,494
35,955
71,290
33,522
42,832
45,623
54,735
31,764
62,194
41,705
34,993
39,722
43,798
42,945
59,717
29,368
32,528
Tab. 5.1: Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit konstanter Vergleichsfunktion
für Block 1
24
5.2 Lineare Verhältnisfunktion
Block 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Runnummer
138666
138731
138653
138359
139510
138439
138579
138469
139172
139328
139037
138662
139329
138652
138534
138837
138582
138396
139314
138583
138438
139437
139310
138624
139029
139173
138442
138621
139311
138578
138732
139505
139465
139507
138638
139042
139036
139360
139028
139438
138872
138730
139440
139316
139503
138871
139309
139107
139439
138870
139038
Original
176,141
91,427
81,987
78,556
75,157
65,209
64,198
60,691
60,153
55,656
54,562
54,767
53,267
51,861
51,309
49,114
48,366
47,917
47,333
45,413
45,285
43,932
41,415
40,927
40,648
40,185
39,301
39,293
38,439
37,741
36,152
35,940
35,536
33,891
33,133
32,355
32,215
32,020
31,072
30,343
28,982
26,832
26,172
24,564
23,336
22,810
21,472
19,165
16,921
9,838
0,000
Jedes 2.
182,630
94,519
85,504
69,334
77,049
68,488
49,630
55,043
65,541
61,556
44,947
42,364
42,300
47,662
37,431
50,241
49,701
49,308
49,500
34,175
38,620
56,405
40,493
34,107
40,609
39,883
28,814
42,362
36,120
39,401
31,811
31,410
25,327
35,627
34,269
55,207
31,184
30,678
29,528
32,425
27,327
12,235
18,210
24,239
0.,00
20,758
22,447
23,154
0,000
16,664
12,787
Jedes 3.
155,828
93,474
69,436
72,431
52,063
61,789
66,025
44,711
25,538
54,348
59,140
59,289
57,968
46,368
35,138
30,321
39,055
50,965
51,795
48,405
24,346
51,301
38,520
31,719
33,530
0,000
40,013
34,993
27,186
38,765
32,083
21,071
35,001
27,028
31,668
47,335
44,973
0,000
29,502
41,052
14,427
36,645
40,487
8,6789
15,306
27,751
18,127
0,000
20,162
10,854
23,516
Events
232,848
86,697
97,959
95,369
55,587
51,459
52,010
44,478
85,353
51,343
50,182
41,961
42,239
48,151
19,943
39,299
45,470
14,348
40,637
24,768
42,231
73,005
38,292
39,261
37,454
44,625
29,891
0,000
38,068
27,286
34,877
34,720
61,587
71,098
61,3503
29,824
23,570
8,468
26,534
30,827
24,997
32,090
31,656
0,000
15,306
27,935
22,264
73,623
20,162
29,306
67,693
Durchschnittl.
375.086
103,831
146,421
135,923
104,368
84,294
85,243
77,012
109,570
68,314
59,095
68,331
62,171
53,362
69,654
47,656
48,108
48,801
50,864
41,436
41,856
85,986
44,559
32,399
47,630
38,032
40,281
34,294
38,697
22,731
39,483
32,122
54,759
69,348
50,553
58,286
46,957
35,883
41,555
57,099
30,650
36,687
43,797
28,260
28,757
29,369
26,740
74,868
25,929
40,368
41,694
Tab. 5.2: Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit konstanter Vergleichsfunktion
für Block 2
25
5 Ergebnisse
Block1
45
102
40
35
30
25
10
20
15
10
1
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Abb. 5.1: χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine konstante Vergelichsfunktion in Block 1. Die Runs auf der X-Achse werden durch
die Runs auf der Y-Achse geteilt.
102
40
30
10
20
10
1
10
20
30
40
50
Abb. 5.2: χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine konstante Vergleichsfunktion in Block 2. Die Runs auf der X-Achse werden durch
die Runs auf der Y-Achse geteilt.
26
137161
137162
137231
137232
137235
137236
137243
137366
137430
137431
137432
137434
137439
137440
137441
137443
137530
137531
137539
137541
137544
137546
137549
137595
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
138359
138396
138438
138439
138442
138469
138534
138578
138579
138582
138583
138621
138624
138638
138652
138653
138662
138666
138730
138731
138732
138837
138870
138871
138872
139028
N
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
137608
137638
137639
137685
137686
137691
137692
137693
137704
137718
137722
137724
137751
137752
137844
137848
138190
138192
138197
138200
138201
138225
138275
Block2
50
0
0
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
N
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
139029
139036
139037
139038
139042
139107
139172
139173
139309
139310
139311
139314
139316
139328
139329
139360
139437
139438
139439
139440
139465
139503
139505
139507
139510
5.2 Lineare Verhältnisfunktion
Block 1
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Runnummer
137231
137161
137235
137539
137530
137639
137162
137544
137243
137366
137232
137430
138190
137236
137439
137844
137441
137434
137549
137686
137541
137685
137691
137443
137432
138201
137704
137531
137752
137638
137718
137546
138200
137431
137692
137848
137724
138197
138275
137595
137608
137722
137693
138192
137751
137440
138225
Original
64,556
63,301
54,970
53,904
52.923
50.184
48.053
47.689
46.821
45,510
45,431
43,563
42,880
42,415
39,842
39,591
39,244
38,719
38,465
38,702
37,813
37,673
37,095
36,875
36,562
36,720
35,523
35,316
35,136
34,456
34,095
32,948
32,422
30,555
30,044
29,764
28,356
27,977
26,627
25,483
22,949
22,49
21,374
18,250
16,185
9.463
0,000
Jedes 2.
67,222
65,984
55,792
58,119
52,168
50,403
46,75
48,139
47,358
43,474
43,375
39,986
42,078
40,469
37,233
36,285
37,575
38,149
32,909
33,356
36,340
35,776
35,348
36,609
38,877
39,417
33,176
34,575
33,060
27,833
28,891
32,280
16,674
31,012
27,246
31,417
25,953
24,918
41,326
24,093
11,683
16,345
19,362
20,629
0,000
9,463
0,000
Jedes 3.
62,106
60,459
53,723
38,273
51,260
48,149
47,737
45,595
45,663
47,577
46,575
41,166
41,925
40,358
40,293
37,817
36,419
36,278
37,793
37,947
35,260
36,158
32,943
33,235
31,212
20,803
30,428
28,996
33,715
19,422
34,760
30,714
0,000
29,103
26,926
0,000
25,799
26,273
25,446
15,212
18,219
32,542
16,668
0,000
11,333
10,660
23,361
Events
51,817
52,636
51,060
58,619
52,884
46,895
43,192
41,977
43,187
52,052
41,469
41,134
38,653
39,481
39,187
43,137
36,469
36,633
40,420
40,794
35,295
36,466
37,449
32,483
35,109
36,912
37,083
34,949
34,954
30,043
33,317
31,794
25,266
26,771
23,356
15,670
27,393
25,625
23,469
21,186
19,285
28,981
21,313
0,000
0,000
Durchschnittl.
79,488
67,277
57,230
88,596
52,774
55,066
46,598
57,682
46,948
39,368
42,21
43,585
45,257
33,825
36,723
80,876
35,436
38,730
45,720
52,176
28,665
36,593
57.764
38,777
29,372
41,169
46,561
35,793
41,645
48,209
42,473
33,436
51,583
47,730
36,772
39,288
34,842
40,640
65,462
34,960
37,799
38,559
27,860
36,542
44,375
28,084
29,314
Tab. 5.3: Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit linearer Vergleichsfunktion für
Block 1
27
5 Ergebnisse
Block 2
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Runnummern
138731
138469
138666
138579
138359
139328
139437
139510
138439
138652
138837
139314
139029
139329
138582
138653
139037
139310
139311
139173
139507
139172
139036
138732
139438
139028
139360
138638
139465
139042
139440
139505
138438
138872
138583
138534
138730
138624
138662
138621
138396
139316
139503
138578
139038
139439
139107
139309
138442
138870
138871
Original
57,971
56,069
54,355
52,669
50,787
48,176
47,371
46,666
45,465
45,229
41,719
41,466
41,121
40,759
40,016
39,786
39,585
39,499
38,614
37,051
36,464
36,241
36,247
35,691
34,625
33,584
32,950
32,694
32,065
32,111
31,834
31,106
31,023
30,021
29,704
28,481
28,127
27,776
27,545
26,910
25,757
25,253
23,879
23,580
22,662
21,949
19,921
18,319
15,455
10,835
0,000
Jedes 2.
58,718
55,219
53,711
52,559
46,017
48,625
42,285
43,640
45,706
44,794
42,494
42,934
39,774
35,552
38,937
40,954
36,544
39,819
36,635
37,104
37,596
37,826
34,024
33,16
33,72
31,25
31,513
34,958
29,837
30,284
17,941
27,667
26,806
27,691
24,202
22,122
29,183
16,981
7,524
28,822
26,883
25,704
0.,00
24,724
12,774
19,163
22,926
21,946
31,403
0,000
20,651
Jedes 3.
57,701
43,727
49,659
50,663
54,171
46,198
49,289
35,710
20,148
41,009
37,621
41,837
34,409
40,313
33,636
32,161
39,997
38,071
35,314
35,855
36,543
24,967
43,045
32,679
33,537
32,953
0,000
31,585
30,288
0,000
26,842
30,179
28,554
29,163
29,416
20,374
25,275
12,464
25,765
27,030
23,727
8,466
15,29
20,924
23,467
0,000
40,713
16,220
18,400
9,968
27,667
Events
54,937
45,451
64,418
58,957
62,000
42,765
55,018
35,660
50,912
41,771
44,669
45,923
37,971
44,449
38,221
40,071
34,747
37,587
37,628
38,488
41,015
47,003
26,562
34,636
30,511
29,674
27,423
33,196
34,788
25,315
32,045
28,930
28,939
28,088
31,879
29,855
32,577
11,976
28,179
22,435
13,089
24,585
23,244
18,176
27,545
16,417
26,473
19,972
22,617
0,000
0,000
Durchschnittl.
63,669
70,609
72,862
67,207
80,415
57,524
78,159
58,287
54,152
47,230
44,375
47,838
47,522
44,865
40,805
49,261
39,236
39,772
38,644
37,708
48,988
65,343
44,204
37,193
37,383
34,941
35,354
39,634
53,426
35,225
36,661
31,250
30,801
29,507
31,848
36,804
31,517
25,809
27,916
31,679
32,031
28,116
27,803
22,303
39,954
25,576
40,270
23,996
39,701
24,921
27,810
Tab. 5.4: Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit linearer Vergleichsfunktion für
Block 2
28
5.2 Lineare Verhältnisfunktion
102
45
40
35
10
30
25
20
15
1
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Abb. 5.3: χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine lineare Vergleichsfunktion in Block 1. Die Runs auf der X-Achse werden durch die
Runs auf der Y-Achse geteilt.
40
10
30
20
1
10
10
20
30
40
50
Abb. 5.4: χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine lineare Vergleichsfunktion in Block 2. Die Runs auf der X-Achse werden durch die
Runs auf der Y-Achse geteilt.
137161
137162
137231
137232
137235
137236
137243
137366
137430
137431
137432
137434
137439
137440
137441
137443
137530
137531
137539
137541
137544
137546
137549
137595
N
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
137608
137638
137639
137685
137686
137691
137692
137693
137704
137718
137722
137724
137751
137752
137844
137848
138190
138192
138197
138200
138201
138225
138275
Block 2
102
50
0
0
Block 1
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
138359
138396
138438
138439
138442
138469
138534
138578
138579
138582
138583
138621
138624
138638
138652
138653
138662
138666
138730
138731
138732
138837
138870
138871
138872
139028
N
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
139029
139036
139037
139038
139042
139107
139172
139173
139309
139310
139311
139314
139316
139328
139329
139360
139437
139438
139439
139440
139465
139503
139505
139507
139510
29
5 Ergebnisse
5.3 Fazit und Ausblick
Die hier betrachtete Methode mit einer konstanten Vergleichsfunktion ist nur eingeschränkt zur Selektierung von guten und schlechten Runs geeignet, da sie keine eindeutigen Ergebnisse liefert. Wenn nur die Runs ausgeschlossen werden sollen, die nicht zu
allen anderen Runs passen, muss immer auch geprüft werden, ob die Runs des Original
Tests auch ausgeschlossen werden, wenn sich die Vergleichsgruppe ändert. Sonst könnte
es sein, dass Runs ausgeschlossen werden, die eigentlich verwendet werden könnten.
Umgekehrt ist es wahrscheinlich, dass bei der Benutzung einer linearen Vergleichsfunktion Runs beibehalten werden, die eigentlich ausgeschlossen werden sollten, weswegen
diese Methode auch nicht für das Aussortieren schlechter Runs geeignet ist. Alle Runs
die bei der Verwendung der linearen Vergleichsfunktion in irgendeinem der Tests ausgeschlossen werden, sind auch in der Gruppe von Runs enthalten, die bei der Verwendung
einer konstanten Vergleichsfunktion ausgeschlossen werden. Der Starke Rückgang der
Anzahl der aussortierten Runs bei der Verwendungn einer linearen Vergleichsfunktion
anstatt einer konstanten, beruht vermutlich darauf, dass für den Fit einer Funktion an
die Daten ein Freiheitsgrad mehr zur Verfügung steht. Würde man die Vergleichsfunktion auf ein Polynom zweiten oder dritten Grades erweitern, so ließen sich wahrscheinlich
noch niedrigere durchschnittliche Werte für χ2 erziehlen. Es gibt zudem keinen physikalischen Grund, warum eine linearer Verlauf Verhältnisse vorliegen sollte.
Um das in dieser Arbeit vorgestellt Verfahren in Zukunft verwenden zu können, sind
noch Verfeinerungen in den Ausschlusskriterien nötig, damit sicher ist, dass nicht unnötig
viele Runs aussortiert werden. Es soll letztendlich möglich sein mit nur einem Test eindeutig festzustellen, ob ein Run schlecht ist oder nicht.
30
6 Anhang
6.1 Die χ2 −Verteilung
χ2 = X12 + X22 + ... + Xn2
X1 , X2 , ..., Xn seien n stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, die der Standardnormalverteilung mit Mittelwert µ = 0 und Varianz σ 2 = 1 genügen. Dadurch ist χ2 eine
stetige Zufallsvariable, die im Wertebereich z ≥ 0 definiert ist und die folgende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzt.
(
f (z)=
An · z
0
n−2
2
z
e− 2
für z > 0
für z ≥ 0
Der Parameter n ist eine natürliche Zahl und bezeichnet die Freiheitsgrade der Verteilung. Diese entsprechen hier der Anzahl der beteiligten Zufallsvarablen Xi . Die Konstante
An wird durch die Normierung der integrierten Dichtefunkton auf 1 bestimmt und ist
ebenfalls von der Anzahl der Freiheitsgrade abhängig. Abbildung 6.1 zeigt den Verlauf
der Dichtefunktion für verschiedene Freiheitsgrade.
R∞
f (z)dz = An
0
R∞
z
n−2
2
z
e− 2 = 1
0
An = 1n · Γ( n2 )
22
Γ( n2 ) Ist die Gamma-Funktion
Die χ2 -Verteilung hat den Mittelwert µ =n und die Varianz σ 2 =2n. Diese beiden
Kenngrößen sind durch die Anzahl der Freiheitsgrade eindeutig bestimmt. Wird die
Dichtefunktion bis zu einem bestimmten Punkt integriert, so erhält man die Verteilungsfunktion.
Rz
F(z)=An · z
u−2
2
u
e− 2 du
0
Die Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit χ2 einen Wert zwischen 0 und z annimmt. Die Umkehrfunktion gibt umgekehrt an, welcher Wert von χ2
maximal angenommen wird, wenn p% der wahrscheinlichen Werte abgedeckt sein sollen.
Dieses spezielle χ2 ist die hier verwendete kritische Grenze. Zu einer kritischen Grenze
gehört eine Signifikanzzahl α, die angibt, wie hoch die Irrtumswahrscheinlichkeit ist. Die
31
6 Anhang
Abb. 6.1: χ2 -Verteilung für 2 bis 8 Freiheitsgrade [12]
Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein für falsch
befundener Fit oder sonstige Hypothese über eine Datenverteilung aufgrund ihres zu hohen χ2 abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist. Leider ist es nur für eine sehr kleine Anzahl
von Freiheitsgraden möglich, eine explizite Umkehrfunkton zu finden. Jedoch gibt es Tabellen für die Quantile der χ2 -Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden, aus denen
man die benötigten Werte ablesen kann. Ein p-Quantil ist ein Lagemaß in der Statistik,
wobei p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist. Das p-Quantil ist ein Merkmalswert, der
die Verteilung einer Variablen bzw. Zufallsvarablen in zwei Abschnitte unterteilt. Links
vom p-Quantil liegen 100 · p% aller Beobachtungswerte bzw. 100 · p Prozent der Gesamtzahl der Zufallswerte. Rechts davon liegen 100 · (1 − p) Prozent aller Beobachtungswerte
bzw. 100 · (1 − p) Prozent der Gesamtzahl der Zufallswerte. [12,13,14]
32
6.1 Die χ2 −Verteilung
6.1.1 Die χ2 − Quantile
α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
60
70
80
90
100
5%
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
44,985
46,194
47,400
48,602
49,802
50,998
52,192
53,384
54,572
55,758
56,942
58,124
59,304
60,481
61,656
62,830
64,001
65,171
66,339
67,505
79,082
90,531
101,879
113,145
124,342
1%
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
52,191
53,486
54,776
56,061
57,342
58,619
59,893
61,162
62,428
63,691
64,950
66,206
67,459
68,710
69,957
71,201
72,443
73,683
74,919
76,154
88,379
100,425
112,329
124,116
135,807
0,1%
10,828
13,816
16,266
18,467
20,515
22,458
24,322
26,124
27,877
29,588
31,264
32,909
34,528
36,123
37,697
39,252
40,790
42,312
43,820
45,315
46,797
48,268
49,728
51,179
52,620
54,052
55,476
56,892
58,301
59,703
61,098
62,487
63,870
65,247
66,619
67,985
69,346
70,703
72,055
73,402
74,745
76,084
77,419
78,750
80,077
81,400
82,720
84,037
85,351
86,661
99,607
112,317
124,839
137,208
149,449
Tab. 6.1: Die Quantile der χ2 -Verteilung für die Signifikanzzahlen 5%, 1% und 0,1% [15]
33
6 Anhang
6.1.2 Aufteilung der Runs nach Eventzahl
Unter 200k Events
137161
137162
137231
137232
137235
137236
137243
137430
137431
137432
137434
137439
137440
137441
137443
137530
137531
137541
137544
137546
137638
137639
137685
137692
137693
137704
137718
137724
137751
137848
138190
138197
Über 200k Events
137366
137539
137549
137595
137686
137691
137722
137752
137844
138192
138200
138201
138225
138275
Tab. 6.2: Aufteilung der Runs in zwei Untergruppen Anzahl der Events für Block 1
34
Unter 200k Events
138438
138469
138582
138624
138652
138730
138731
138732
138870
138871
138872
139309
139028
139029
139036
139037
139042
139310
139311
139328
139360
139438
139439
139440
139503
139505
139510
Über 200k Events
138359
138396
138439
138442
138534
138578
138579
138583
138638
138653
138662
138666
138837
139038
139107
139172
139173
139314
139329
139437
139465
139507
Tab. 6.3: Aufteilung der Runs nach Anzahl der
Events für Block 2
6.1 Die χ2 −Verteilung
6.1.3 Zufällige Aufteilung der Runs
1. Untergruppe
137161
137231
137235
137243
137430
137432
137439
137441
137530
137539
137544
137549
137608
137639
137686
137692
137704
137722
137751
137844
138190
138197
138201
138275
2. Untergruppe
137162
137232
137236
137366
137431
137434
137440
137443
137531
137541
137546
137595
137638
137685
137691
137693
137718
137724
137752
137848
138192
138200
138225
1. Untergruppe
138359
138438
138442
138534
138579
138583
138624
138652
138662
138730
138732
138870
138872
139029
139037
139042
139172
139309
139311
139316
139329
139437
139439
139465
139505
139510
2. Untergruppe
138396
138439
138469
138578
138582
138621
138638
138653
138666
138731
138837
138871
139028
139036
139038
139107
139173
139310
139314
139328
139360
139438
139440
139503
139507
Tab. 6.4: Aufteilung der Runs in zwei UntergrupTab. 6.5: Aufteilung der Runs in zwei Untergruppen in Block 1
pen für Block 2
1. Untergruppe
137161
137232
137243
137431
137439
137443
137539
137546
137608
137685
137692
137718
137751
137848
138197
138225
2. Untergruppe
137162
137235
137366
137432
137440
137530
137541
137549
137638
137686
137693
137722
137752
138190
138200
138275
3. Untergruppe
137231
137236
137430
137434
137441
137531
137544
137595
137639
137691
137704
137724
137844
138192
138201
1. Untergruppe
138359
138439
138534
138582
138624
138653
138730
138837
138872
139036
139042
139173
139311
139328
139437
139440
139505
2. Untergruppe
138396
138442
138578
138583
138638
138662
138731
138870
139028
139037
139107
139309
139314
139329
139438
139465
139507
3. Untergruppe
138438
138469
138579
138621
138652
138666
138732
138871
139029
139038
139172
139310
139316
139360
139439
139503
139510
Tab. 6.6: Aufteilung der Runs in drei Untergrup- Tab. 6.7: Aufteilung der Runs in drei Untergruppen für Block 1
pen für Block 2
35
Abbildungsverzeichnis
2.1
Schematische Darstellung eines QCD Phasendiagramms [5]. . . . . . . . .
7
3.1
Aufbau des ALICE Detektors[7]
9
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel für ein Transversalimpulspektrum (1) . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel für ein Transversalimpulspektrum (2) . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel für das Verhältnis zweier Transversalimpulsspektren (1) . . . .
Beispiel für das Verhältnis zweier Transversalimpulsspektren (2) . . . .
Beispiel für eine starke Abweichung des ersten Punkts (1) . . . . . . . .
Beispiel für eine starke Abweichung des ersten Punkts (2) . . . . . . . .
χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 1. Die untere Grenze befindet
sich bei 0,175 GeV und die kritische Grenze ist χ2 =59,893. N ist die
Ausschlussreihenfolge. Alle Runs, deren durchschnittliches χ2 über der
kritischen Grenze liegt sind rot markiert. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 1. Die untere Grenze befindet
sich bei 0,225 GeV und die kritische Grenze ist χ2 =58,619. N ist die
Ausschlussreihenfolge. Alle Runs, deren durchschnittliches χ2 über der
kritischen Grenze liegt sind rot markiert. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 2. Die untere Grenze befindet
sich bei 0,175 GeV und die kritische Grenze ist χ2 =59,893. N ist die
Ausschlussreihenfolge. Alle Runs, deren durchschnittliches χ2 über der
kritischen Grenze liegt sind rot markiert. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 χ2 beim Ausschluss für alle Runs aus Block 2. Die untere Grenze befindet
sich bei 0,225 GeV und die kritische Grenze ist χ2 =58,619. N ist die
Ausschlussreihenfolge. Alle Runs, deren durchschnittliches χ2 über der
kritischen Grenze liegt sind rot markiert. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
36
.
.
.
.
.
.
12
12
12
12
14
14
. 15
. 15
. 16
. 16
χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine konstante Vergelichsfunktion in
Block 1. Die Runs auf der X-Achse werden durch die Runs auf der YAchse geteilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine konstante Vergleichsfunktion in
Block 2. Die Runs auf der X-Achse werden durch die Runs auf der YAchse geteilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine lineare Vergleichsfunktion in Block
1. Die Runs auf der X-Achse werden durch die Runs auf der Y-Achse
geteilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Abbildungsverzeichnis
5.4
χ2 der einzelnen Verhältnisse für eine lineare Vergleichsfunktion in Block
2. Die Runs auf der X-Achse werden durch die Runs auf der Y-Achse
geteilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1
χ2 -Verteilung für 2 bis 8 Freiheitsgrade [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
37
Tabellenverzeichnis
2.1
2.2
2.3
4.1
4.2
4.3
4.4
5.1
5.2
5.3
5.4
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
38
Die Wechselwirkungen des Standardmodells und die Gravitation. Die relative Stärke ist normiert auf die Stärke der Starken Kraft. [2] . . . . . . .
Die Quarkfamilien mit ihren zugehörigen Ruhemassen und elektrischen
Ladungen im Standardmodell. [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Leptonenfamilien mit ihren zugehörigen Ruhemassen und elektrischen
Ladungen im Standardmodell. [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung der Ergebnisse für die Verschiebung der unteren Grenze
für Block 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung der Ergebnisse für die Verschiebung der unteren Grenze
von Block 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Runs die für das durchschnittliche Spektrum für Block 1 verwendet werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Runs, die für das durchschnittliche Spektrum von Block 2 verwendet werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit konstanter
Vergleichsfunktion für Block 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit konstanter
Vergleichsfunktion für Block 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit linearer Vergleichsfunktion für Block 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung der Ergebnisse für die einzelnen Tests mit linearer Vergleichsfunktion für Block 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
6
. 17
. 18
. 20
. 20
. 23
. 24
. 26
. 27
Die Quantile der χ2 -Verteilung für die Signifikanzzahlen 5%, 1% und 0,1%
[15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufteilung der Runs in zwei Untergruppen Anzahl der Events für Block 1
Aufteilung der Runs nach Anzahl der Events für Block 2 . . . . . . . . .
Aufteilung der Runs in zwei Untergruppen in Block 1 . . . . . . . . . . .
Aufteilung der Runs in zwei Untergruppen für Block 2 . . . . . . . . . .
Aufteilung der Runs in drei Untergruppen für Block 1 . . . . . . . . . . .
Aufteilung der Runs in drei Untergruppen für Block 2 . . . . . . . . . . .
32
33
33
34
34
34
34
Tabellenverzeichnis
39
Tabellenverzeichnis
Literaturverzeichnis
[1]
CERN: LHC the guide (2009)
http://cdsweb.cern.ch/record/1165534/files/CERN-Brochure-2009-003Eng.pdf
[2]
Povh, Rith, Scholz, Zetsche: Teilchen und Kerne, 7. Auflage, Springer
(2006)
[3]
H. Appelshäuser: Vorlesungsskript Kernphysik 2 (SS 2011)
[4]
J. Beringer et al. (Particle Data Group), J. Phys. D86, 010001 (2012)
[5]
F. Kramer: Studie zur Messung von Quarkonia mit dem ALICE-TRD
und Aufbau eines Teststandes für seine Auslesekammern, Diplomarbeit,
Frankfurt (2006)
[6]
J. Stroth: Mitschriften zur Vorlesung Kernphysik 4 (SS 2012)
[7]
ALICE Website:
http://aliceinfo.cern.ch/Public/en/Chapter2/Chap2Experimenten.html (2012)
[8]
A. Breslin, R. Voss: The CERN Large Hadron Collider: Accelerator and
Experiments Volume 1: LHC Machine, ALICE and ATLAS, CERN, Geneva (2009)
[9]
M. Pohl: Studie zur Messung von ψ(2S) Mesonen mit dem ALICE Detektor am LHC, Masterarbeit, Frankfurt (2011)
[10]
M. Marquard: Mittlerer Transversalimpuls in Pb-Pb Kollisionen mit
ALICE, Masterarbeit, Frankfurt (2012)
[11]
Interne Kommunikation (2012)
[12]
G. Quast: Funktionsanpassung mit der χ2 -Methode (2010)
www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/q̃uast/Skripte/Chi2Method.pdf
[13]
L. Papula: Mathematik für Ingeniere und Naturwissenschaftler, 5. Auflage, Vieweg+Teubner (2008)
[14]
Wikipedia: Qantil
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantil (2012)
[15]
Engineering Statistics Handbook Webpage:
http://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3674.htm (2012)
40
Tabellenverzeichnis
Eidesstattliche Erklärung
Erklärung nach § 30 (11) Ordnung für den BA- und MA-Studiengang
Hiermit erkläre ich, dass ich die Arbeit selbstständig und ohne Benutzung anderer
als der angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst habe. Alle Stellen der Arbeit, die
wörtlich oder sinngemäß aus Veröffentlichungen oder aus anderen fremden Texten entnommen wurden, sind von mir als solche kenntlich gemacht worden. Ferner erkläre ich,
dass die Arbeit nicht - auch nicht auszugsweise - für eine andere Prüfung verwendet
wurde.
Frankfurt, den
41
Tabellenverzeichnis
Danksagung
Vielen Dank an Henner Büsching, der es mir ermöglichte mich der ALICE Arbeitsgruppe
anzuschließen und dieses interessante Thema zu bearbeiten. Für jede Kritik und Anmerkung während der Bearbeitung des Themas und des Schreibens dieser Arbeit.
Vielen Dank auch an meine beiden Betreuer Marco Marquard und Philipp Lüttig dafür,
dass sie meine Fragen immer kompetent beantworten konnten und gute Ratschläge parat
hatten, wenn ich mal nicht weiter wusste.
Danke auch an meine Bürokollegen Patrick Reichelt, Mahmut Özdemir, Constantin Rupp
und Marco Marquard für die angenehme Atmosphäre und nützlichen Tipps beim Programmieren.
Danke auch an meine Familie für die moralische Unterstützung und im Besonderen an
meinen Vater für das Korrekturlesen meiner Arbeit. Und schließlich Danke an Roland
Sonnenschein für das Korrekturlesen meiner Arbeit und den Anmerkungen dazu.
43